廣東省梅州市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一

模）按題型匯編

一、單選題

1.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z（l+i）=i,則IZI=（）

A.-B.1C.—D.√2

22

2.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）已知全集為R,集合A=-（；）≤1

B={x∣（x-2）（x-4）>θ},則8=（）

A.{x∣x≤θ}B.{x∣2<x<4}

C.{x∣0<x<2∏Jt%>4}D.{x∣0≤x<2或x>4}

3.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）若干年前，某老師剛退休的月退休金為4000元，月退休

金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該老師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金

的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元，則

目前該老師的月退休金為（）

A.5000元B.5500元C.6000元D.6500TC

4.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）若向量“力滿足：同=1,（“+匕）_1。,（24+與?則忖=

A.2B.√2C.1D.—

2

5.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）已知直線X=E是函數(shù)/（x）=sin（2x+p）（∣同<￡）與的圖

象的一條對(duì)稱軸，為了得到函數(shù)y=∕（x）的圖象，可把函數(shù)y=sin2x的圖象

A.向左平行移動(dòng)g個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度

66

C.向左平行移動(dòng)A個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平行移動(dòng)今個(gè)單位長(zhǎng)度

6.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線Uy2=4√Ir的焦點(diǎn)，P為C

上一點(diǎn)，若IPPl=20,則，OF的面積為（）

A.2B.2√2C.2√3D.4

7.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=V+2*+21若不等式

/（l-0r）<f（2+χ2）對(duì)任意XeR恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2√3,2）B.（-2,2√3）C.（-2√3,2√3）D.（-2,2）

8.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中

的某序列A={4a,嗎,…}重新編輯，編輯新序列為A*=[&,”4?,???],它的第”項(xiàng)為

〔4a24

若序列（A）的所有項(xiàng)都是2,且%=1，?=32,則《等于（）

A------B.-----C.------D.------

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9.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）若（α+3i）i=6-2i,其中”，?∈R,i是虛數(shù)單位，則（）

a

A.--B.-C.-D.--

2233

10.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）已知集合4={R-2<X<2},B={Λ∣X2-x-2>0）,則ACB

等于（）

A.{x∣-2<x<-l}B.{x∣-2<x<2}

C.{#>2或x<-l}D.{x∣-l<x<2}

11.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）在一ASC中，若A=9,8=?,tz=30,則方=（）

A.4√3B.2√3C.√3D.立

2

12.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）已知α∈R,則"α>1"是“2<1”的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不

必要條件

13.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）函數(shù)Ax）=InIXI+cosX的部分圖象大致為（）

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

變，得到函數(shù)y=∕（χ）的圖象.則/（χ）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

d

?-卜利b?H'0）C已。）?傳可

15.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，P為C

上一點(diǎn)，若IPFI=4,則點(diǎn)尸到直線PO的距離為（）

A.√3B.26C.也D.短

77

16.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）在制作飛機(jī)的某一零件時(shí)，要先后實(shí)施6個(gè)工序，其中工序

A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，工序3和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)施順序的編排方

法共有（）

A.34種B.48種

C.96種D.144種

17.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）z=-2i,i是虛數(shù)單位，則Z在復(fù)

平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

18?（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）已知集合M={x∣x（x-4）≤0},N={刈x-l∣<2},則

MCN=（）

A.（-1,4]B.[0,3）C.（0,3）D.[3,4）

19.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)四年級(jí)IOO

名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)

此圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

B.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過125

C.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119

D.四年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩超過125次以上優(yōu)秀，則估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)優(yōu)秀率為35%

20.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)已知ISinla+.)=g,則COSlg-2α]=()

77_「4√24√2

A.B.L?--------*~9~

999

21.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大

教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外

形弧線的一段近似看成雙曲線與-5=1（α>0,?>0）下支的部分，且此雙曲線兩

a^b^

條漸近線方向向下的夾角為60,則該雙曲線的離心率為（）

2√3

D.

