第22講三角函數(shù)應(yīng)用題1.(2018蘇州學(xué)業(yè)陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研)如圖,B,C分別是海岸線上的兩個(gè)城市,兩城市間由筆直的海濱公路相連,B,C之間的距離為100km,海島A在城市B的正東方50km處.從海島A到城市C,先乘船按北偏西θ角α<(1)試建立由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與θ的函數(shù)解析式;(2)試確定使所用時(shí)間最少的登陸點(diǎn)P的位置,并說(shuō)明理由.2.如圖,有一橢圓形花壇,O是其中心,AB是橢圓的長(zhǎng)軸,C是短軸的一個(gè)端點(diǎn).現(xiàn)欲鋪設(shè)灌溉管道,擬在AB上選兩點(diǎn)E,F,使OE=OF,沿CE、CF、FA鋪設(shè)管道,設(shè)∠BFC=θ,若OA=20m,OC=10m,(1)求管道長(zhǎng)度u關(guān)于角θ的函數(shù);(2)求管道長(zhǎng)度u的最大值.3.(2018徐州銅山高三年級(jí)第三次模擬)某三甲醫(yī)院開展用直升飛機(jī)接送危重病人業(yè)務(wù),為了保證直升飛機(jī)降落準(zhǔn)確、安全地降落,在門診樓AB和綜合樓CD的樓上安裝導(dǎo)航標(biāo)志,已知兩樓的地面距離AC=50m,在A,C之間取一導(dǎo)航標(biāo)志觀測(cè)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí),測(cè)得兩樓頂導(dǎo)航標(biāo)志的張角∠BPD=45°,若∠ACB=45°.(1)求兩導(dǎo)航標(biāo)記距離地面的高度AB、CD;(2)要使在點(diǎn)P處看兩樓頂導(dǎo)航標(biāo)志的張角∠BPD最大,點(diǎn)P應(yīng)在何處?

答案精解精析1.解析(1)由題意,船航行的方位角為θ,所以∠BAP=90°-θ,AB=50km,則AP=50cos(90°-θ)=∴PC=100-BP=100-由A到P所用的時(shí)間為t1=AP25=2由P到C所用的時(shí)間為t2=100-50cosθsinθf(wàn)(θ)=t1+t2=2sinθ+43-2cosθ3sinθ=6-(2)由(1),f'(θ)=6-18cosθ設(shè)θ0∈0,π2,其中cosθ0θ(α,θ0)θ0θf(wàn)'(θ)-0+f(θ)減函數(shù)極小值增函數(shù)所以,當(dāng)θ=θ0時(shí),函數(shù)f(θ)取得最小值,此時(shí)BP=50cosθ0sin答:在BC上選擇距離B點(diǎn)17.68km處為登陸點(diǎn),所用時(shí)間最少.2.解析(1)因?yàn)镃F=10sinθ,OF=10tan由OE=OF,知,CE=CF,所以u(píng)(θ)=CE+CF+AF=20sinθ+20-10tan其中0<cosθ<25(2)由u(θ)=20+20-10cosθ令u'(θ)=0得cosθ=12當(dāng)0<cosθ<12當(dāng)12<cosθ<2所以,當(dāng)cosθ=12,即θ=π3時(shí),umax=20+20-所以管道長(zhǎng)度u的最大值為(20+103)m.3.解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)P是AC中點(diǎn),AC=50m,所以AP=PC=25m,在Rt△ABC中,AC=50m,∠ACB=45°,可得AB=AC=50m,在Rt△APB中,tan∠APB=ABAP=50在Rt△CPD中,tan∠DPC=CDPC=CD因?yàn)椤螧PD=45°,所以∠APB+∠DPC=135°,于是tan(∠APB+∠DPC)=tan∠APB+tan∠DPC(2)設(shè)AP=xm,則PC=(50-x)m,在Rt△APB中,tan∠APB=ABAP=50在Rt△CPD中,tan∠DPC=CDPC=75于是tan∠BPD=tan(180°-∠APB-∠DPC)=-tan(∠APB+∠DPC)=-tan∠=-50x+75設(shè)100+x=t,則tan∠BPD=f(t)=25tf(t)=25t+252×30當(dāng)且僅當(dāng)t=252×30t此時(shí)100+x=2530,x=2530-100