第03講復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，并能與向量相結(jié)合，用數(shù)形結(jié)合的思想解決與復(fù)數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法(1)運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法運(yùn)算律對(duì)任意，有，．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義梳理復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線eq\o(OZ,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1－z2是從向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))的終點(diǎn)指向向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))的終點(diǎn)的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)【微點(diǎn)撥】1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算．2．復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則.【即學(xué)即練1】復(fù)數(shù)等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照復(fù)數(shù)的加法和減法法則進(jìn)行求解.【詳解】故選：A.【即學(xué)即練2】已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：B【即學(xué)即練3】若|z|+z=3+i，則z=（）A．1－i B．1+iC．+i D．－+i【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：+x+yi=3+i，從而求出答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x，y∈R)，依題意有+x+yi=3+i，因此解得故z=+i.故選：C.【即學(xué)即練4】設(shè)z1=2+b，z2=a+，當(dāng)z1+z2=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+b為（）A．1+ B．2+C．3 D．【答案】D【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，寫(xiě)出復(fù)數(shù)a＋b即可.【詳解】因?yàn)閦1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，所以于是故.故選：D.【即學(xué)即練5】若且，則最大值是_______________.【答案】3【分析】先分析出z的軌跡可看成圓，根據(jù)幾何法可以得到表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即可求出最大值.【詳解】的幾何意義為復(fù)平面動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離為1的點(diǎn)的軌跡，可看成圓，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以最大值為圓O1到原點(diǎn)距離加上半徑1，即.故答案為：3.【即學(xué)即練6】復(fù)數(shù)，，，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、、，若，則________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件可得出，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得解.【詳解】由題意知，由復(fù)數(shù)相等知，解得，因此，.故答案為：.【即學(xué)即練7】復(fù)數(shù)z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，m∈R，若z為純虛數(shù)，則m等于________.【答案】【分析】由已知條件，得到復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，根據(jù)z為純虛數(shù)，求m.【詳解】由題設(shè)，知：z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2m)i是純虛數(shù)，∴，解得.故答案為：.【即學(xué)即練8】已知z1＝1＋i，z2＝cosθ＋(sinθ－1)i，且z1＋z20，則θ＝________.【答案】2kπ，k∈Z.【分析】根據(jù)z1＋z2＝1＋cosθ＋isinθ，由z1＋z20求解.【詳解】∵z1＋z2＝1＋cosθ＋isinθ0，∴∴，k∈Z.故答案為：2kπ，k∈Z.【即學(xué)即練9】若復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位）所對(duì)應(yīng)的向量分別為與，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】16【分析】由已知可得，，，再求出復(fù)數(shù)的模，從而可得的周長(zhǎng)【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?所以的周長(zhǎng)為.故答案為：16【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算.【即學(xué)即練10】已知z1=a+(a+1)i，z2=－3b+(b+2)i(a，b∈R)，若z1－z2=4，求z1，z2.【答案】z1=+3i，z2=－3+3i.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算得到（a+3b）+(a－b－1)i=4，求出，從而求出答案.【詳解】z1－z2=a+(a+1)i－[－3b+(b+2)i]=a－(－3b)]+[(a+1)－(b+2)]i=（a+3b）+(a－b－1)i=4，所以解得所以z1=+3i，z2=－3+3i.【即學(xué)即練11】已知，，為實(shí)數(shù)，若，求【答案】.【分析】先化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)相等可求出，從而得到，再用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】，所以，解得，，所以，，則，所以．能力拓展能力拓展考法01復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算：(1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算就是實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減．(2)當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z|與z時(shí)，一般用待定系數(shù)法，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)．【典例1】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的加法與減法的運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的加法與減法的運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）根據(jù)虛數(shù)單位的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【解析】（1）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得.（2）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得.（3）由的運(yùn)算規(guī)律及方法，可得.【典例2】復(fù)數(shù)滿足，求.【答案】【分析】設(shè)，，求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到方程組，解得即可；【詳解】解：設(shè)，，所以，因?yàn)樗?，即，所以，解得所以【典?】已知，.設(shè)，且，求、.【答案】，【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算可求，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可求的值，從而可求、.【詳解】由題設(shè)可得，而，，故，解得，故，.【即學(xué)即練12】已知復(fù)數(shù)，滿足，，求，值．【答案】，；或，．【分析】先設(shè)，再根據(jù)求，最后根據(jù)列方程組，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則．∵，∴．∵，∴．解得：，或，．∴，；或，．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加法，考查基本分析求解能力【即學(xué)即練13】如果，那么復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接計(jì)算得到答案.【詳解】，故.故選：A.考法02復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義：(1)常用技巧①形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理；②數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．