22.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）若從0,1,2,3,...9這10個(gè)整數(shù)中同時(shí)取3個(gè)不同

的數(shù)，則其和為偶數(shù)的概率為（）

23?（2023?廣東梅州.統(tǒng)考一模）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中

的某序列A=,”%%｝重新編輯，編輯新序列為A*=幺,幺，，它的第〃項(xiàng)為

〔4a2J

t

y,若序列（盯的所有項(xiàng)都是2,且4=1,∏5=32,貝IJq=（）

1ICl1

A.-----B.-----C..------D.------

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24.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有

幾何體“芻薨”.現(xiàn)有一個(gè)芻薨如圖所示，底面ABa>為正方形，所「平面ABCD,四邊

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

形ABFE,CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，EF=^AB=2,且AE=#,則此芻薨的外

接球的表面積為（）

二、多選題

25.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）若IOa=4,106=25,則（）

A.a+b=2B.b-a=?C.tz?>81g22D.b-a<lg6

26.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）下列關(guān)于圓錐曲線的命題中，正確的是（）

A.設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，%為非零常數(shù)，HHP8∣=A,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

B.設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦A8,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。P=g（Q4+O8）,則動(dòng)點(diǎn)

P的軌跡為橢圓

C.方程2χ2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

D.雙曲線E-$=1與橢圓E+∕=l有相同的焦點(diǎn)

25935

27.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）如圖,在正方體ABa）-A/中，點(diǎn)P在線段方C/

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是（）

B.直線AP與平面ACQ/所成角的大小不變

C.直線AP與直線AAD所成角的大小不變

D.二面角P-A。-C的大小不變

28.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、

政治這三科，且生物在8層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇

三個(gè)科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是（）

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)4層3班地理2班化學(xué)4層4班

生物A層1班化學(xué)8層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理8層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

29.（2022?廣東.統(tǒng)考一模）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣

調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖（如圖）：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入的中位數(shù)約為7.5萬(wàn)元

C.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

D.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬(wàn)元

30.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）下列四個(gè)函數(shù)中，以兀為周期且在∣0卷）上單調(diào)遞增的偶函

數(shù)有（）

A.J=COS∣2Λ∣B.y=∣ta∩X

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

C.>'=sin∣Λ∣D.?=lg∣sinx∣

31.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)下列說法正確的是()

A.已知直線h(%-3)x+(4—Z)y+l=0與/2：2(%-3)x-2y+3=0平行，則A的值是3

B.直線米-y-A=0與圓/+y2=2的位置關(guān)系為相交

C.圓V+y2+2χ+4y-3=0上到直線x+y+l=0的距離為夜的點(diǎn)共有3個(gè)

D.已知AC、B。為圓0:/+,2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(I,&),則四邊形

A8C力的面積的最大值為IO

32.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)在菱形A8CZ)中，A8=2√5,ZABC=Mo,將菱形ABeD

沿對(duì)角線AC折成大小為e(o°<e<180。)的二面角3-AC-。，則下列說法正確的是

()

A.四面體A8C。的體積的最大值是3√5

B.四面體ABCO中BO的取值范圍是(3五,6)

C.四面體ABC。的表面積的最大值是6+3力

D.當(dāng)6=60。時(shí)，若折成的四面體ABCD內(nèi)接于球O,則球。的體積為生亙?nèi)f

27

33.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)函數(shù)/(x)=2sin(3x+s)(<w>0,∣^<π)的部分圖像

B.函數(shù)y="χ)的圖像關(guān)于直線X=考對(duì)稱

?JTJT

C.函數(shù)y=∕(χ)在-7，-不單調(diào)遞減

D.函數(shù)/卜用是偶函數(shù)

34.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)設(shè)S“是公差為d(d≠Q(mào))的無(wú)窮等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)

和，則下列命題正確的是()

A.若d<0,則Sl是數(shù)列｛S,,｝的最大項(xiàng)

B.若數(shù)列｛S,,｝有最小項(xiàng)，則d>0

C.若數(shù)列｛S,｝是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的：〃eN*,均有S,,<0

D.若對(duì)任意的“6N*,均有S“>0,則數(shù)列｛S,,｝是遞增數(shù)列

35.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)如圖，在直三棱柱ABC-ABCl中，Ae=BC=6,

CG=4,AClBC,M為棱AG的中點(diǎn)；E為棱BBl上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，過點(diǎn)A、E

、“作三棱柱的截面α,且α交于。，則()

A.線段ME的最小值為屈B.棱Bg上的不存在點(diǎn)E,使得8。，平

面ΛEΛ7

C.棱8片上的存在點(diǎn)E,使得AELAffiD.當(dāng)E為棱B8∣的中點(diǎn)時(shí)，ME=7

36.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)對(duì)于定義在區(qū)間。上的函數(shù)/(x),若滿足：Vxl,Λ2∈D

