蘇教版（2019）必修二第十三章立體幾何初步單元測(cè)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、如圖，已知直四棱柱ABC。-44GA的底面ABCD為直角梯形，AD//BC,

ADLCD,且AD=28C=4,CD=2√3,P,O,E分別為AQ,AD,PC的中點(diǎn),

△PAD為正三角形，則三棱錐E-POB的體積為（）

A.4B.3C.2D.1

2、在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉麝，在鱉SiA

中，ABJ_平面BCO,BC上CD,且45=6C=8,M為Ao的中點(diǎn)，則異面直線

與CZ）夾角的余弦值為（）

A.@B.也C.@D也

3322

3、在正方體ABCo-44GA中，P為4"的中點(diǎn)，則直線PB與所成的角為（）

A』B.巴C.-D.-

2346

4、已知四棱錐P-ABCO的體積是36√J,底面ABCD是正方形，ZXPAB是等邊三角

形，平面PAB，平面ABCr>,則四棱錐ABCD的外接球的體積為（）

A.28√21πβ99√HπC.竺紅兀D.108√3π

22

5、在三棱柱ABC-AgG中，A41_L平面ABC,ABLBC,AAsBC=IAB,則異面

直線48與耳C所成角的余弦值為（）

AmBG

555

6、已知正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。上，AABC的外接圓半徑為1,三棱錐

P-ABC的體積為23,則球。的表-面積為（）

4

16πc,-8兀一，

A.B.4兀?.—D.6兀

33

7、如圖，已知圓錐CO的軸截面是正三角形，AB是底面圓。的直徑，點(diǎn)。在AB

上，且ZAoD=2/B0D,則異面直線Ao與BC所成角的余弦值為（）

8、已知正四面體ABC。中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與B。所成角的余弦值為

（）

λ1r,√3-1??√3

A.-B.C.—D.

6633

9、已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角

形，SC為球0的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）

A.立B至C.在D.旦

6632

10、我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”中有這樣一題：今有堤下廣二

丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.問積幾何?其意思是：現(xiàn)有堤壩，下底長(zhǎng)為2

丈，上底長(zhǎng)為8尺，高4尺，縱長(zhǎng)12丈7尺，問這段堤壩的體積是多少？下列選項(xiàng)

中，與這段堤壩的體積最接近的是（注：一丈=十尺）（）

A.6800立方尺B.7110立方尺C.7117立方尺D.7120立方尺

二、填空題

11、已知多面體雨CBQ滿足∕?=P6=PC,QA=QB=QC,QA,QB,QC兩兩垂

直，且P,A,B,C,。在同一個(gè)球面上，則點(diǎn)P,。到平面ABC距離的比值為

12、如圖，四棱臺(tái)ABCQ-ABCD的底面是正方形，DAJ_底面ABC

DDl=AB=2A1B1,則直線AD1與BC1所成角的余弦值為.

13、在正四棱柱ABC。-A旦GA中,E是用G的中點(diǎn),45=2,A41=JL則BE與平面

BBQQ所成角的正弦值為.

14、在棱長(zhǎng)為6的正方體ABC。—44G。中，點(diǎn)E，尸分別是棱Ca，Be的中點(diǎn)，

過(guò)A,E,F三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為.

15、如圖,等邊三角形SAB為該圓錐的軸截面,點(diǎn)C為母線SB的中點(diǎn),。為通的中點(diǎn),則

異面直線SA與Co所成角為.

16、在一次通用技術(shù)實(shí)踐課上，木工小組需要將正方體木塊截去一角，要求截面經(jīng)過(guò)

面對(duì)角線AC上的點(diǎn)P（如圖），且與平面gCA平行，已知44I=IOCm,AP=Gcm,

則截面面積等于cm2.

三、解答題

17、如圖，AB為圓。的直徑，點(diǎn)E,尸在圓。上，ABHEF,矩形ABC。所在平面和

圓。所在平面互相垂直，已知AB=3,EF=I,

(1)求證：平面4。尸，平面BeE

(2)設(shè)幾何體產(chǎn)-ABC￡),尸-BCE的體積分別為匕，V2,求匕：匕的值.

18、如圖所示多面體中,底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，/)E上平面

ABCD,AF/IDE,DE=3AF=3√6,M是BD上一點(diǎn),BD=3BM.

⑴求派AM〃平面BE尸;

(2)求此多面體的體積.

19、圖1是由矩形AOEB、RtAABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=LBE==2,NFBC=60。.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連接OG,如圖2.

圖1圖2

(1)證明圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面43C_L平面BCGE.

⑵求圖2中的四邊形ACGQ的面積.

