2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級（上）月考數(shù)學

試卷（9月份）（五四學制）

考試注意事項：

1、考生須誠信考試,遵守考場規(guī)則和考試紀律，并自覺服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準考證號、姓名等信息；考試中途考生不準以

任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答（作圖可使用鉛筆），不準用規(guī)定以外的筆

答卷，不準在答卷上作任何標記?？忌鷷鴮懺诖痤}卡規(guī)定區(qū)域外的答案無效。

4,考試開始信號發(fā)出后,考生方可開始作答。

一、選擇題（每小題3分，共計30分）

I.下面關于x的方程中，是一元二次方程的是（）

A.a^+bx+c—QB.lx2--—=4

x

C.2x2-3xy+4=0D.x2=l

2.下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.3B.-3C.-1D.1

4.拋物線y=-(x-2)2+3的頂點坐標是()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

5.如圖,△ABC中,5c=70°,ZB=30°,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到△AB'

C',且C'在邊BC上，則NB'C8的度數(shù)為（)

B1.

BCC

A.30°B.40°C.46°D.60°

6.下列關于x的一元二次方程有實數(shù)根的是()

A.『+1=0B./+工+1=0C.X2-x+1==0D.x2-x-I=0

7.將二次函數(shù)尸2x2-8x-1化成y=〃(X-/?)2+4的形式，結(jié)果為()

A.y=2(x-2)2-1B.y=2(x-4)2+32

C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x-4)2-33

8.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)丫=以2+。的圖象大致為(

9.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元.已知兩次降價的百分率都為x,

那么x滿足的方程是()

A.100(1+x)2=81B.100(1-x)2=81

C.100(1-x%)2=81D.100x2=81

10.二次函數(shù)y=ax2+/)x+c(〃#0)的圖象如圖所示，其對稱軸為x=l.下列結(jié)論中：①a

>0；②2a+b=0；③扶-4ac>0；@a-b+c>0；(§)a+b>am2+bm.上述結(jié)論正確的有(

A.2B.3C.4D.5

二、填空題(每小題3分，共24分)

11.方程(x-2)(x+3)=0的解是

12.如果將拋物線y=d-3向左平移2個單位，再向上平移4個單位，那么平移后的拋物

線解析式是.

13.若關于x的方程ar2-4x+3=0有兩個相等的實數(shù)根，則常數(shù)a的值

是.

14.已知2是關于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一個根，則該方程的另一個根

是.

15.如圖所示，邊長為2的正三角形AB。的邊。8在x軸上，將AAB。繞原點。逆時針旋

轉(zhuǎn)30°得到三角形。4道|,則點&的坐標為.

16.一個等腰三角形的兩條不相等的邊長分別是方程？-7x+12=0的兩根，則該等腰三角

形的周長是.

17.如圖，點4,8的坐標分別為(1,4)和(4,4),拋物線y=a(x-m)?+〃的頂點在

線段AB上運動，與x軸交于C、。兩點(C在。的左側(cè))，點C的橫坐標最小值為-3,

則點。的橫坐標最大值為一

n,

crw

18.如圖，一段拋物線：y=-x(x-3)(0WxW3),記為Ci，它與x軸交于點0,Ai；

將Ci繞點Ai旋轉(zhuǎn)180°得C2,交X軸于點42；

將C2繞點心旋轉(zhuǎn)180°得C3,交X軸于點A3；

如此進行下去，直至得Cm若尸(37,m)在第13段拋物線C13上，則而=

三、解答題（19?24題每題6分，25?27題每題10分，共66分）

19.（6分）解方程:

(1)/-6x+8=0；

(2)8x+l=0.

20.（6分）圖①是電子屏幕的局部示意圖，4義4網(wǎng)格的每個小正方形邊長均為1,每個小

正方形頂點叫做格點，點力，B,C,。在格點上，光點尸從4。的中點出發(fā)，按圖②的

程序移動

（1）請在圖①中用圓規(guī)畫出光點P經(jīng)過的路徑;

（2）在圖①中，所畫圖形是圖形（填“軸對稱”或“中心對稱”），所畫

圖形的周長是（結(jié)果保留TT）.