且χ<x2,都有〃與)4〃幻,則稱函數(shù)/(x)為區(qū)間C上的“非減函數(shù)”，若〃x)為區(qū)

「3-

間[0,2]上的“非減函數(shù)"，且"2)=2,/(x)+∕(2-x)=2,又當(dāng)Xep2時(shí)，

/(x)≤2(x-l)恒成立，下列命題中正確的有()

^3-

A./(1)=1B.3Λ-0∈-,2,/(x0)<l

C-小僧+哈)+佃=4D.v?e[θ?],/(/(x))≤-∕(x)÷2

三、填空題

1

37.(2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模)已知αe(θg),tanα=2,WJcos(a_^)=.

38.(2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模)設(shè)曲線y=et在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=Lχ>O)上

X

點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為.

39.(2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模)《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，術(shù)曰：

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積=方（弦

X矢+矢X矢）.弧田是由圓?。ɑ√锘。┖鸵詧A弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段（弧田弦）圍成

的平面圖形，公式中的“弦''指的是弧田弦的長(zhǎng)，“矢”指的是弧田所在圓的半徑與圓心到

弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O,若

7

用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為彳平方米，則SinNAo3=____________.

2

40.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）三棱錐P-ΛBC中，PA=AB=PB=AC=2,CP=2√2;

點(diǎn)。是側(cè)棱PB的中點(diǎn)，且CD=幣,則三棱錐P-AfiC的外接球。的表面積

41.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）已知向量α,b滿足。=（0,D,W=垃，α與人的夾角為135。，

貝IJla-2加=.

42.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）已知〃X）=InX+/,則曲線y="x）在X=I處的切線方程

是.

222

43.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）己知橢圓=+；=l（a>6>0）,點(diǎn)P（Tl）在直線/”=_幺

a~b~c

（C為橢圓的半焦距）上，過點(diǎn)P且斜率-g的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的

左焦點(diǎn)F1,則橢圓的離心率為.

44.（2022?廣東?統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給

人以對(duì)稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC,再分別以點(diǎn)A、B、C為

圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為

2π,則其面積是.

A

A

45.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）（l+x）（2-4展開式中/的系數(shù)為__________.

46.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,l）繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得到點(diǎn)8,點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為.

47.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）函數(shù)/（x）=gx4+gχ2+:+gχ4-2χ2-4χ+13的最

小值為.

四、解答題

48.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）在①cos28-√5sin8+2=0,②2?cosC=2α-c,

③：=黃需三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.

已知ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，h,c,若,且α,b,C成等差數(shù)

列，則ΔABC是否為等邊三角形？若是，寫出證明；若不是，說明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

49.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛q｝滿足q=3,an+i=2an-n+l,數(shù)列出｝滿

足4=2,?+1=bll+an-n.

（1）證明數(shù)歹∣J｛?！?〃｝為等比數(shù)列并求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

L

（2）數(shù)列｛%｝滿足c,,=7rτ需T正，求數(shù)列｛?,｝的前〃項(xiàng)和Z,?

50.（2021.廣東梅州.統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABC。中，AB=2,BC=I,E為Co的中

點(diǎn).把VADE沿AE翻折，使得平面ADE_L平面ABCE.

（I）求證：AD1BE；

（II）求8。所在直線與平面DEC所成角的正弦值.

51.（2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模）某電子產(chǎn)品加工廠購(gòu)買配件M并進(jìn)行甲、乙兩道工序

處理，若這兩道工序均處理成功，則該配件加工成型，可以直接進(jìn)入市場(chǎng)銷售；若這兩

道工序均處理不成功，則該配件報(bào)廢；若這兩道工序只有一道工序處理成功，則該配件

需要拿到丙部門檢修，若檢修合格，則該配件可以進(jìn)入市場(chǎng)銷售，若檢修不合格，則該

配件報(bào)廢.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于任一配件M,甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立，

且處理成功的概率分別為3:，2丙部門檢修合格的概率為I:.

432

（1）求該工廠購(gòu)買的任一配件〃可以進(jìn)入市場(chǎng)銷售的概率.

