6.3.3&6.3.4空間角的計(jì)算、空間距離的計(jì)算一、異面直線所成角若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.二、直線與平面所成角1、夾角定義：設(shè)是直線的方向向量,是平面的法向量,直線與平面的夾角為.則.2、利用空間向量求異面直線所成角的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，（2）求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，（3）利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角，（4）結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角。3、求兩條異面直線所成角的兩個關(guān)注點(diǎn)（1）余弦值非負(fù)：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角。（2）范圍：異面直線所成角的范圍是（0，），故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時，應(yīng)取其絕對值。三、平面與平面的夾角平面與平面的夾角：兩個平面相交形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為這兩個平面的夾角.若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.四、點(diǎn)到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．五、點(diǎn)到平面的距離已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為（如圖）.注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。題型一坐標(biāo)法求異面直線所成角【例1】已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式1-1】如圖所示，已知等腰直角三角形ADE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F(xiàn)是線段CD的中點(diǎn)，則BD與EF所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式1-2】在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，在鱉臑中，平面，，分別為，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．0【變式1-3】如圖，在圓錐中，，點(diǎn)C在圓O上，當(dāng)直線與所成角為60°時，直線與所成角為（）A．30°B．45°C．60°D．90°題型二坐標(biāo)法求直線與平面所成角【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線與平面BDE所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式2-1】如圖，在直三棱柱中，，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則直線和平面所成角的正切值為()A．B．C．D．【變式2-2】如圖所示，在三棱錐P-ABC中，ABBC，AB=BC=PA=1，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，OP底面ABC，則直線PA與平面PBC所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式2-3】如圖，已知AB是圓柱底面圓的一條直徑，OP是圓柱的一條母線，C為底面圓上一點(diǎn)，且，，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（）A．B．C．D．題型三坐標(biāo)法求平面與平面所成角【例3】如圖所示，已知點(diǎn)為菱形外一點(diǎn)，且平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則二面角的正切值為（）A．B．C．D．【變式3-1】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，四棱柱為長方體，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則二面角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式3-2】如圖，已知三棱錐的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，且，是的中點(diǎn)，，則二面角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式3-3】如圖，在三棱臺中，，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．題型四坐標(biāo)法求點(diǎn)到直線的距離【例4】已知，則到直線的距離為（）A．B．C．1D．【變式4-1】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A．B．C．D．6【變式4-2】如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A．B．C．D．【變式4-3】如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)B到直線的距離為（）A．B．C．D．題型五坐標(biāo)法求點(diǎn)到平面的距離【例5】如圖，已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的菱形，且，底面ABCD，，則點(diǎn)D到平面PAC的距離為（）．A．B．C．1D．2【變式5-1】已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（）A．B．C．D．【變式5-2】在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D，E分別是與的中