B

圖①

21.（6分）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：，"）與水平距離x（單位：，〃）

.求他將鉛球推出的水平距離和最大高度.

22.（6分）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得

到△AOC,連接OD

(1)求證：△CO。是等邊三角形；

(2)當/AOC=105°,NBOC=150°時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由.

23.(6分)如圖，拋物線經(jīng)過點A、B、C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若拋物線和x軸的另一個交點為。求△ODC的面積.

24.(6分)已知關于x的二次函數(shù)y=/nr2-(,〃+2)x+2施W2).

(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)機的值.

25.某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件.后

來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件.

(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤元.

(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元.

①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價多少元？

②求出y與x之間的函數(shù)關系式，當x取何值時，商場獲利潤最大？

26.已知：△A8C和均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC

=EC,連接BO,取力E、BD、A8的中點分別為G、F、H,連接尸G、GH、HF.

(1)當點。在AC邊上，點E在BC邊上時，如圖1,判斷△FGH的形狀為；

(2)把圖1中△￡)口繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)得到圖2,判斷△FG”的形狀是否改變？請

說明理由；

(3)把△OCE繞點C在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若AC=10,OC=6,求線段G”的最大值與

27.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c(a#0)與x軸相交于A、B兩點,

與y軸交于點C,點A的坐標為(-3,0),點8的坐標為(1,0).

備用圖

(1)求此拋物線的解析式；

(2)點P在直線AC下方的拋物線上，連接月4、PC,設點P的橫坐標為r,△PAC的

面積為s,求s與/的函數(shù)關系式并寫出自變量f的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過點尸作y軸的平行線與AC相交于點Q,當線段尸。的長度最

大時，求s的值.

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級（上）月考數(shù)學

試卷（9月份）（五四學制）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共計30分）

1.下面關于x的方程中，是一元二次方程的是（）

A.ar2+/?x+c=0B.2x2=4

x

C.2/-3與44=0D.~=1

解：A、ax2+bx+c—0rf1,a=0時，不是一元二次方程，故本選項錯誤;

8、分母中含有字母，不是一元二次方程，故本選項錯誤；

C、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項錯誤；

。、符合一元二次方程的定義，故本選項錯誤.

故選：D.

2.下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

解：4不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故A選項錯誤；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故8選項錯誤；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C選項正確；

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故。選項錯誤.

故選：C.

3.已知點A（1,a）、點、B（b,2）關于原點對稱，則的值為（）

A.3B.-3C.-1D.1

解：：點A（1,a）、點B（b,2）關于原點對稱,

.?.a=-2,b--1,

/?ci^'b=-3.

故選：B.

4.拋物線y=-(x-2)2+3的頂點坐標是()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(2,一3)D.(-2,-3)

解：??,拋物線的解析式為：y=-￡-2)2+3,

???其頂點坐標為(2,3).

故選：B.

5.如圖，/XABC中，ZC=70°,ZB=30°,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到△A)

U,且C'在邊BC上，則N*C8的度數(shù)為()

解：???根據(jù)題意得：AC=AC,ZACfB'=ZC=70°,

AZAC1C=ZC=70°,

ZAC15=180。-NAC'C=110°,

：.ZB'C8=NAC'B-ZAC7B'=40°.

故選：B.

6.下列關于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（）

A.?+1=0B.x2+x+l=0C.x2-x+l=0D.x2-x-1=0

解：4、這里。=1,b=。,c=L

,:A=b2-4〃c=-4<0,

，方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；

B、這里〃=1,b=l,c=l,

△=b2-4ac=1-4=-3<0,

???方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；

C、這里。=1,b=-1,c=l,

?.?△=層_4ac=j_4=-3<0,

...方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意:

。、這里”=1,b=-1,c=-\,

A=b2-4ac=1+4=5>0,

，方程有兩個不相等實數(shù)根，本選項符合題意；

故選：D.

