-2024學(xué)年重慶市萬州三中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線經(jīng)過兩點，則直線的傾斜角為A． B． C． D．2．等比數(shù)列中，，則與的等比中項為（

）A．24 B． C． D．3．關(guān)于橢圓與雙曲線的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．焦點相同 B．頂點相同 C．焦距相等 D．離心率相等4．已知是空間的一個基底，則可以和構(gòu)成空間的另一個基底的向量為（

）A． B． C． D．5．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（

）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺6．若直線與圓相離，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（

）A．0或1 B．0 C．1 D．27．在空間中，“經(jīng)過點，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．若是雙曲線的兩個焦點，為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．點在圓M內(nèi) B．圓M關(guān)于對稱C．半徑為1 D．直線與圓M相切10．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為11．已知拋物線，焦點為，動點在拋物線的準(zhǔn)線上，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是（

）A．B．C．直線的方程為D．面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線與直線具有相同的法向量，且經(jīng)過點，則直線的一般式方程為.13．已知數(shù)列滿足：，，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是．14．月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學(xué)習(xí)小組通過單光源實驗來演示月球背面.由光源點射出的兩條光線與分別相切于點、，稱兩射線、上切點上方部分的射線與優(yōu)弧上方所夾的平面區(qū)域(含邊界)為圓的“背面”.若以點為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知動點M到點A（6，0）的距離等于M到點的距離的3倍，(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)若直線與軌跡C沒有交點，求k的取值范圍.16．如圖，平行六面體的底面是正方形，，，若，，．(1)用，，表示；(2)求異面直線與所成角的余弦值．17．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點，，…，，，，…，，若記的面積為，求數(shù)列的前項和.18．在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，在梯形中，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若直線與平面所成的角為，為棱上一點（不含端點），試探究上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.19．閱讀材料并解決如下問題：Bézier曲線是計算機(jī)圖形學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線之一.法國數(shù)學(xué)家DeCasteljau對Bézier曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據(jù)對應(yīng)的一定比例，使用遞推畫法，可以畫出拋物線.反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應(yīng)邊成比例的結(jié)論.已知拋物線上的動點到焦點距離的最小值為.(1)求的方程及其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)如圖，是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，若，求的值.1．A【詳解】試題分析：設(shè)直線的傾斜角為，由兩點斜率公式的直線的斜率所以，故選A．考點：1、直線的斜率公式；2、直線的傾斜角．2．C【分析】直接由等比中項的性質(zhì)計算即可.【詳解】與的等比中項為，，則．故選：C．3．C【分析】利用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別考慮其性質(zhì)即可得解.【詳解】對于橢圓，顯然恒成立，設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，所以，則，則，所以橢圓的焦點為，焦距為，頂點和離心率是變化的；對于雙曲線，顯然其焦點在軸上，只需考慮焦距即可，不妨設(shè)其焦距為，則，故，所以雙曲線的焦距為；所以橢圓與雙曲線的焦距相等，故C正確，其余選項都不正確.故選：C.4．C【分析】利用基底的概念及空間向量的共面定理一一分析即可.【詳解】易知：，則與共面，同理，，即、均與共面，所以A、B、D三項均不能和構(gòu)成空間的另一個基底，故A、B、D錯誤；設(shè)，顯然無法成立，即與不共面，故C正確.故選：C5．A【分析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案．【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A．6．D【分析】由直線與圓相離得，則點在橢圓的內(nèi)部，由此即可得解.【詳解】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點在橢圓的內(nèi)部，所以過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是2.故選：D.7．B【分析】由定義得出兩直線的法向量，數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦值.【詳解】由題意，平面和平面的法向量分別是，，設(shè)平面和平面的夾角為，故選：B.8．D【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出，再求出作答.【詳解】依題意，點與，與都關(guān)于原點O對稱，且，因此四邊形是矩形，如圖，由雙曲線：得：，，于是，顯然四邊形的外接圓半徑為，因此，所以.故答案為：9．CD【分析】化出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，再逐項驗證.【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為1，A.因為，所以點在圓M外，故錯誤；B.因為，即圓心不在直線上，故錯誤；C.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，半徑為1，故正確；D.因為圓心為到直線的距離為，與圓M的半徑相等，故直線與圓M相切，故正確；故選：CD10．ACD【分析】由、知、，即可判斷AB；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷CD.【詳解】由，得，即，由，得，即，所以.A：由，可知，故A正確；B：由，可知數(shù)列的公差，故B錯誤；C：，由知隨的增大而增大，則，所以的最小值為，故C正確；D：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，又，，所以，，所以，即，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD11．ABC【分析】設(shè)點、，推導(dǎo)出拋物線在點處的切線方程為，同理可得出拋物線在點處的切線方程為，將點的坐標(biāo)代入兩切線的方程，可推導(dǎo)出直線的方程，然后將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】設(shè)點、，先證明出拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，即，可得，所以，拋物線在點處的切線方程為，同理可知，拋物線在點處的切線方程為，將點的坐標(biāo)代入兩切線方程可得，所以，點、的坐標(biāo)均滿足方程，又因為兩點確定一條直線，故直線的方程為，C對；聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可知，，，故直線、的斜率之積為，故，A對；因為，則，可得，所以，，易知直線經(jīng)過拋物線的焦點，，所以，，則，B對；，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最小值為，D錯.故選：ABC.【點睛】結(jié)論點睛：拋物線在其上一點處的切線方程為；拋物線在其上一點處的切線方程為.12．【分析】分析可知，直線與直線平行，可設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的一般方程.【詳解】因為，所以，點不在直線上，又因為直線與直線具有相同的法向量，且直線過點，則直線與直線平行，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以，直線的一般方程為.故答案為：.13．【分析】根據(jù)題意是遞增數(shù)列可知，進(jìn)而可得不等式恒成立，即得.【詳解】是遞增數(shù)列，且對于任意的，都有成立對于任意，，，化為：恒成立，又單調(diào)遞減，所以．故答案為：.14．##【分析】設(shè)過點的切線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出，即可得到直線、的方程，從而求出的取值范圍，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時，取最大值，從而求出的最大值，即可得解.【詳解】如圖設(shè)過點的切線方程為，所以，解得，所以直線的方程為，即，令，解得，直線的方程為，即，令，解得，因為圓處于圓的“背面”，所以，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時，取最大值，由圓與圓外切得，圓與相切時，又，所以，所以，即，解得或，結(jié)合，所以，所以的最大值為，同理圓與相切時的最大值為，綜上可得的最大值為.故答案為：

