第四章三角函數(shù)與解三角形

§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

【考試要求】L了解任意角的概念和弧度制2能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必

要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理］

1.角的概念

(I)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著遍底從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

,I按旋轉(zhuǎn)方向不同分為止比、魚鋁、零角.

Q)分類i按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)相反角：我們把射線OA繞端點(diǎn)0按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反

角.角ɑ的相反角記為一ɑ.

(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={￡步=α+

??360o,?∈Z}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號(hào)rad表示.

(2)公式

Ial=，(弧長(zhǎng)用I表示)

角α的弧度數(shù)公式

1。=嵩rad；Irad=噌。

角度與弧度的換算

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)I=Mr

∣∣2

扇形面積公式S=∕=Tɑr

3.任意角的三角函數(shù)

(1)設(shè)α是一個(gè)任意角，αGR,它的終邊O尸與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),

y

貝IJsina=yfcosa=x,tanα=jx≠0)?

(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：

設(shè)P(X,y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)。的距離為r,則Sina=：cosα=

XV

tanot=^(x≠O).

⑶三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖.

++++

———++—

sinacosatana

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或"X”)

(1)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.(X)

(2)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是/(×)

(3)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.(×)

(4)若Sina>0,則a的終邊落在第一或第二象限.(X)

【教材改編題】

1.若Sinα<0,且tan?>0,則a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

2.已知扇形的圓心角為30。，其弧長(zhǎng)為2兀，則此扇形的面積為.

答案12兀

TT2TT

解析?.?Q=30°=N,l=ar.β.r=—=12,

ofπ

6

.?.扇形面積S=夕r=gx2兀X12=12π.

3.若角ɑ的終邊過點(diǎn)(1,—3),則Sina=,cosa=.

宏安?v?θv?θ

Q木1010

?探究核心題型

題型一角及其表示

例1(1)給出下列命題：

①終邊落在X軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α∣α=2E,?∈Z}i

②終邊落在y軸上的角的集合為｛α∣α=9(Γ+kπ,Z∈Z｝;

③第三象限角的集合為卜π+2?π≤α≤y+2?π,Λ∈Z｝；

④在一720。?0。范圍內(nèi)所有與45。角終邊相同的角為一675。和一315。.

其中正確的序號(hào)是()

A.①②B.②③

C.①③D.①④

答案D

解析②終邊落在y軸上的角的集合為卜卜=5+E,],角度與瓠度不能混用，故②

錯(cuò)誤；

③第三象限角的集合為Iaπ+2kπ<a<-+2kπ,?∈Z],故③錯(cuò)誤；

oo

④所有與45。角終邊相同的角可表示為jβ=45+??360,?∈Z,

令-720o≤45o+??360o<0o(?∈Z),

171

解得一W^WZ<-wZ),

eo

從而當(dāng)k=-2時(shí)，S=-675。；

當(dāng)上=-1時(shí)，H=-315。，故④正確.

(2)已知α為第三象限角，則貌第象限角，2a是的角.

答案二、四第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上

解析,?力是第三象限角，

即2?π+π<a<2?π÷∣τι,?∈Z,

?'??π+微與<也+(兀，keZ,

4?π+2π<2a<4Λπ÷3π,Λ≡Z.

當(dāng)Z為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)為第二象限角；當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，，為第四象限角，而2α的終邊落在第一、二

象限或y軸的非負(fù)半軸上.

【教師備選】

1.角一2023。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析V-2023o=-6×360o+137o,

.?.它是第二象限角.

2.若角ɑ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在X軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y=—√5x上，則角α

的取值集合是()

A.lαa=2?π-?∈Z!

B.1a∣a=2?π+與,?∈Z?

C.{aa=E-與,?∈ZI

D.{aa=kπ一??∈Z!

答案D

思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的南，方法是先寫出與這個(gè)角的

終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)&(左∈Z)賦值來求得所需的角.