（2）已知配件〃的購(gòu)買價(jià)格為80元/個(gè)，甲、乙兩道工序的處理成本均為8元/個(gè)，丙

部門的檢修成本為16元個(gè)，若配件M加工成型進(jìn)入市場(chǎng)銷售，售價(jià)可達(dá)200元/個(gè)；若

配件M報(bào)廢，要虧損購(gòu)買成本以及加工成本.若市場(chǎng)大量需求配件M的成型產(chǎn)品，試

估計(jì)該工廠加工5000個(gè)配件〃的利潤(rùn).（利潤(rùn)=售價(jià)-購(gòu)買價(jià)格一加工成本）

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

-r2v2

52.(2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模)給定橢圓C：^7+?=l(a>b>0),稱圓心在原

αb^

點(diǎn)O,半徑為dP^圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(-2,0),點(diǎn)

。(2,及)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線《，4與橢圓C都只有一個(gè)

交點(diǎn)，且4，4分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M，N.試探究：IMVl的長(zhǎng)是否為定值？若為定

值，寫出證明過程；若不是，說明理由.

53.(2021?廣東梅州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=e'.

(1)若∕z(x)=∕1(x)+gχ2-(α+l)x,aeR,求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)不等式m[g"'(x)+l]≥2[x+T]f(x)對(duì)于χ>0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

54.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)設(shè)數(shù)列｛叫的前”項(xiàng)和為S“，滿足S“=2q-4(”eN*),且

%=2.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)b,l=a,l-Iog2an,求他,｝的前〃項(xiàng)和，.

55.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-ABCO中，PDL平面ABCZ),四邊形ABCC

是等腰梯形，ABHDC,BC=CD=AD=2,Aβ=4,M,N分別是A8,AO的中點(diǎn).

⑴證明：平面PMN，平面出。；

(2)若二面角C-AB-P的大小為60。，求四棱錐P-ABCD的體積.

56.(2022.廣東.統(tǒng)考一模)某市教育局對(duì)該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試，試卷滿

分120分.現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績(jī)，分別為78,81,84,86,86,

87,92,93,96,97.

(1)己知10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8,計(jì)算其中位數(shù)和方差；

(2)已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)分布服從正態(tài)分布N(〃,4),某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人.

①依據(jù)(1)的結(jié)果，試估計(jì)該班學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?cè)?94,100)的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍

五入取整數(shù))；

②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，該班決定推薦成績(jī)?cè)?94,100)的學(xué)生參加預(yù)選賽，

若每個(gè)學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為I,用隨機(jī)變量X表示通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.(正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：P(4-b<X<"+b)=0.6828,

P(χ∕-2σ<X<χ∕+2σ)=0.9544)

57.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=2SinXCOSX-gcos2x(xeR).

(1)若f(α)='1且,求CoS2α的值；

⑵記函數(shù)/(X)在了5上的最大值為從且函數(shù)“X)在[加,句r](α<6)上單調(diào)遞增，

求實(shí)數(shù)a的最小值.

58.(2022.廣東.統(tǒng)考一模)已知橢圓C=*→3=l(α>0)的左焦點(diǎn)為圓

/+y2+2x-15=0的圓心A.

⑴求橢圓C的方程；

(2)與X軸不重合的直線/經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)8,與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，過5且與/

垂直的直線交圓A交于P、Q兩點(diǎn)，求四邊形MPN。面積的取值范圍.

59.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)已知函數(shù),/'(x)=e"(∕n√+x),^(x)=e'x2+tιr+olnx+l.

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，求實(shí)數(shù)加的值；

(2)當(dāng)加=1時(shí)，若對(duì)Vx>O,不等式“x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)”的值.

60.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)在一ABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為α,6,c,已

知χ∕3αsinB+bcosA≈2b.

⑴求內(nèi)角A；

(2)點(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，已知AM=2,求JlBC面積的最大值.

61.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)記S,,是正項(xiàng)數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，若存在某正數(shù)M,

∈N*,都有S,,<M,則稱｛q｝的前n項(xiàng)和數(shù)列｛S,,｝有界.從以下三個(gè)數(shù)列中任選兩個(gè),

①O'；②卜③｛：｝‘分別判斷它們的前〃項(xiàng)和數(shù)列是否有界，并給予證明.

62.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E為邊AB的中

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

點(diǎn)，過E作Er)_LAC于。.把VAoE沿OE翻折至的位置，連接AC、4B.

(I)F為邊AC的一點(diǎn)，若CF=2FA,，求證：BF//平面AOE；

(2)當(dāng)四面體C-EBA的體積取得最大值時(shí)，求平面A1DE與平面A1BC的夾角的余弦值.