點(diǎn)．①四邊形OACB為平行四邊形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；③若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形．【典例4】已知復(fù)數(shù)，試在復(fù)平面上作出下列運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)的向量：（1）；（2）．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）在復(fù)平面上作出對(duì)應(yīng)的向量，再作出對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)減法的幾何意義及向量（復(fù)數(shù)）相等的定義，即為（2）再作出對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)減法的幾何意義及向量（復(fù)數(shù)）相等的定義，即為．【解析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為．圖1設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量的差，如圖①所示，即為（2）設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量的差，如②所示，即為．圖2【典例5】已知向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可以及復(fù)數(shù)相等可求得實(shí)數(shù)、的值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以，解得，因此，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【典例6】如圖，，定點(diǎn)、、分別表示0、、．求：（1）、分別所表示的復(fù)數(shù)；（2）對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)；（3）點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】（1）、分別所表示的復(fù)數(shù)為、；（2）；（3）．【分析】（1）利用復(fù)數(shù)表示的幾何意義即可求解.（2）由向量的減法運(yùn)算求出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.（3）由向量的加法運(yùn)算求出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】(1)，所以所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.因?yàn)椋运硎镜膹?fù)數(shù)為－3－2i.(2)，所以所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)，所以所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.【典例7】已知復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形，頂點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)－5－2i，－4＋5i，2，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】1－7i或3＋7i或－11＋3i．【分析】采用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，結(jié)合平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，利用向量法即可求解【詳解】因?yàn)椋?，所以zA－zB＝zD－zC，所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i．即點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－7i，如圖①；用相同的方法可求得另兩種情況下點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z，圖②中當(dāng)時(shí)，求得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋7i；圖③中當(dāng)時(shí)，求得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－11＋3i；故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－7i或3＋7i或－11＋3i．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義與向量的基本關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題【即學(xué)即練14】已知，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的減法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由此可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由已知條件可得，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選：B.【即學(xué)即練15】在平行四邊形ABCD中，若A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為（）A． B．5 C．2 D．10【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求出向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可求出．【詳解】依題意，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長(zhǎng)度為|－3－4i|＝5.故選：B．【即學(xué)即練16】已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示成的形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，即可得解.【詳解】，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，考查考生的運(yùn)算求解能力，熟記復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．計(jì)算的結(jié)果為A． B． C．1 D．【答案】C【分析】直接利用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則計(jì)算得解.【詳解】由題得=3+i-2-i=1.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】∵z1﹣z2＝-2（）=-1-10i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-1，﹣10）位于第三象限．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量和,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=（）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長(zhǎng)公式和坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解，得到答案．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量和，所以向量和，所以，則，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長(zhǎng)計(jì)算和坐標(biāo)運(yùn)算，著重考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),,若它們的和為實(shí)數(shù),差為純虛數(shù),則a,b的值分別為A．, B．,4 C．3, D．3,4【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法計(jì)算可得.【詳解】解：,為實(shí)數(shù),所以,解得.因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以且,解得且.故,.故選：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．6.非零復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量、，若，則（）A． B． C． D．和共線【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法幾何意義以及向量的模的含義得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所?|-|,以、為相鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等，即以、為相鄰邊的平行四邊形為矩形，因此，選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)加法幾何意義以及向量的模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4＋i,3＋4i,3－5i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．