(L

⑵確定At,/(ACN*)的終邊位置的方法

K

先寫出A或E的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定總或系的終邊所在位置.

tKK

9兀

跟蹤訓(xùn)練1(1)下列與角學(xué)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()

A.2fat+45°(&∈Z)

9兀

B.??360o+y(?∈Z)

C.匕360。-315°(Z∈Z)

D.far+y(?∈Z)

答案C

解析與爭(zhēng)的終邊相同的角可以寫成2E+等l∈Z)或??360o+45°a∈Z),但是角度制與弧

度制不能混用，排除A,B,易知D錯(cuò)誤，C正確.

(2)集合卜WaW祈+去％∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()

答案C

JTTTTTTΓ

解析當(dāng)A=2〃(〃eZ)時(shí)，2〃兀+aWαW2"兀+/,此時(shí)a表示的范圍與ιWαW∕表示的范圍一

樣；當(dāng)％=2〃+1(〃￡Z)時(shí)，2nπ÷π÷^≤a≤2ππ÷π÷^,此時(shí)α表示的范圍與π+:<g≤π+

方表示的范圍一樣，故選C

題型二弧度制及其應(yīng)用

Tr

例2一扇形的圓心角。二§,半徑R=IOCm,求該扇形的面積.

TV

解由已知得α=],R=IOcm,

?c1E1兀.c,50πZ

??Sm影=5α?R2=2q.i02=飛一(Cm2).

延伸探究

1.若本例條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積.

解∕=a?R=]X10=3(cm),

_50兀1D.π

?c弓影—3c扇形一3c--2A2-sιn3

=爭(zhēng)VXuXJ=5015小(Cm2)

2.若將本例已知條件改為：“扇形周長(zhǎng)為20cm”，則當(dāng)扇形的圓心角ɑ為多少弧度時(shí)，這

個(gè)扇形的面積最大？

解由已知得，/+2R=20,

則/=20-2/?(0<??<10).

所以S=∣∕Λ=∣(20-2R)Λ=10Λ-Λ2

=-(/?-5)2+25,

所以當(dāng)R=5cm時(shí)，S取得最大值25Cm2,此時(shí)∕=10cm,α=2rad.

【教師備選】

1.若扇形的圓心角是a=120。，弦長(zhǎng)AB=I2cm,則弧長(zhǎng)/等于()

4√3n80

AΛ.1]^^πCmB.?πCm

C.4y∕3cmD.8√3cm

答案B

解析設(shè)扇形的半徑為rcm,如圖.

由sin60o=~,得r=4√3cm,

∣α∣?r=^×4Λ∕3兀(Cm).

2.已知扇形的面積是4cπ?,當(dāng)扇形周長(zhǎng)最小時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)為.

答案2

解析設(shè)此扇形的半徑為八弧長(zhǎng)為/,圓心角為ɑ,

則扇形的面積S=^∕r=4,

Q

所以/=*設(shè)扇形的周長(zhǎng)為3

Q

則L=2r+∕=2r+;,r∈(0,+∞).

QO

方法一由基本不等式得2r+/'2標(biāo)=8,當(dāng)且僅當(dāng)2r=*即r=2時(shí)，等號(hào)成立，扇形的

Q

周長(zhǎng)取得最小值8,此時(shí)/=:=4,

故a=-=2=2.

.82r2-8

方法一由L=2-R=3=°，傳廠=2,

Q

所以當(dāng)r∈(0,2)時(shí)，L'<0,L=2r+;單調(diào)遞減；

O

當(dāng)rC(2,+8)時(shí)，z√>0,L=2r+7單調(diào)遞增，所以當(dāng)r=2時(shí)，扇形的周長(zhǎng)取得最小值.此

8/4

時(shí)/=；=4,故扇形的圓心角α=?μ=]=2.