63.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽(每?jī)芍ш?duì)比

賽一場(chǎng))，比賽分三輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽；第

二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽,

規(guī)定：比賽無(wú)平局，獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少

進(jìn)行排名，積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四支球

隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝概率以近10場(chǎng)球隊(duì)相互之間的勝場(chǎng)比為參考.

隊(duì)伍近10場(chǎng)勝場(chǎng)比隊(duì)伍

甲7:3乙

甲5:5內(nèi)

甲4:6T

乙4:6丙

乙5:5T

丙3:7T

⑴三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X,求P(X=3);

(2)若前二輪比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)積分分別為3、3、0、6,求甲隊(duì)能小組出

線的概率.

64.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)"x)=(χ2-2αχ)l∏Λ?+?∣χ2.

⑴當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)"x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

65.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)打卜月,0),且與圓F?：

(X-出/+V=16內(nèi)切.

(1)求動(dòng)圓圓心”的軌跡C的方程；

(2)設(shè)軌跡C與X軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A8,點(diǎn)尸為軌跡C上異于A8的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)尸B交

直線x=4于點(diǎn)T,連結(jié)AT交軌跡C于點(diǎn)Q.直線AP、AQ的斜率分別為原八k°.

(i)求證：原八砥C為定值；

(ii)證明直線PQ經(jīng)過X軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

五、雙空題

66.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)甲、乙、丙三人參加數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力比賽,他們分別來

自A、B、C三個(gè)學(xué)校,并分別獲得第一、二、三名:已知:①甲不是A校選手;②乙不是B校選

手;③A校選手不是第一名;④B校的選手獲得第二名;⑤乙不是第三名.根據(jù)上述情況,可

判斷出丙是校選手,他獲得的是第名.

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

參考答案：

?.C

【解析】由已知條件求出復(fù)數(shù)Z,利用復(fù)數(shù)的模的公式可求得∣z∣.

【詳解】???z(l+i)=i,???z=士=湍志=甘i[+%

因此，IZl=J[J+(￡|=冬

故選：C.

2.D

【分析】先求得集合A8,再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由不等式GJ41,可得x≥0,所以A={x∣x≥0},

又由不等式(X-2)(X-4)>0,解得x<2或心>4,所以{x∣x<2或x>4},

根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，可得A8={x∣0≤x<2或x>4}.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)條形圖計(jì)算出剛退休時(shí)就醫(yī)費(fèi)用，進(jìn)而計(jì)算出現(xiàn)在的就醫(yī)費(fèi)用，結(jié)合目前就醫(yī)

費(fèi)用所占退休金的比例可得出結(jié)果.

【詳解】剛退休時(shí)就醫(yī)費(fèi)用為4000χl5%=600元，現(xiàn)在的就醫(yī)費(fèi)用為600-IoO=500元，占

退休金的10%,

因此，目前該教師的月退休金為王=5000元.

故選：A

4.B

t(a+b)?a=0l+?=0

【詳解】試題分析：由題意易知：{即{,,.?,b2^-2a-b=2,即

(2a+b)-b=02b-a+b2=0

∣?∣=72.

故選B.

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積的應(yīng)用.

答案第1頁(yè)，共45頁(yè)

5.C

【分析】依題意，得/(g)=sin(2χg+9)=±l,解得夕=J,所以函數(shù)/(x)=SinhX+小，

666kθ√

再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，即可求解，得到答案.

【詳解】依題意，直線X=J是函數(shù)F(X)=Sin(2x+e)(網(wǎng)<力與的圖象的一條對(duì)稱軸，

62

則f(工)=sin(2x工+*)=±1,^?12×-+φ=kπ+~,^φ=kπ+~,

66626

因?yàn)榫W(wǎng)所以夕=?所以函數(shù)/(x)=sin(2x+。

將y=sin2x的圖象向左平行移動(dòng)W個(gè)單位長(zhǎng)度得f(x)=sin2卜+總=sin(2x+。，

選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，其中解答中正

確李穎三角函數(shù)的性質(zhì)，得出三角函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，

著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】利用拋物線的定義，由IPFl=X,,+5=2也，求得點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)尸的

縱坐標(biāo)，由S=；IOFl?屏I求解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：y2=4"r,所以^=√2,

由拋物線的定義得：IPFl=X,,+]=Xp+3=2夜，

解得xp=√2,貝IJyp=±√4√2×√^=±2√2,

所以POF的面積為S=JOFlM卜；X應(yīng)x2a=2,

故選：A

7.D

【解析】先利用定義確定函數(shù)f(x)為偶函數(shù),再利用單調(diào)性證明/(x)在[0,+8)上為增函數(shù),

所以不等式/(1-㈤<∕(2+Y)化簡(jiǎn)為卜時(shí)<2+/，轉(zhuǎn)化為-2-/<l-or<2+χ2在R上

恒成立，求出。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(x)=χ2+2*+2-，的定義域?yàn)镽,af(-x)=x2+2-χ+2'=f(x),所以/(x)為

答案第2頁(yè)，共45頁(yè)

偶函數(shù)?

