《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊(cè)》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用正弦定理、余弦定理來求不能到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離、底部不能到達(dá)的建筑物的高、角度問題。正弦定理、余弦定理是學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個(gè)重要定理，運(yùn)用這兩個(gè)定理可以初步解決幾何及工業(yè)測(cè)量等實(shí)際問題，是解決有關(guān)三角形問題的有力工具。這是一節(jié)關(guān)于正、余弦定理應(yīng)用舉例課.利用應(yīng)用舉例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。把應(yīng)用正余弦定理解決有關(guān)距離、高度、角度等問題融合起來，讓學(xué)生經(jīng)歷情景的過程中解決數(shù)學(xué)問題。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；B.了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語；C.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問題。1.數(shù)學(xué)抽象：常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語；2.邏輯推理：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距離、角；4.數(shù)學(xué)模型：在適當(dāng)?shù)娜切沃薪飧叨?、距離、角度?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解；【教學(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.正弦定理：2.正弦定理的變形：3.余弦定理：變形：4.三角形中的結(jié)論：5.情境引入：（1）現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀浚?）在實(shí)際的航海生活中,人們也會(huì)遇到如下的問題：在浩瀚的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知類型一距離問題例1如圖，A，B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離的方法.并求出A，B間的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=a，并且在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得于是，在△ABC中，應(yīng)用余弦定理可得A，B兩點(diǎn)間的距離思考：在上述測(cè)量方案下，還有其他計(jì)算A，B兩點(diǎn)間距離的方法嗎？【分析】先求AD，BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而在三角形ABD中，求A，B間的距離?？梢?，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式.1.基線：在測(cè)量過程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線。如例1中的CD，為使測(cè)量具有較高精準(zhǔn)度，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，基線越長(zhǎng)，精確到越高。如：類型二底部不可到達(dá)的建筑物的高度例2如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。【分析】如圖，求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE，在△ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng).【解析】選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上.由在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是α,β,CD=a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得類型三角度問題例3.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救。甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7nmile的C處的乙船，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到）？需要航行的距離是多少海里（精確到1nmile）？解：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖。由余弦定理，得于是由正弦定理，得，于是由于，所以因此，乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東大約需要航行24nmile.通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識(shí)，引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過例題讓學(xué)生進(jìn)一步理解用正弦定理、余弦定理求距離，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過思考，進(jìn)一步理解用正弦定理、余弦定理求距離問題的一題多解，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過例題讓學(xué)生進(jìn)一步理解用正弦定理、余弦定理求高度，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過例題讓學(xué)生進(jìn)一步理解用正弦定理、余弦定理求角度，提高學(xué)生的用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、分析問題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東5° B．北偏西10°C．南偏東5° D．南偏西10°【答案】B【解析】由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°.2．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A．50eq\r(3)米 B．100eq\r(3)米C．50米 D．100米【答案】A【解析】因?yàn)椤螪AC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\r(3)米．3．一艘船上午9：30在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)【答案】D【解析】由題意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小時(shí))．4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為m.【答案】200(eq\r(3)＋1)【解析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3)m.故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m．5．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離．【解析】由題意，畫出示意圖．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12eq\r(6).由正弦定理得AD＝eq\f(AB,sin60°)·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)(海里)．即A處與D處之間的距離為24海里，C，D之間的距離為8eq\r(3)海里．通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、小結(jié)1、解決應(yīng)用題的思想方法是什么？把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)建模思想。2.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）、審題（分析題意，弄清已知和所求，根據(jù)提意，畫出示意圖；（2）.建模（將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的數(shù)學(xué)問題）（3）求模（正確運(yùn)用正、余弦定理求解）（4）還原。五、作業(yè)習(xí)題6.48,9題通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。