思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

跟蹤訓(xùn)練2(l)(2022?景德鎮(zhèn)模擬)《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名

強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張

拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長(zhǎng)約為今米，整個(gè)肩寬約為卷米.“弓”所在圓的半徑

4o

約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414,√3^1.73)()

A.1.612米B.1.768米

C.1.868米D.2.045米

答案B

解析由題意得，“弓”所在的弧長(zhǎng)為

5

R=L25=不

5π-

8兀

---

,其所對(duì)的圓心角α=5=52

A-

4

.?.兩手之間的距離

d=y∣RTR2=PX1.25S?1.768.

(2)一個(gè)扇形的面積是1cπΛ它的周長(zhǎng)是4cm,則圓心角為弧度,弧長(zhǎng)為cm.

答案22

解析設(shè)扇形的圓心角為α,半徑為r.

(1

5=ταr2=l,

則由題意得12

W+2r=4,

ot—2,

解得

r=l,

所以弧長(zhǎng)l=ar=2,

所以扇形的圓心角為2弧度，弧長(zhǎng)為2cm.

題型三三角函數(shù)的概念

例3⑴若sinQcos。＜0,指1＞。，則角。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

,tan0?.1-

解析由而付云h亍8

所以cosθ>0.又sin夕COSθ<0,

所以Sin興0,所以。為第四象限角.

(2)己知a的終邊在直線y=2x上，則Sina=.

答案冷

解析由題意可知，α終邊落在第一或第三象限，且tanα=2,若在第一象限，可在α終邊

上任取一點(diǎn)(1,2),

..2手，若在第三象限，可在α終邊上任取一點(diǎn)(一1,-2),

..sιn?-I—------

√l2+22

—22√5

sina

√(-l)2+(-2)25,

3

(3)已知α的終邊過點(diǎn)(％4),且CoSa=一；,貝∣Jtan“=.

答案-I

3

解析Va的終邊過點(diǎn)(X,4),且CoSa=一；,

/.x<0.

???3

.cosa=~i=^^==一工,

√x2+165

.*.x=-3,

.4

..tana=-y

⑷(2021?北京)若點(diǎn)P(COSaSinO)與點(diǎn)Q(COSM+或Sin(O+部關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出一個(gè)符

合題意的O=.

答案周滿足6=居+?π,%∈Z即可)

解析φ?φP(COSθ,sin。)與

?s(e+款si∏M+專))

關(guān)于y軸對(duì)稱,

即仇。+5關(guān)于y軸對(duì)稱,

Tl

e+z+e=兀+2攵兀，?≡z,

O

則。=阮+,，fc∈Z,

5TT

當(dāng)Z=O時(shí)，可取。的一個(gè)值為方.

【教師備選】

已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為尸（一；，）），則Sina?lanɑ等于（）

A?一半β?用

c?d?4

答案C

解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

由IOPF=I+V=ι,得V=*y=粵.

方法一當(dāng)y=當(dāng)時(shí)，SinQ=坐，tana=-√3,

此時(shí)，Sina?tana=一全

/?/?

當(dāng)y=一苧時(shí)，sina=-2?tana=√5,

3

此時(shí)，Sina?tana=一1

、3

所以sina?tana=-].

方法二由三角函數(shù)定義知,

cosa=-∣,sina=γ,

sinasiι?

所以s?na?tana=sιna`------

cosacosa

3

_y2_4__3

一二I=Zl=―亍

~2~2

思維升華（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角Q終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)可求1的三角函數(shù)值；已

知角”的三角函數(shù)值，也可以求出角a終邊的位置.

（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限

的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

夕

一=—sin則？是（）

跟蹤訓(xùn)練3（1）已知。是第三象限角，滿足2

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析Te是第三象限角,

.,.π+2kπ<θ<~γ÷2kπ,Z∈Z,

πO

-L?<∈Z

22

即，為第二或第四象限角,

C夕

一

又S2

In2

??卷為第四象限角.