7.將二次函數(shù)y=2x2-8x-1化成y=a(x-h)2+%的形式，結(jié)果為()

A.y=2(x-2)2-1B.y=2(x-4)2+32

C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x-4)2-33

解:y=2x2-Sx-1,

—2(x2-4x+4)-8-1,

=2(x-2)2-9,

BPy=2(x-2)2-9.

故選：C.

8.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=ox2+c的圖象大致為(

解：：一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過)，軸上的(0,c),

兩個函數(shù)圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；

當。＞0時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故C選項錯誤；

當。＜0時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故4選項錯誤；

故選：D.

9.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元.己知兩次降價的百分率都為x,

那么x滿足的方程是()

A.100Q+x)2=81B.100(1-x)2=81

C.100(1-x%)2=81D.1001-2=81

解：設兩次降價的百分率均是X，由題意得:

X滿足方程為100(1-x)2=81.

故選：B.

10.二次函數(shù)y=〃x2+bx+c(〃W0)的圖象如圖所示，其對稱軸為x=l.下列結(jié)論中：①ac

>0；②2a+b=0；③尻-4ac>0；@a-b+c>0；(§)a+b>am2+hm.上述結(jié)論正確的有()

A.2B.3C.4D.5

解：???拋物線開口向下，

A?<0,

??,拋物線與y軸交點位于y軸正半軸，

：.c>0,

V拋物線的對稱軸為直線X=-￡=1,

2a

:.b=-2。>0,B|J2。+力=0,

：.ac<0,所以①錯誤；②正確；

??,拋物線與x軸有兩個不同的交點，

A/?2-4ac>0,所以③正確；

Vx=-1時，y<0,

：.a-h+c=<09所以④錯誤，⑤??,拋物線開口向下，

，當x=l時，y有最大值，

a+h+canfi+hm+c(團為一切實數(shù))，

故⑤錯誤；故選：A.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11.方程(x-2)(x+3)=0的解是勺=2,x2=-3.

解：(x-2)(x+3)=0,

可得x-2=0或x+3=0,

解得：xi=2,X2=-3.

故答案為：xi=2,12=-3

12.如果將拋物線y=7-3向左平移2個單位，再向上平移4個單位，那么平移后的拋物

線解析式是y=(x+2)2+1.

解：依題意,得尸(x+2)2-3+4=(x+2)2+1,

故答案為：y=(x+2)2+1.

13.若關于x的方程加-4x+3=0有兩個相等的實數(shù)根，則常數(shù)〃的值是4?

解：根據(jù)題意得△=(-4)2-4aX3=0,

解得

故答案為

14.已知2是關于x的一元二次方程》+4x-p=0的一個根,則該方程的另一個根是-6.

解：：2是關于x的一元二次方程『+4x-p=0的一個根，

2+x\--4,

,'.x]=-6,

該方程的另一個根是-6.

15.如圖所示，邊長為2的正三角形A3。的邊0B在x軸上，將AABO繞原點。逆時針旋

轉(zhuǎn)30°得到三角形。AiB],則點Ai的坐標為_(^,-1).

解：如圖，設與x軸相交于C,

「△ABO是等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°,

ZAIOC=60°-30°=30°,

.?.Ai8i_Lx軸,

?.?等邊△ABO的邊長為2,

.?.OC=2^X2=F，

AiC=^-X2=l,

又「Ai在第四象限，

...點4的坐標為(-1).

16.一個等腰三角形的兩條不相等的邊長分別是方程/-7x+12=0的兩根，則該等腰三角

形的周長是10或11.

解：x2-7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

x-3=0,x-4=0,

xi=3,12=4,

①等腰三角形的三邊是3,3,4,符合三角形三邊關系定理，此時三角形的周長是3+3+4

=10；

②等腰三角形的三邊是3,4,4,此時符合三角形三邊關系定理，三角形的周長是3+4+4

=11;

即等腰三角形的周長是10或11.