又當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=Y是增函數(shù),

任取X∣,X2e[0,+∞),且x∣>A?,∕ι(x∣)-∕ι(X2)=2*+2-*,-(2*2+2』)

2怎+j`

=2X'-2Λ≈+-

2v∣*?r2

tlΛ+V2

?,?x∣>X2>0,.?.2,-2*>O,2'?-l>0,.?.h(xl~)-h(x2)>O

所以〃(X)=2*+2-'?在[0,+8)上是增函數(shù)，ERy=/(x)在[0,+⑹上是增函數(shù).

所以不等式/(1一詞<∕(2+Y)對(duì)任意XeR恒成立，轉(zhuǎn)化為"閡<2+/，即

—2—X2<1-αr<2+%2,從而轉(zhuǎn)化為xλ+ax+?>0和%2—0x+3>0i?R上恒成立

①若公+奴+1>0在R上恒成立，則A=∕-4<0,解得一2<α<2;

②若f-0r+3>0在R上恒成立，，則A=4-i2<0,解得一2G<“<2G;

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-2⑵.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方

法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/[g(?)]>f[Kx)]的模型；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉，得到具

體的不等式(組)來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.

8.C

【分析】設(shè)”=4,則巴旦=2"%,利用累乘法可求得。“，利用膽，必可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

a?an

【詳解】設(shè)出=4,

序列(A)的所有項(xiàng)都是2,???A*={q,2q,22%??},即％L=2?%,

Ca?%an_2a2優(yōu)力〃T)

"H/二.?…工%'?F=2"-2q.2iq.?…qq=2?G4,

乎U"='解得：卜焉.

[%=2UV4=321=2

故選：C.

答案第3頁(yè)，共45頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義運(yùn)算問題的求解，關(guān)鍵是能夠明確新定義運(yùn)算實(shí)際給出了數(shù)列

的遞推關(guān)系式，根據(jù)遞推關(guān)系式選擇累乘法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

9.B

【分析】利用復(fù)數(shù)相等，列式求4力，即可求解.

【詳解】(α+3i)i=-3+αi=fe-2i,

所以α=-2,b=-3,得白=?.

a2

故選：B

10.A

【分析】計(jì)算A={X∣-2<X<2},β={Λ∣x2-x-2>θ},再計(jì)算ACB得到答案.

［詳解］A={x∣-2<x<2},B={Λ∣X2-X-2>0}={X∣X>2BJCX<-1},

故Ac3={x∣-2<x<-l}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

11.B

【分析】根據(jù)給定條件利用正弦定理直接計(jì)算即可判斷作答.

【詳解】在JlBC中，若A=g,B=%α=30,由正弦定理，二=一二得：

34SinAsinB

.3√2sin-3√2×-

b=竺—d——J.=.—=25

SinAsin?B

32

所以b=2√L

故選：B

12.A

【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷.

【詳解】對(duì)于不等式1<1,可解得α>l或。<0,

a

所以α>l可以推出L<l,而,<1不可以推出

aa

所以“α>1"是“1<1”的充分不必要條件.

故選：A.

答案第4頁(yè)，共45頁(yè)

13.C

【分析】確定奇偶性，排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由X趨近于。時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除一個(gè)選項(xiàng)同,

然后可得正確選項(xiàng).

【詳解】f(-x)=?nI-XI+cos(-x)=InI%I+cosX≈f(x),所以解乃是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸

對(duì)稱，排除A,B.當(dāng)x>0且無(wú)限趨近于0時(shí)，/(x)趨近于―，排除D,

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

14.A

【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合伸縮變換，即可求解y=∕(χ)的對(duì)稱中心.