5

(2)已知角a的終邊上一點(diǎn)P(~yβ,m)(m≠O),且sin。=等蛆，則cosa=，tana=

答案-手彎

m巾m

解析由sina=

y∣3+m24,

解得機(jī)=S∕^,:.r=?∣3+-=2啦,

~Λ∕3

當(dāng)加=、/5時(shí),?/e

c°sa=2小=4，

√15

tana

3，

當(dāng)m=—小時(shí)，c。Sa=差=―中,

tan廣華

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.若α是第四象限角，則兀+α是第一象限角()

A.—B.二C.三D.四

答案B

解析2kπ<π÷a<π÷2kπ,?∈Z,

故π÷α是第二象限角.

2.(2022?上海橫峰中學(xué)月考)終邊為第一象限和第三象限的平分線的角的集合是()

A.{a∣α=45°+k360°,?∈Z}

B.{α∣α=-135°+kl80°,1∈Z}

C.{α∣α=-135°+k360°,Λ∈Z）

D.Dla=I35°+k180°,?∈Z}

答案B

解析終邊為第一象限的平分線的角的集合是

{a∣α=45o+A?360o,&∈Z},①

終邊為第三象限的平分線的角的集合是

{β∣ct=-135o+??360o,Z∈Z},②

由①②得{a∣a=-135°+kl80°,Λ∈Z!.

3.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）

2

A.2B.-17

sin1

C.2sin1D.sin2

答案B

解析如圖，取AB的中點(diǎn)C,連接OC

A

則OCj_A5,ZAOC=ZBOC=Irad,

在aAOC中，Sinl=L

.__!_

,?r-sin1,

2

，所求弧長(zhǎng)為W=而γ?

4(2022?揚(yáng)州中學(xué)月考)若a=一5,則()

A.Sina>0,cosa>0

B.Sina>0,COSaVo

C.Sina<0,cos?>0

D.SinaVO,cos?<0

答案A

3

解析因?yàn)橐?兀VGt=-5<—會(huì)，

所以a=-5為第一象限的角，

所以sina>09cosa>0.

5.下列說法正確的有（）

A.經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過?；《?/p>

C.若SinG0,cosθ<0,則9為第二象限角

D.若。為第二象限角，則，為第一象限角

答案C

解析對(duì)于A,經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過一?；《?，不是?；《?，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,1?；苫《仁峭瑀ad,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由SinG0,可得。為第一、第二象限及y軸正半軸上的角；

由cosK0,可得。為第二、第三象限及X軸負(fù)半軸上的角.

取交集可得，是第二象限角，故C正確；

對(duì)于D,若。是第二象限角，

TT

貝I]2ht+]<6k2ht+π(AeZ),

則kπ+^<^<kπ+^(k∈Z),

所以？為第一或第三象限角，故D錯(cuò)誤.

6.下列說法正確的有()

A.角:與角專終邊相同

B.終邊在直線y=-X上的角α的取值集合可表示為{α∣α=&3600-45。，?∈Z}

C.若角α的終邊在直線y=-3x上，則COSa的取值為邛

3TT

D.67。30'化成弧度是京rad

O

答案D

解析角生與角專終邊不相同，故A錯(cuò)誤；

終邊在直線y=一χ上的角α的取值集合可表示為{α∣α=L180。-45。，k∈Z},故B錯(cuò)誤;

若角α的終邊在直線y=-3x上，

則COSa的取值為^故C錯(cuò)誤；

3TC

67。30'化成弧度是三rad,故D正確.

O

7.若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3"z,-4m)(w<0),則sinct+cosa=.

答案

5

解析由題意得

r=?OP?=Λ/（3加）2+（-4m）2=5?m?=—5m（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

431

故sinoc÷cos亍

8.已知扇形的圓心角為120。，弧長(zhǎng)為2π,則扇形面積為

答案3π

2TT

解析?.?12()o=^pI=ar,

3

.*.S=g∕r=gX2兀X3=3兀.

9?已知總i=^^;?'且Ig(CoSa)有意義.

(1)試判斷角α所在的象限；

(2)若角α的終邊上一點(diǎn)Λ∕g,，〃)，且IoM=I(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求能的值及Sina的值.