2－3i B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i【答案】C【分析】由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解點(diǎn)D的坐標(biāo)即可.【詳解】由題意可得：，，，設(shè)平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，解得：，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4－8i.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的表示方法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8.若z為純虛數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的概念設(shè)且，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可得到，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以設(shè)且，又因?yàn)?，則，即，所以，解得或（舍），故，故選：D.9.設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.10.復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則（）A．10 B．25 C．100 D．200【答案】C【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，故是直角三角形，所以，故選：C.11.在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i【答案】A【分析】由向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)得到向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量間的線性關(guān)系求的坐標(biāo)，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意，，∵，∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－2i.故選：A.12.若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限【答案】B【分析】首先分析題目，設(shè)，將其代入進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，從而可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，即，解得，所以，它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.13.復(fù)平面上三點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5＋2i，則由A，B，C所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】先根據(jù)題意寫(xiě)出點(diǎn)，再計(jì)算三邊邊長(zhǎng)，判斷，即得結(jié)果.【詳解】依題意，復(fù)平面上三點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5＋2i，則，故|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即，是直角三角形.故選：A．14.計(jì)算的結(jié)果為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算直接求解【詳解】故選：A15.如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．【詳解】∵，

∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：，

∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用的實(shí)部為求得，由此求得，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)及坐標(biāo)所在象限.【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則，即.∴，.復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部求參數(shù)，考查共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.17.若，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，利用復(fù)數(shù)的減法得到，然后根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算以及函數(shù)值的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力.18.已知，且，（是虛數(shù)單位）是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，那么，的值分別是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由題意可知利用韋達(dá)定理得兩根之和與兩根之積，它們都為實(shí)數(shù)，代入求解即可.【詳解】由，（是虛數(shù)單位）是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，可得：和都為實(shí)數(shù)，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及韋達(dá)定理，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決本題是關(guān)鍵.題組B能力提升練1.對(duì)于任意復(fù)數(shù)，任意向量，給出下列命題：①；②；③若，則；④若，則其中正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)①②,根據(jù)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與平面向量運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合辨析即可.對(duì)③,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算推導(dǎo).對(duì)④,舉出反例判定即可.【詳解】對(duì)①②,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的運(yùn)算與平面向量的運(yùn)算相似,均滿足平行四邊形法則,根據(jù)向量的三角不等式有,故也成立.故①②正確.對(duì)③,則,由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知,.故③正確.對(duì)④,若則,不一定有.故①②③正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)與平面向量的基本運(yùn)算辨析.2.（多選題）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么（）A．z的虛部為 B．z的虛部為1C．z＝－－i D．z＝＋i【答案】BD【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，、，由復(fù)數(shù)相等列方程求出的值即可．【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)，、，由，得，即；所以，所以，所以即的虛部為1．故選：．3.（多選）表示（）A．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離 B．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離C．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 D．坐標(biāo)為的向量的模【答案】ACD【分析】由復(fù)數(shù)的模的意義可判斷選項(xiàng)A,B；整理原式等于,也等于,即可判斷選項(xiàng)C,D【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義,知復(fù)數(shù),分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn),所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離,故A說(shuō)法正確,B說(shuō)法錯(cuò)誤；,可表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,故C說(shuō)法正確；,可表示表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,即坐標(biāo)為的向量的模,故D說(shuō)法正確,故選:ACD【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)的模.4.（多選題）已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法中正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上B．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，若，則【答案】CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義，判斷A選項(xiàng)的正確性.