15．(1)(2)【分析】（1）設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程，化簡求得動點的軌跡的方程.（2）聯(lián)立直線與軌跡的方程，結(jié)合判別式列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點M的坐標(biāo)（x，y），由題意得：|MA|=3|MB|，即：,整理得：,故軌跡C是以（0，0）點為圓心，2為半徑的圓，其方程為：.（2）由題意可聯(lián)立方程組，消去y，得方程：，因為直線與圓C沒有交點，所以，即：，解得：.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算可得；（2）空間向量數(shù)量積公式結(jié)合向量夾角公式計算即可.【詳解】（1）因為．（2），因為，，，所以，，，所以，所以異面直線與夾角的余弦值為．17．（1），；（2）【分析】（1）數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程求出首項和，的值即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論計算，，計算的通項，利用乘公比錯位相減即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則.因為，，所以，得，又因為，所以，可得，所以；設(shè)數(shù)列的公差為，因為，，所以解得，所以；（2）由（1）得，，故，則，，①，②由①－②得，，，所以.18．(1)證明見解析(2)存在，1【分析】（1）由平面平面推出，再由推出平面，進(jìn)而推出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，利用向量法表示出平面與平面夾角的余弦值即可求解.【詳解】（1）因為平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，故，因為四邊形為菱形，所以，又，，平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）設(shè)，由（1）可知，平面，故直線與平面所成的角為，所以，則與均為邊長為2的等邊三角形，以為原點，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由平面，可得平面的法向量為，而，，，設(shè)（），則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，故，所以平面與平面夾角的余弦值為，解得或0（舍去），所以存在一點使得平面與平面夾角的余弦值為，此時的長為1..19．(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為(2)1【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出，即可得的方程及其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，拋物線上過點的切線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)求出，進(jìn)而可求得拋物線上過點的切線方程，同理可求得拋物線上過點的切線方程，兩兩聯(lián)立，可以求得交點的縱坐標(biāo)，再分別求出，再根據(jù)即可得解.【詳解】（1）因為拋物線上的點到焦點距離的最小值為，轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)