20、如圖，在三棱錐A-BC。中，E,F,G,“分別是邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形

(2)當(dāng)AC與80滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形.

參考答案

1、答案：C

解析：因?yàn)镻,O分別為4。，AO的中點(diǎn)，所以由直棱柱的性質(zhì)知POI.平面

ABCD,又為正三角形，AD=4,所以PO=走AO=26，連接C0,在直角

2

梯形ABC。中，易知S^iCO=LBC?BO='x2x26=26，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所

22

以瞑POB=-vCPOB=-vPBC。=LXLSABC。XPO=LX2下>義2#>=2,故選C.

22236

2、答案：A

解析：如圖，取AC的中點(diǎn)為N,連接MN,BN,則MN//CD且MN=LCz),所以

2

NRWN即異面直線與CO的夾角或其補(bǔ)角.因?yàn)锳S_L平面BCD,COu平面

BCD,所以ABL8,又BCLCD,ABBC=B,所以CO_L平面48C,所以MNL

平面ABC,所以MNLBN.設(shè)AB=5C=CD=2,則MN=1,BN=√Σ,BM=6

在RtMN中，cosZBW=-=—,所以異面直線與C。夾角的余弦值為

BM3

√3

3、答案：D

解析：如圖，記正方體的棱長(zhǎng)為α,則Ao=C/=AG=42=上α,

B_________[2

所以BlP=PCl=/a,BP=JBiP2+B∣B?=ga,在ABCE中，由余弦定理得

cosNPBel=0"蔻H第=亭，所以NPBG、.又因?yàn)锳R/g，所以NPBCl

即為直線PB與Aa所成的角，所以直線PB與ADt所成的角為巴.故選D.

解析：由已知可得36G=LXABXABX且AB,則AB=6,設(shè)球心為。，。到平面

32

ABCQ的距離為X,球。的半徑為H,則由OP=OA,得3?+Y+32=3?+(36-療，

解得X=6,所以R=J32+3+32=后,l?=-π∕?3=28√ΣΓπ.??A.

5、答案：D

解析：AAfmABC,:.AA11AB,又BBJIA%:.BB]±AB,又AB_L5C,

BBIBC=8,.?.AB,平面BBCC,.?.該三棱柱可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體

ABCD-Λ1β1ClPl,連接CD∣,BR,則Λ1BHCDx,r.NgCO∣是A∣8與BC所成的角或

其補(bǔ)角.令A(yù)B=1,則AA=BC=2,在4BCA中，B1D1=CJD1=√5,B,C=2√2,由

余弦定理得cosZB1CD1=孚.故選D.

6、答案：A

解析：設(shè)aABC的外接圓的圓心為。I,連接P0∣,由于正三角形ABC的外接圓半徑為

1,所以正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，三棱錐尸-ABC的體積

2

V=-×-×(y∣3)×POi=-POi得Pa=JL設(shè)球。的半徑為R,則

3444

R2=F+(由一Rf,解得R=2,所以球。的表面積S=4兀R2=4πχd=啊.故選A.

λ∕333

7、答案：A

解析：如圖，取AC的中點(diǎn)E,劣弧8。的中點(diǎn)FAO的中點(diǎn)G,連接OROE,易知

OEHBC,ADHOF,則異面直線AO與BC所成的角是NEoF'或其補(bǔ)角.連接EG,

OF,EF,易得EG上GF,不妨設(shè)OG=1,則0F=2,OE=2,EG=B

GF2=OG2+OF2-2×OG×OF×COS-=5+2√3,則EF?=EG?+GZ^=8+2百，所

6

以在aOE尸中，CoSNEoF=°E±"~^E尸=衛(wèi)，故異面直線入。與BC所成角

2OE?OF4

的余弦值為且.故選A.

解析：如圖，取AO中點(diǎn)F,連接ERCF,因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，則EF∕∕BD,ACEF

或其補(bǔ)角就是異面直線CR8。所成的角，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1,則CE=CT=走，

2

?1

EF=—,CoSNCEf'=2y?=1.故選B.

2√36

T

9、答案：A

解析：在RtZXASC中，AC=I,ZS4C=90o,SC=2,所以SA="≡I=√5;同

理，SB=VL過(guò)A點(diǎn)作SC的垂線交SC于。點(diǎn)，連接。8,因?yàn)椤?SAC會(huì)z%S5C,

故5。LSC,故SCL平面ABD,且AABD為等腰三角形.因?yàn)镹ASC=30。，故

AD=-SA=-,則AABO的面積為L(zhǎng)IXJAD2-仕AB1=—,則三棱錐的體積為

222YI2J4

1√2?√2

—×----×2=----

346

10、答案：B

解析：該堤壩可看作一個(gè)棱柱，由題可知棱柱的高為12x10+7=127（尺），棱柱的

底面為梯形，所以棱柱的體積V=型&qχl27=7112（立方尺），故與所求堤壩

2

的體積最接近的是7110立方尺.故選B.