設(shè)，結(jié)合求得，由此判斷B選項(xiàng)的正確性.根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)復(fù)數(shù)加法、減法的模的幾何意義，判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，A錯(cuò)誤；在B中，設(shè)，則.由，得，解得，B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的模的定義知C正確；由的幾何意義知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，從而兩鄰邊垂直，D正確.故選：CD【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)加法、減法的模的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.5.已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為_(kāi)___________.【答案】【分析】由題意，設(shè)，得到，則，利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義，即可得解.【詳解】由題意設(shè)，則，，即，即的模的軌跡可理解為以為圓心，半徑為2的圓.則，可理解為求點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離，數(shù)形結(jié)合可知，的最大值為4．故答案為：6.若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣2i|＝1（i為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為.【答案】1【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式得到的方程，將化為關(guān)于y的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)y的取值范圍求得的范圍.【詳解】設(shè)，∵，∴，∴，∴.則.當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：1.7.已知f(z+i)=3z-2i，則f(i)=_____.【答案】-2i【分析】設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，化簡(jiǎn)f(z+i)=3z-2i，令a=0，b=0，從而得到答案.【詳解】設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，則f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i，令a=0，b=0，則f(i)=-2i.故答案為：-2i.8.已知，，為實(shí)數(shù)，若，則_____．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)合可得和的值，再計(jì)算，由模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，解得，所以，，所以，所以．故答案為?9.設(shè)z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝__________【答案】－1＋10i【分析】先利用復(fù)數(shù)加法運(yùn)算計(jì)算z1＋z2，根據(jù)題意利用復(fù)數(shù)相等的定義列方程即得參數(shù)，再寫(xiě)出z1，z2，計(jì)算z1－z2即可.【詳解】∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即，∴即，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.故答案為：－1＋10i.10.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則_________．【答案】-1【分析】首先化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得到實(shí)部為零且虛部不為零，即可得到方程、不等式組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得且；解得或，綜上可得故答案為：11.若復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，則實(shí)數(shù)a＝________，b＝________，c＝________．【答案】5-12【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則和減法法則分別求出z1＋z2，z2－z1，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得到方程組，解出即可.【詳解】z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以，解得.故答案為：5；-1；2.12.若有兩個(gè)數(shù)，它們的和是4，積為5，則這兩個(gè)數(shù)是________.【答案】【分析】設(shè)，利用列方程組，解方程組求得題目所求兩個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)，依題意有，即，所以.將代入，得；將代入，解得；將代入，得，結(jié)合解得或.所以對(duì)應(yīng)的數(shù)為、.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.13.已知方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)__________；【答案】【分析】首先設(shè)方程的實(shí)根為，代入整理為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用實(shí)部和虛部都為0，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為，則所以，解得：，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知，，，為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且，則的值為_(kāi)______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法和復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，結(jié)合兩角和的余弦公式，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】，，，，得，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)減法和復(fù)數(shù)相等的條件，考查兩角和的余弦公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法15.已知復(fù)數(shù)，，，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，若，()，則的值是__________．【答案】1【詳解】由題設(shè)得三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，將三向量的坐標(biāo)代入得，因此，即，所以，故答案為1.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)，以及向量相等的條件，復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)要注意向量的起點(diǎn)必須在原點(diǎn)上，向量相等則兩向量的橫縱坐標(biāo)相等；由題設(shè)求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，既得三個(gè)向量的坐標(biāo)將三個(gè)向量的坐標(biāo)代入向量方程，利用向量的相等建立起參數(shù)的方程，求出的值.C培優(yōu)拔尖練1.求證：若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】分別證明充分性和必要性，設(shè)，，則，帶入計(jì)算得到證明；設(shè)，不同時(shí)為0，則，得到，得到證明.【詳解】必要性：設(shè)，，則，；充分性：設(shè)，不同時(shí)為0，則，，故，故，，即為純虛數(shù).綜上所述：z為純虛數(shù)的充要條件是.2.根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，證明：．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量是,復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量是,分復(fù)數(shù)，有一個(gè)為0，或者均為0，向量，不是零向量且共線以及向量，不是零向量且不共線三種情況分類討論即可證出結(jié)論.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量是,復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量是,若復(fù)數(shù)，有一個(gè)為0，或者均為0，不等式顯然成立；若向量，不是零向量且共線時(shí)，顯然成立，不等式左側(cè)在兩向量共線反向時(shí)等號(hào)成立，不等式右側(cè)在兩向量共線同向時(shí)等號(hào)成立；若向量，不是零向量且不共線時(shí)，如圖：由三角