【教學(xué)反思】本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課,可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的,因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。并根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平,確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理,能夠運(yùn)用解決一些三角形問題,具有了一定的基礎(chǔ)。但學(xué)生在運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形時(shí)候不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的問題,構(gòu)造模型的能力有待提高。我認(rèn)為本堂課學(xué)生難點(diǎn)在于:實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后解三角形,得到實(shí)際問題的解，并且能根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,畫出示意圖。《6.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；2.了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語；3.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問題?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解；【教學(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。【知識(shí)梳理】1．基線的概念與選擇原則(1)定義在測(cè)量過程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的叫做基線．(2)性質(zhì)在測(cè)量過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的，使測(cè)量具有較高的精確度．一般來說，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．2．測(cè)量中的有關(guān)角的概念(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫．(如圖所示)(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.(如圖所示)【學(xué)習(xí)過程】一、探索新知類型一距離問題例1如圖，A，B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離的方法.并求出A，B間的距離。思考：在上述測(cè)量方案下，還有其他計(jì)算A，B兩點(diǎn)間距離的方法嗎？可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式.1.基線：在測(cè)量過程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做。如例1中的CD，為使測(cè)量具有較高精準(zhǔn)度，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，基線，精確到越高。如：類型二底部不可到達(dá)的建筑物的高度例2如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。類型三角度問題例3.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救。甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7nmile的C處的乙船，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到）？需要航行的距離是多少海里（精確到1nmile）？【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東5° B．北偏西10°C．南偏東5° D．南偏西10°2．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A．50eq\r(3)米 B．100eq\r(3)米C．50米 D．100米3．一艘船上午9：30在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為m.5．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離．參考答案：例1.解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=a，并且在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得于是，在△ABC中，應(yīng)用余弦定理可得A，B兩點(diǎn)間的距離思考：先求AD，BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而在三角形ABD中，求A，B間的距離。例2.選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上.由在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是α,β,CD=a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得例3.根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖。由余弦定理，得于是由正弦定理，得，于是由于，所以因此，乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東大約需要航行24nmile.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.【答案】B【解析】由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°.2.【答案】A【解析】因?yàn)椤螪AC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\r(3)米．3.【答案】D【解析】由題意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小時(shí))．4.【答案】200(eq\r(3)＋1)【解析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3)m.故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m．5.【解析】由題意，畫出示意圖．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12eq\r(6).由正弦定理得AD＝eq\f(AB,sin60°)·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)(海里)．即A處與D處之間的距離為24海里，C，D之間的距離為8eq\r(3)海里．《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例一、選擇題1．某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值是（）A． B． C．3 D．或2．藍(lán)軍和紅軍進(jìn)行軍事演練，藍(lán)軍在距離的軍事基地和，測(cè)得紅軍的兩支精銳部隊(duì)分別在處和處，且，，，，如圖所示，則紅軍這兩支精銳部隊(duì)間的距離是（）A．B．C．D．3．如圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離(此障礙物阻擋了A，B之間的視線)，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)A． B． C． D．4．如圖所示，長(zhǎng)為的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在離堤足處的地面上，另一端在離堤足處的石堤上，石堤的傾斜角為，則坡度值等于（）A．B．C．D．5.（多選題）某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值是（）A． B． C．3 D．66．（多選題）一艘輪船從A出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行了海里到達(dá)海島C．如果下次航行直接從A出發(fā)到C，此船航行的方向和路程（海里）分別為（）A．北偏東B．北偏東C．D．二、填空題7．某人站在60米高的樓頂A處測(cè)量不可到達(dá)的電視塔高，測(cè)得塔頂C的仰角為300，塔底B的俯角為150，已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上，則電視塔的高為米．8．在O點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)刻物體位于P點(diǎn)，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，且，再過一分鐘，該物體位于R點(diǎn)，且，則的值是_____________.9．