11、答案：2

解析：如圖，將多面體∕?C8Q放入正方體中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則AB=VL設(shè)點(diǎn)

。到平面ABC距離為4,則gszλQBc?AQ=}zv4Bc?d,即

lχi×lxl=l×^×（√2）2×J,解得d=E.又正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為G,則點(diǎn)尸到

32343

平面ABC的距離為百-蟲=延，所以點(diǎn)P,Q到平面ABC距離的比值為

33~

2√3√3?1?

33

解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為E,連接瓦小則易知BE〃CQ,BE=Gq,二四邊形Egq

是平行四邊形，???BC∣//EQ,.?.NARE為直線與BG所成的角?四邊形ABCo是

正方形，.?.BA±AD,?.?OD∣，底面ABC。，BA±DDt,又AODDi=D,.?BAΛ.

平面AADQ,.?.8ALA2,z?AE0是直角三角形.設(shè)O?=AB=2A5=2α,則

A￡>,=4AD?+DD；=J(24y+(2α)2=2√2a，

2222cos

EDl=7AD1+AE=7(2√2Π)+Π=3a，：.ZAD1E=也=.

EDl3

13、答案：-

4

解析:設(shè)底面ABen的中心為0,可證OG±平面BBlDQ,取OBl的中點(diǎn)H,連接EH,則

EHH0C,,所以EH，平面明"O,連接8”,則NHBE為BE與平面期所成的角.因

為AB=2,A41=√7,所以

21

EH=gθC∣=*,BE='(⑺+F=20,SinNHBE=器-

4-

14、答案：6√B+3√2

解析：如圖，延長(zhǎng)ERA4相交于M,連接AM交BBl于“，延長(zhǎng)尸E,相交于

N,連接AN交。A于G,連接F77,EG,可得截面五邊形A"FEG.因?yàn)?/p>

ABCo-ABCQ是棱長(zhǎng)為6的正方體，且E,尸分別是棱GR,BIG的中點(diǎn)，所以

EF=3五,AG=AW=2√13.EG=FH=y∕↑3,截面的周長(zhǎng)為

AH+HF+EF+EG+AG=6y[l3+3y[2.

15、答案：—

4

解析:略

16、答案：?e?/?

解析：如圖，連接8。交AC于點(diǎn)。，連接A。，4瓦由題易知平面48。〃平面

Bg,故截面平行于平面ABo.過(guò)點(diǎn)尸作與B。平行的直線分別交AO,AB于點(diǎn)M,

A0AMc

N.在AAl上取點(diǎn)。使AQ=AAQ=AM,—≈-=-----，.?.?AQM^?ΛAlD,

AAiAD

:.QMHDA.又MN/IDB,

MNMQ=M,DBDAi=D,二平面MNQ〃平面。8%.易得,故

SAMNQ_，MN、2_,AP、2_，6\2_18

后=WF=石，

S…*W=捺gX10&X10&sin60。=36√3(cm2).

17、

(1)答案：見解析

解析：如圖，矩形ABC。中，CBA.AB,

平面ABCZ)平面ABEF=45

平面ABCZ)，平面ABEF,

所以BC_L平面ABEF

又AEq平面ABEF

AFLBC,又AB為圓。的直徑，

則AF，班'

BCBF=B,BC,BRq平面BCR

所以A/_L平面BCF,且A尸=平面ADF

所以平面ADE_L平面BCF.

（2）答案:6

解析：幾何體E-ABCD是四棱錐，尸-8CE是三棱錐，過(guò)b點(diǎn)作FHJ.AB,交AB

于H

平面ABCr），平面ABE凡FHJ_平面ABa）

則X=gxABxBCxf7/,?=gx（；EEXE"）x8C,

團(tuán)”V2AB，

所以一L1=----=6.

V2EF

18、答案：（1）見解析（2）外也

2

解析：⑴證明：過(guò)點(diǎn)M作MNiIDE,交BE于點(diǎn)、N,則-=—=MN=>∣6

DEBD3

因?yàn)锳f∕ΛOE,所以AF//MN,且AF=MN,所以四邊形AMNF為平行四邊形,所以AM//NF.又

NF?平面BEF,AM丈平面BEF,所以AW//平面BEF.

(2)因?yàn)?/p>