解(1)由~^;=~~~r?-,得Sina<0,

`f∣sιna?sina

由lg(cosα)有意義，

可知cosa>0,

所以1是第四象限角.

(2)因?yàn)镮OMI=1,

所以(I?〉+，話=1,

4

解得機(jī)=±∣?

又。為第四象限角，

4

故mV0,從而加=一亍

_4

.ym54

sina==~τ~=—7.

rIOM15

10.已知Sina<0,tana>0.

⑴求角a的集合；

⑵求和勺終邊所在的象限；

（3）試判斷tan^sin^cos飄符號(hào).

解（1）由SinaV0,知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上，

由tanq>O,知α在第一、三象限，故角α在第三象限，

其集合為2E+π<a<2E+苧，k∈Z].

3兀

（2）由（1）知2E+π<α<2Zπ+看，?∈Z,

,,,πa,.3π~

故也f+]</<攵兀+了，左f∈Z,

故垓的終邊在第二、四象限.

⑶當(dāng)今在第二象限時(shí)，tanm0,

smcosy<0,

所以tanWSinTCOS^>0,

當(dāng)注第四象限時(shí)，tan京0,

.a?ac

sιn1<O,cos2>0?

“i、？a.aac

所以tan/sm/cos]>0,

綜上，tan冬吟CoSW的符號(hào)為正.

應(yīng)技能提升練

11.設(shè)集合M={砒<=45。+%90。，1∈Z},N={α∣α=90°+）?45°,%∈Z},則集合M與N的

關(guān)系是（）

A.MΓ?N=0B.MN

C.NMD.M=N

答案C

解析M={α∣α=450+2%?45°,k∈Z}

={α∣α=(2λ+l)?450,?∈Z},

N={ɑ∣a=2X45°+k45°,?∈Z}

={α∣α=(?+2)?45o,?∈Z},

???2%+l表示所有奇數(shù)，Z+2表示所有整數(shù),

：?NM.

12.已知角α（0Wα<2τι）終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（sin^,cos周，則α等于（）

5π-7兀-4兀-5兀

4BCD

??TTT

答案D

解析因?yàn)镾in普=：,COS誓=一噂，

OZOZ

所以角α（0≤α<2兀）終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為七，一坐）

故角ɑ的終邊在第四象限，

且tana=一小，X0≤α<2π,所以a=苧.

13?（2022?宿州模擬）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出

計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=/弦X矢+矢2）,弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦

所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓

心角為冬，弧長(zhǎng)等于專米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是（）

A.（粵-4?。┢椒矫?/p>

B?（f2-2?。┢椒矫?/p>

C.（4+2√3）平方米

D.（2+4√3）平方米

答案D

解析設(shè)半徑為r,則,=竽匕r=4,

所以弦長(zhǎng)為2%訪胃=2><4*坐=4\/5,

矢為r—rcos^=4—4X^=2,

所以弧田面積為5=∣×(2X4√3+22)=4√3+2.

14.己知圓。與直線/相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，P沿著直線/向右運(yùn)動(dòng)，。沿

著圓周按逆時(shí)針方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接0。，

連接OP交圓。于點(diǎn)8(如圖)，則陰影部分的面積多,S2的大小關(guān)系是.

答案S1=S2

解析設(shè)點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)速度為。，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，圓。的半徑為r,則AQ=AP=⑨，根據(jù)

切線的性質(zhì)知OALAP,

??SlΓS松彩AOB，

Sz=^v?r-S扇形AO小

?*?Sj=S2.

互拓展沖刺練

15.若角a的終邊落在直線y=小X上,角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)生且sinGC?COSβ<2,

則cosa?sinβ=.