故答案為10或II.

17.如圖，點4,8的坐標分別為(1,4)和(4,4),拋物線y=a(x-m)2+〃的頂點在

線段A8上運動，與x軸交于C、￡＞兩點(C在。的左側(cè))，點C的橫坐標最小值為-3,

解：當點C橫坐標為-3時，拋物線頂點為A(1,4),對稱軸為x=l,此時。點橫坐

標為5,則8=8；

當拋物線頂點為B(4,4)時，拋物線對稱軸為x=4,故C(0,0),。(8,0)；

由于此時。點橫坐標最大，

故點D的橫坐標最大值為8；

故答案為：8.

18.如圖，一段拋物線：y=-x(%-3)(0WxW3),記為Ci，它與x軸交于點。，Ai；

將Ci繞點從旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點上；

將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點??；

如此進行下去，直至得G3.若尸(37,m)在第13段拋物線C13上，則，〃=2.

解：：一段拋物線：y--x(x-3)(0WxW3),

二圖象與x軸交點坐標為：(0,0),(3,0),

?.,將Ci繞點4旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點A；

將C2繞點心旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點A3；

如此進行下去，直至得C|3.

.\Ci3與x軸的交點坐標為(36,0),(39,0),且圖象在x軸上方,

.?.C13的解析式為：＞13=-(x-36)(x-39),

當x=37時，)，=-(37-36)X(37-39)=2.

故答案為：2.

三、解答題(19?24題每題6分，25?27題每題10分，共66分)

19.(6分)解方程:

(1)N-6X+8=0；

(2)J^-SX+^O.

解：⑴N-6%+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

?,?工-2=0或犬-4=0,

??X]=2,&=4；

(2)x2-8x=1,

x2-8x+42=-1+16

Cx-4)2=15,

x-4=±V15-

/.Xj=4+\/15,x2=4^/15.

20.(6分)圖①是電子屏幕的局部示意圖，4X4網(wǎng)格的每個小正方形邊長均為1,每個小

正方形頂點叫做格點，點A,B,C,。在格點上，光點P從AO的中點出發(fā)，按圖②的

程序移動

(1)請在圖①中用圓規(guī)畫出光點P經(jīng)過的路徑；

(2)在圖①中，所畫圖形是軸對稱圖形(填“軸對稱”或“中心對稱”)，所畫

圖形的周長是4n(結(jié)果保留IT).

(2)所畫圖形是軸對稱圖形；

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)之和為270°+90°X2+270°=720°,

所畫圖形的周長=巡乎工=垢.

180

故答案為：4n.

21.（6分）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：加）與水平距離x（單位：m）

.求他將鉛球推出的水平距離和最大高度.

IR

--(X2-8X+16-16)+—=

123

164

----(x-8元+16)H—?—

1233

——(x-4)2+3,

12

???他將鉛球推出的最大高度為3m.

:焉*2卷x卷=0，

解得xi=-2（舍）及=1。

他將鉛球推出的水平距離為10w.

22.（6分）如圖，點。是等邊△ABC內(nèi)一點，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得

到△ADC,連接OD

（1）求證：△C。。是等邊三角形；

（2）當/AOC=105°,ZBOC=150°時，試判斷△A。力的形狀，并說明理由.

【解答】（1）證明：???△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACC

：./\BOC^/\ADC,

:.OC=DC,

：/08=60°,

...△C。。是等邊三角形；

(2)解：△AOO是等腰直角三角形，理由如下：

?.,△(70力是等邊三角形/。0。=/0力?=60°,

'：/\BOC^/\ADC,

...NAQC=/BOC=150°,

：.ZADO=ZADC-ZODC=150°-60°=90°

'：ZAOD=ZAOC-ZCOD=105°-60°=45°,

：.ZOAD=45Q,

：.ZOAD^ZAOD,

：.OD=AD,

...△AOO是等腰直角三角形.