【詳解】正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心是(萬(wàn)r,0),ZeZ,若圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來

的縱坐標(biāo)不變，那么對(duì)稱中心是［彳,oj,?∈z,當(dāng)Z=T時(shí)，對(duì)稱中心是

’?，o)，A符合，其他選項(xiàng)不成立.

故選：A

15.D

【分析】首先利用焦半徑公式求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】設(shè)Pay),

?PF?=x+^=x+?=Λ,解得：x=3,代入拋物線方程得丫=±2百，

則網(wǎng)3,土2百)，直線尸。的方程式y(tǒng)=±羊X,即2瓜±3y=0,

2√3-2√7

點(diǎn)F(l,0)到直線PO的距離"=J(2>Y+32=??

故選：D

16.C

【分析】先排工序A,再將工序8和C視為一個(gè)整體與其它3個(gè)工序進(jìn)行全排列，進(jìn)而得到

答案第5頁(yè)，共45頁(yè)

答案.

【詳解】由題意可知，先排工序A,有2種編排方法；再將工序8和C視為一個(gè)整體(有2

種順序)與其他3個(gè)工序全排列共有2A：種編排方法.故實(shí)施順序的編排方法共有2x2/=

96(#).

故選：C.

17.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得z,確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得答案.

【詳解】由(l+i)z=-2i可得Z=W=(必?二I)=Tτ,

l÷ι2

則Z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(T,T),落在第三象限，

故選：C

18.B

【分析】分別解出集合M,N對(duì)應(yīng)的不等式，再根據(jù)交集運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知M={x∣0≤x≤4},

解集合N對(duì)應(yīng)的不等式∣x-l∣<2可得T<χ<3,即N={x∣T<x<3};

所以"N={x∣O≤x<3}.

故選：B

19.B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和等于1可得X=O.015,經(jīng)計(jì)算可得平均數(shù)為120.5,

中位數(shù)約為119,優(yōu)秀率為35%即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意可得(0?005*3+0.01+2X+0.02+0.025)X10=1,可得X=O.015,故A正

確；

根據(jù)頻率分布直方圖可得其平均數(shù)為

90×0.05+l∞×0.15+110x0.2+120x0.25+130x0.15+140x0.1+150x0.05+160x0.05=120.5

，所以B錯(cuò)誤；

由頻率分布直方圖可知，(0.005+0.015+0.02)x10=0.4,而0.4+0.25>0.5,

所以中位數(shù)落在區(qū)間［115,125)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為“，則(α-l15)x0.025=0.5-0.4,可得q=119,

所以C正確;

答案第6頁(yè)，共45頁(yè)

由圖可知，超過125次以上的頻率為(0.15+0.1+0.05+0.05)x10=0.35,所以優(yōu)秀率為35%,

即D正確.

故選：B

20.A

【分析】將1-2a改寫成π-2(α+聿］的形式，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得結(jié)果.

【詳解】由g-2α=π-2(α+?∣)可得，

(2兀c?(JπRJπ}

cos------2a=cosπ-2a+—=-cos2α+-L

I3)II6jjI6)

由二倍角公式可得一cos2(a+S)=2sin，(a+S)-l=2x(；)-1=-^；

故選：A

21.D

【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得y=fχ的傾斜角為60，即

b

-=tan60=√3,則則c?=/+/=4/,即可得出雙曲線的離心率為

b33

e~a~}a2~3

【詳解】雙曲線E-I=I(。>0，b>0)的漸近線的方程為y=±fx,

a^b'b

雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60,

根據(jù)雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得y=fX的傾斜角為60，

b

則q=tan60=石，則。2=2./,

b3

.?.c2=a2+b2=-a2,

3

則該雙曲線的離心率為_2石，

e~a~^∣~ar~~

故選：D.

22.D

答案第7頁(yè)，共45頁(yè)

【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，利用古典概型概率求解.

【詳解】10不同的數(shù)取3個(gè)不同的數(shù)的情況為：CiiO=I20,

其中3個(gè)之和為偶數(shù)的情況為：

①三個(gè)為偶數(shù)：C；=10,

1

②兩奇數(shù)一偶數(shù)：ClC5=5(),

601

共60種情況，所以所求概率為：-----=—.

1202

故選：D.

23.B

【分析】設(shè)"=f,由題意得到第"項(xiàng)為4電=2"。，然后利用累乘法求解.

a

%n

【詳解】解：設(shè)生=L由題意得A*=,2r,22f,},第"項(xiàng)為％1=2"l,