答案±乎

解析由角廳的終邊與單位圓交于點(diǎn)(;，根)，得cosβ=g,又由sina?cosβ<0知，sina<0,

因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y=√5x上，所以角α只能是第三象限角.記尸為角ɑ的終邊與單

位圓的交點(diǎn)，設(shè)P(x,y)(x<O,y<0),則IoPl=1(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，即/+),2=[,又由丫=小了

得x=—3，>=一乎，所以COSa=X=一；,因?yàn)辄c(diǎn)&%)在單位圓上，所以G)a+/=1,

解得加=工§,所以Sin^=Q?,

所以cosct?sin

16.在一塊頂角為120。、腰長(zhǎng)為2的等腰三角形厚鋼板廢料OAB中，用電焊切割成扇形，

現(xiàn)有如圖所示兩種方案，既要充分利用廢料，又要切割時(shí)間最短，問哪一種方案最優(yōu)？

OO

2XΛ?2

DB

方案一方案二

解因?yàn)閍AOB是頂角為120。、腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，

JT

所以A=B=30。=_AM=3N=1,AD=I,

O

所以方案一中扇形的弧長(zhǎng)=2X^=$方案二中扇形的瓠長(zhǎng)=1義號(hào)=尊

方案一中扇形的面積=-2X2就號(hào)，方案二中扇形的面積=JXIXl×V=ι?

Zo?Z55

由此可見，兩種方案中可利用廢料的面積相等，方案一中切割時(shí)間短.因此方案一最優(yōu).

§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

【考試要求】1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α+cos2α=l,tana.2.掌握誘導(dǎo)公

式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：siMa+cos%=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：*=tana(a鷲+E,?∈z?

ɑosCt、乙X

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

六

公式一二三四五

ππ,

角2?π÷ce(?∈Z)π+ot-aπ~a2+a

正弦sina一sina一sinaSinSCOSaCOSCt

余弦cosa一cosaCOSa一cosaSina一sina

正切tanatana~tana一tana予

口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限

【常用結(jié)論】

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形

sin2a=1—cos2?=(1÷cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1-sina)；

(sina±cosa)2=l±2sin?cosa.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若a,夕為銳角，sin26t÷cos2^=1.(×)

Sinex.

(2)若a∈R,則tana=j------恒成立.(X)

(3)sin(π+a)=-sina成立的條件是a為銳角?(×)

(4)若Sin(多一則cosa=-1.(√)

【教材改編題］

1.已知α是第二象限角，Sina=乎，貝IJCOSa的值為.

2√5

答案一=-

解析Ysinα=乎，α是第二象限角，

2.已知普E等色=一5,那么tana的值為______.

?s?na十5cosa

答案一經(jīng)

U木16

由丁na藍(lán)。Sa=_5,知COSaW0,等式左邊分子、分母同時(shí)除以cosa,

3sιna-r5cosa

tana—2U..23

可得工---T7=-5,解7得/0Iana=-?77?

3tanα+5?o

ZtTJ4?LHsinO.

解析原式=嬴7?（一sιna）?cosa

=-sirAz.

■探究

題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系

例1(1)已知COSa=一擊，P!∣J13sinα÷5tan?=,

答案0

解析cosa=—^<0且cosɑ≠—1,

???Q是第二或第三象限角.

①若。是第二象限角，

則sina=yj1-cos2a=yl1-1

12

.Sin-1312

??tanoc==7"=—.

cosa5J?

-T3

13×∣∣+5x(-yJ=0.

此時(shí)13sina÷5tana=

②若α是第三象限角,

_\2

sina1312

??tanQ==τ-zzz,

cosa??c

^-13

此時(shí)，13Sina÷5tanα=13×(^-H^+5×-y=0.

綜上,13Sinα÷5tanα=0.

⑵己知tana=；，ESina_3cosa

則飛而ksin2a÷sincccosa+2=

5

答案-

3

1

解析n-

JtanQ-2

rSma-3cosaIana-35

1sina+cosatana-?-I3'

sin%+sinacosa+2

siMc+sinacos0十。

sin2a+cos2cc

2

tana+tanal

=---?,+2

tan2α÷1

_(2)2+j13

二Μ亍

7

(3)已知sin<9+COSe=Y0∈(O,π),貝IJtanO=.