23.(6分)如圖，拋物線經(jīng)過點A、B、C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若拋物線和x軸的另一個交點為￡>,求△OOC的面積.

解：(1)設拋物線的解析式為>=〃(x-1)2-4,

把A(-1,0)代入得a*(-1-1)2-4—0,解得a—I,

所以拋物線的解析式為丫=(x-1)2-4；

(2)因為拋物線的對稱軸為直線x=l,

則點A(-1,0)關于直線x=l的對稱點。的坐標為(3,0),

所以△OOC的面積=工*3乂4=6.

2

24.(6分)已知關于x的二次函數(shù)),=?1招-(m+2)x+2(m#0,，"W2).

(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)，〃的值.

【解答】(1)證明：?.加片0,

(/n+2)2-4mX2

=??2+4〃?+4-8m

=(1/1-2)2.

；機#0,m^2,

：.On-2)2>0.

△>0,

.??此拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)解：令>=0,則(x-1)(mx-2)=0,

所以x-1=0或,HX-2=0,

解得X1=1,X2——1

m

當〃，為正整數(shù)1時，X2為整數(shù)，即拋物線與X軸總有兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，

所以正整數(shù)機的值為1.

25.某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件.后

來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件.

(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤20利元.

(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元.

①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價多少元？

②求出y與x之間的函數(shù)關系式，當x取何值時，商場獲利潤最大？

解：(1)(100-80)X100=2000(元)；

故答案為：2000.

(2)①依題意得：

(100-80-x)(100+lOx)=2160

BPx2-10x+16=0

解得：x\=2,&=8

經(jīng)檢驗：R=2,切=8都是方程的解，且符合題意.

答：商店經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價2元或8元.

②依題意得：y—(100-80-x)(100+lOx),

；.y=-10X2+I00X+2000=-10(x-5)2+2250,

V-10<0,

...當x=5時，商店所獲利潤最大.

26.己知：△ABC和均為等腰直角三角形，/AC8=/￡>CE=90°,AC^BC,DC

=EC,連接BD,取QE、BD、AB的中點分別為G、F、H,連接FG、GH、HF.

(1)當點。在AC邊上，點E在BC邊上時，如圖1,判斷△FGH的形狀為等腰直

角三角形；

(2)把圖I中△OCE繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)得到圖2,判斷△尸G”的形狀是否改變？請

說明理由；

(3)把△OCE繞點C在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若AC=10,DC=6,求線段GH的最大值與

解：（1）VG,F是DE、BO的中點,

C.GF//BC,GF=—BE

2f

:?NDFG=NCBD,

TH是AB的中點，

：.FH//AD,FH=—AD

2f

:./DFH=/CDB,

VAC=BC,CD=CE,

：.AD=BEt

:?GF=HF,

ZCDB+ZCBD=90°,

：.ZGFH=90°,

△GFH是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)的形狀不改變，理由如下：

連接A。、BE,

"：ZACD=90°-/BCD,NBCE=90°-ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

'：AC=BC,CD=CE,

：./\CAD^/\CBE(SAS),

：.AD=BE,NCAD=NCBE,

?；DE、BD、AB的中點分別為G、F、H,

???FH卷AD，F(xiàn)H//AD,FG蔣BE，F(xiàn)G//BE,

：.FH=FG1

延長AO交FG于點N,交3C于點交BE于點Q,

：.ZAMC=/BMQ,

???NAMC+NC4￡>=90°,

：.ZBMQ+ZCBE=90°,

AZAQB=90°,

,:FG〃BE,

：.ZANF=ZAQB=90°,

9：FH//AD,

??.NANF+NG/77=180°,

AZGFW=90°,

???△FGH是等腰直角三角形，形狀不改變；

(3)由(2)可知△FG”是等腰直角三角形，

由勾股定理可得GH二&HF，HF=yAD，

：?GH二*AD.

在△AOC中，AC-CD<AD<AC+CD,

當點。在AC邊上時，AC-CQ=4Q；

當點。在AC延長線上時，AC+CD=AD；