如圖，海中有一小島B，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁．一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見小島B在北偏東75°，航行8海里到達(dá)C處，望見小島B在北偏東60°．若此艦不改變航行的方向繼續(xù)前進(jìn)，則此艦____________觸礁的危險(xiǎn)．（填“有”或“沒有”）10．甲船在島B的正南A處，AB="10"km，甲船以每小時(shí)4km的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是_______h，最近距離是km．三、解答題11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－3，1)，直線OB的傾斜角為45°，且|OB|＝eq\r(2).(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度；2)在平面直角坐標(biāo)系中，取1厘米為單位長(zhǎng)度．現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿傾斜角為60°的射線BC運(yùn)動(dòng)，另一質(zhì)點(diǎn)Q同時(shí)以eq\r(2)厘米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)作直線運(yùn)動(dòng)，如果要使得質(zhì)點(diǎn)Q與P會(huì)合于點(diǎn)C，那么需要經(jīng)過多少時(shí)間？12．如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P(觀察站高度忽略不計(jì))，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30°方向，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60°方向，俯角為60°的C處．(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)答案解析第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例一、選擇題1．某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值是（）A． B． C．3 D．或【答案】D【解析】由題作出示意圖，如圖所示，易知，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以有兩解，即?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.本題選擇D選項(xiàng).2．藍(lán)軍和紅軍進(jìn)行軍事演練，藍(lán)軍在距離的軍事基地和，測(cè)得紅軍的兩支精銳部隊(duì)分別在處和處，且，，，，如圖所示，則紅軍這兩支精銳部隊(duì)間的距離是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以△ADC是等邊三角形，所以．在△BDC中，根據(jù)正弦定理得，，所以．在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，，所以．3．如圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離(此障礙物阻擋了A，B之間的視線)，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理知，需要測(cè)量數(shù)據(jù)．故選C．4．如圖所示，長(zhǎng)為的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在離堤足處的地面上，另一端在離堤足處的石堤上，石堤的傾斜角為，則坡度值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且+∠ACB=π．由余弦定理可得，，即，解得，所以，所以．5.（多選題）某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值是（）A． B． C．3 D．6【答案】AB【解析】由題作出示意圖，如圖所示，易知，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以有兩解，即?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.本題選擇AB選項(xiàng).6．（多選題）一艘輪船從A出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行了海里到達(dá)海島C．如果下次航行直接從A出發(fā)到C，此船航行的方向和路程（海里）分別為（）A．北偏東B．北偏東C．D．【答案】BC【解析】依題意可得在中．．由余弦定理可得．，由正弦定理可得，由題意可知在中為銳角，所以．所以如果下次航行直接從A出發(fā)到C，此船航行的方向?yàn)楸逼珫|，路程為海里．故BC正確．二、填空題7．某人站在60米高的樓頂A處測(cè)量不可到達(dá)的電視塔高，測(cè)得塔頂C的仰角為300，塔底B的俯角為150，已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上，則電視塔的高為米．【答案】120+40【解析】如圖,用AD表示樓高,AE與水平面平行,E在線段BC上,因?yàn)椤螩AE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,則AE===120+60,在Rt△AEC中,CE=AE·tan30°=(120+60)×=60+40,∴BC=CE+BE=60+40+60=(120+40)米,所以塔高為(120+40)米.8．在O點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)刻物體位于P點(diǎn)，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，且，再過一分鐘，該物體位于R點(diǎn)，且，則的值是_____________.【答案】【解析】由于物體均速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意，，不妨設(shè)其長(zhǎng)度為1.在中，,.在中，由正弦定理得，在中，，兩式兩邊同時(shí)相除，得.又在中，，所以.9．如圖，海中有一小島B，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁．一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見小島B在北偏東75°，航行8海里到達(dá)C處，望見小島B在北偏東60°．若此艦不改變航行的方向繼續(xù)前進(jìn)，則此艦____________觸礁的危險(xiǎn)．（填“有”或“沒有”）【答案】沒有【解析】過點(diǎn)B作BD⊥AE交AE于D，由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°，在Rt中，AD=BD·tan∠ABD="BD·tan"75°，在Rt中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°，所以AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8，所以，所以該軍艦沒有觸礁的危險(xiǎn)．10．甲船在島B的正南A處，AB="10"km，甲船以每小時(shí)4km的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是_______h，最近距離是km．【答案】【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，如圖，假設(shè)th后甲船行駛到D處，乙船行駛到C處，此時(shí)兩船相距最近，則∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－2BD·BCcos∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcos120°=28t2－20t+100，所以當(dāng)t=，即航行時(shí)間為h時(shí)，CD2最小，即甲、乙兩船相距最近，最近距離為三、解答題11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－3，1)，直線OB的傾斜角為45°，且|OB|＝eq\r(2).(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，取1厘米為單位長(zhǎng)度．現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿傾斜角為60°的射線BC運(yùn)動(dòng)，另一質(zhì)點(diǎn)Q同時(shí)以eq\r(2)厘米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)作直線運(yùn)動(dòng)，如果要使得質(zhì)點(diǎn)Q與P會(huì)合于點(diǎn)C，那么需要經(jīng)過多少時(shí)間？【解析】：(1)設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，依題意x0＝eq\r(2)cos45°＝1，y0＝eq\r(2)sin45°＝1，從而B(1，1)，又A(－3，1)，所以AB∥x軸，則|AB|＝|1