12

答案-y

解析由sinO+cosθ=(,得sin0cosθ=-

因?yàn)?∈(0,π),所以sinO>0,COSe<0,

所以sin0—cosθ=?∣1—2sinΘcos。=丘

7sin0=∣∣,

sin<9÷cos。=丘

聯(lián)立，解得，

sinθ~cos6=*COSθ=一看，

所以tanθ=一χ^.

【教師備選】

1.（2022?平頂山聯(lián)考）已知普幻RW=5,則cos2a÷zsin2a等于（）

3cos?-sina2

33

A.gB.—?

C.-3D.3

答案A

AR上LISina+3CoSaEtanQ+3

解析由^--------=5,得「一=5,

3cosa-sina3—tana

可得tanα=2,

則cos2α+^sin2a=cos?+sin?cosa

cos2α+sinacosa1+tana

cos2ct+sin2α1÷tan%

=3

=亍

2.若αW（0,兀），Sin（兀-a）+CoSa=乎，則Sina—cosa的值為（）

答案C

解析由誘導(dǎo)公式得

?I應(yīng)

sιn（π-a）÷cosa—sina+cosa=z?,

、2

所以（Sina+cosa）2=1+2sinctcosa=ξ,

7

則2sinacosa=—g<0,

因?yàn)閍∈（0,π）,所以SinQ>0,

所以cosa<0,所以sina—cosa>0,

因?yàn)椋⊿ina—cosa）2=I—2sinacosa=^^,

所以sina-cosa??.

思維升華(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于Sina+cosa,sinacosa,sina-cosa

這三個(gè)式子，利用(Sina÷cosa)2=l÷2sinacosa,可以知一求二.

(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：I=Sin2a+cos2a,sin?=l-cos2a,cos2a=l-sin2a.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021?新高考全國(guó)I)若tan8=-2,則隨空抖羿等于()

sinCOSθ

A.—^B.-IC.∣D.,

答案C

解析方法一因?yàn)閠an6=-2,

所以角，的終邊在第二或第四象限，

f2C2

?，sm。=]'JSm"=—存’

cosθ=—"7COSθ~^

√5

小Sin〃(1+sin2θ)Sin8(sin。+CoSθ?

“Sin^÷cosθsin0÷cosθ

=Sin9(Sin9+cosθ)

=sin2^÷sinOcosθ

=4_2=2

=5-5=5-

方法二(弦化切法)因?yàn)閠anθ=~2,

sin6^(1÷sin2θ)

所以si；。+CoSe

sin6?sin6?+cosΘ)2

sin0÷cosθ

=sin仇Sin9+cosθ)

sin2j+sinJcosθ

Sin2。+COS2。

tan2<9+tanθ4~22

=l+tan2<9=T+4=5,

(2)已知。是三角形的內(nèi)角，且tana=—/則Sina+cosa的值為.

答案一手

解析由tanaz=—得sinCt=CoSa,

將其代入sin2α+cos2a=1,得WCoS=1,

9

所以cos2α=而,易知CoS?<0,

所以cosa=一今鏟，sinG=3系，

....√ω

故SIna十COSa――.

題型二誘導(dǎo)公式

例2⑴已知sin（α-彳）=：,則cos（j+a）的值為（）

A基B-童

/*?3???3

延伸探究本例⑴改為已知6是第二象限角，且Sino+**則tan（。一；）

3

答案4

解析'P是第二象限角，且sin。+；）==

...e+；為第二象限角,

3

.?COSl

0+*5,

-cos（e+q）

SinG+；）

一4^4,

5

tan(π—α)cos(2π-ɑ)sinl-ɑ÷^τ^I

(2)----------------------——~~T的值為(

cos(-a—π)sιn(-π-α))

A.-2B.-1C.1D.2

答案B

一tana?cosɑ?(-cosα)

解析原式=

cos(π÷a)?[—sin(π+?)]

tanI?COS2Q

—cosct?sina

SinaCoSa

cos?sina

【教師備選】

1.已知函數(shù)大幻=〃-2+2（α>0且Q≠］）的圖象過定點(diǎn)尸，且角口的始邊與X軸的正半軸重合,

a+sin2a

終邊過點(diǎn)P,則..等于（）

COSe+α)sin(一?！?

