第05講空間向量的坐標(biāo)表示【題型歸納目錄】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識點(diǎn)二：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識點(diǎn)三：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立知識點(diǎn)四、空間直角坐標(biāo)系1、空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).知識點(diǎn)五、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.2、空間直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是.知識點(diǎn)六、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，則①即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.知識點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式若，則(1).(2).知識點(diǎn)詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【典型例題】題型一：基底的判斷【例1】（2024·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是空間的一個基底,設(shè)，則下列向量中可以與一起構(gòu)成空間的另一個基底的是（

）A． B． C． D．以上都不對【變式1-1】（2024·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是空間的一個基底，則可以和構(gòu)成空間的另一個基底的向量為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間的一組基，則可以與向量，構(gòu)成空間的另一組基的向量是（

）A． B．C． D．題型二：基底的運(yùn)用【例2】（2024·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【變式2-1】（2024·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【變式2-2】（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在圓錐中，點(diǎn)A，B在底面圓周上，點(diǎn)C，D分別是母線的中點(diǎn)，，記，則（

）

A． B． C． D．題型三：正交分解【例3】（2024·吉林松原·高二?？计谀┰O(shè)是空間向量的一個單位正交基底，則向量，的坐標(biāo)分別是；【變式3-1】（2024·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）已知是空間的一個單位正交基底，，若，則.【變式3-2】（2024·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）定義：設(shè)是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)是．則向量在基底下的坐標(biāo)是．題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題【例4】（2024·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．若四點(diǎn)在同一個平面上，則（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2024·天津河?xùn)|·高二統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)，若AB＝a，則MN的長為（

）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)題型五：空間向量的坐標(biāo)表示【例5】（2024·海南儋州·高二校考期末）向量，則的坐標(biāo)是.【變式5-1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）已知，則．【變式5-2】（2024·浙江金華·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則.【變式5-3】（2024·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，共線，則．題型六：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算【例6】（2024·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎襟w的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.寫出向量，，的坐標(biāo).

【變式6-1】（2024·高二課時練習(xí)）在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為1，分別求，，的坐標(biāo)．【變式6-2】（2024·高二課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．題型七：空間向量的共線與共面【例7】（2024·貴州黔東南·高二?？计谀┤羧c(diǎn)共線，則．【變式7-1】（2024·廣東惠州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn).若點(diǎn)在平面內(nèi)，則x=.【變式7-2】（2024·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）已知，且共面，則．【變式7-3】（2024·浙江嘉興·高二嘉興高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，共面，則題型八：空間向量模長坐標(biāo)表示【例8】（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┮阎?，且，則=．【變式8-1】（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谀┮阎?，，則三角形的面積為．【變式8-2】（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，則在上的投影向量的模為.題型九：空間向量平行坐標(biāo)表示【例9】（2024·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎蛄?，，且與平行，則.【變式9-1】（2024·河北石家莊·高二石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，若平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【變式9-2】（2024·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，且，則實(shí)數(shù)．【變式9-3】（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，，若空間向量與平行，則.題型十：空間向量垂直坐標(biāo)表示【例10】（2024·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)），若，則實(shí)數(shù)值為.【變式10-1】（2024·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谀c(diǎn)，，，若在線段上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式10-2】（2024·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）正方體棱長為為平面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動且，則最小值是．【變式10-3】（2024·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長為4的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，則線段的長度的最小值為.題型十一：空間向量夾角坐標(biāo)表示【例11】（2024·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式11-1】（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式11-2】（2024·新疆烏魯木齊·高二校考期末）已知，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【變式11-3】（2024·高二課時練習(xí)）已知，，三點(diǎn)，點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，O是平面ABC外一點(diǎn)，且=x+2x+4，則的夾角為（

）A． B． C． D．【變式11-4】（2024·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【變式11-5】（2024·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）已知，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·吉林·高二校聯(lián)考期末）已知向量，，則向量在向量上的投影向量（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽阜陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，若向量，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．3．（2024·遼寧·高二丹東市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，點(diǎn)為底面三角形的重心，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則在基底下的有序?qū)崝?shù)組為（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇無錫·高二輔仁高中?？计谀┮阎臻g三點(diǎn)，，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知向量，且，則（

）A． B． C． D．6．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B．C． D．7．（2024·江西·高二井岡山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則（

）A．3 B． C．7 D．8．（2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，當(dāng)時，（

）

A．2 B． C． D．二、多選題9．（2024·四川·高二校聯(lián)考期末）在四棱臺中，空間的一個基底可能是（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．11．（2024·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，，，則（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對稱B．點(diǎn)關(guān)于軸對稱C．存在實(shí)數(shù)，，使得D．可以構(gòu)成空間的一組基12．（2024·重慶·高二重慶市萬州第二高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得 D．若，則三、填空題13．（2024·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)，，則.14．（2024·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)則.15．（2024·廣東珠海·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是.16．（