A.∣2

B.

3

3

D.

c.∣2

答案B

解析易知函數(shù)√（x）=4L2+2（α>0且αWl）的圖象過定點(diǎn)P（2,3）,

3

故tan

ICOSθ^-α)sin(^+0)+SinIa

alsin(-π-ɑ)

÷sin2?

—sinαcosa+2sinαcosa

—sinɑsina

CoSa

sina

___l______2

tana3*

2.若SinX=3sin(χ-5),則COSXeos(k+?等于()

A—~R—~~

AlOd?10

「33

CaD.F

答案A

解析易知sinx=3sin(χ-^j=-3cosX9

所以tanx=-3,

所以COSXCOS(X+?

一sinXCOS%

=-Sinxcosx=

sin2x÷cos2x

-tanX__3

=taιA+l=而

思維升華(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟

利用誘導(dǎo)公*利用誘導(dǎo)公式二

任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0?2兀內(nèi)的角的三角函數(shù)

三或一

,黑23銳角三角函數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知cos(75o+a)=?^?,求cos(105o-a)+sin(150-α)=.

答案0

解析因?yàn)?105。一團(tuán)+(75。+田=180°,

(15o-a)+(α+75o)=90o,

所以cos(105°-α)=cos[180°-(75o+a)]

=-cos(750+0)

=_1

=~y

sin(15o-α)=sin[90o-(α+75o)J

=cos(75°+α)=y

所以cos(105o-a)+sin(15o-a)=—1+^=0.

口,卜上”」WC=、r,.sin(-3π+ct)+cos(ct-π)

(2)(2022?鹽城南陽(yáng)中學(xué)月考)設(shè)tan(5π+a)=2,則rl一~~?jγγ—京~÷

cost?-2πJ+sin(7+a?

答案3

解析由已知tan(5π÷G()=tan1=2,

sin(-3兀+α)+COS(α一兀)

sin(兀+α)+cos(兀一1)

'Os",+Sine+a)

—sina-cosa

—sin6t÷cosa

sina+cosa

sina—cosa

tana+1

=-----------=3

tana—\

題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

sin(α—3π)cos(2π—α)sinl-α+^z^I

例3已知"α)=-----------：--------------------7-------.

cos(—π-α)sιn(一兀一α)

(1)化簡(jiǎn)的);

31

(2)若α=-詈π，求人0)的值；

(3)若COS(—Q—9=g,αw［兀，：］，求人。)的值.

sin(α—3兀)COS(2?！?sinl-a÷2yI

解(1)/(?)-：?.Z?

cos(-Ti-ct)sιn(~π~a)

-sina><cosa><(-cosa)

—cosa×sina

=—cosa.

3lπ

⑵若a=~~9

則y(α)=-COS(一手)

兀1

=—cos?=-2.

,(πλ1

(3)由cosl-zj??,

可得sin。=—g,

因?yàn)棣痢蔥π,4],

所以CoSa=-

所以Xa)=-cosa=^^.

【教師備選】

.”、2sin(π+a)cos(π-a)-cos(π+a).

設(shè)大/=------------訪~~7-------而~~7d+2sma≠0).

1÷sin2ot÷cost-÷o.J—sinQ+aJ

⑴化簡(jiǎn)加):

(2)若a=一鏟23π，求五⑶的值.

物…、.(一2Sina)?(-cosa)—(-cosa)

1÷sin2a+sina—cos2a

2sinacosa+cosa

2sin2ct÷sina

COSa(2sina+1)

sina(2sina+1)

cosa1

sinatand

(2)當(dāng)a=一等時(shí),

刎H=

tan(-4兀+1

思維升華(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)