第02講平面向量的運(yùn)算【人教A版2019】·模塊一平面向量的線性運(yùn)算·模塊二向量的數(shù)量積·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一平面向量的線性運(yùn)算1．向量的加法運(yùn)算(1)向量加法的定義及兩個(gè)重要法則定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法則前提已知非零向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A.作法作，連接AC.結(jié)論向量叫做與的和，記作，即.圖形向量

加法

的平

行四

邊形

法則前提已知兩個(gè)不共線的向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.作法作，以O(shè)A,OB為鄰邊作四邊形OACB.結(jié)論以O(shè)為起點(diǎn)的向量就是向量與的和，即.圖形規(guī)定對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定. (2)多個(gè)向量相加為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：；(2)結(jié)合律：.3．向量的減法運(yùn)算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則=-=-.即-可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè),為實(shí)數(shù)，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特別地，我們有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量,，以及任意實(shí)數(shù),,，恒有()=.5．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使=.

(2)向量共線定理的應(yīng)用——求參

一般地，解決向量,共線求參問題，可用兩個(gè)不共線向量(如,)表示向量,，設(shè)=(≠0)，化成關(guān)于,的方程()=-()，由于,不共線，則解方程組即可.【考點(diǎn)1向量的加減運(yùn)算】【例1.1】（2023下·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，則AC+BA-A．DA B．DB C．AD D．BD【解題思路】利用平面向量加法法則可化簡AC+【解答過程】AC+故選：D.【例1.2】（2023上·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）下列各式中，化簡后不是零向量的是（

）A．AB+BC+C．OA-OD+【解題思路】根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算化簡即可得解.【解答過程】因?yàn)锳B+BC+因?yàn)锳B+AC-因?yàn)镺A-OD+因?yàn)镹Q+QP+MN故選：B.【變式1.1】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M是邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，若MN=xAB+yAC，則A．1 B．23 C．-23【解題思路】根據(jù)平面向量的基本定理和線性運(yùn)算即可求解.【解答過程】點(diǎn)M是邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，如圖所示，MN所以x=1故選：B.【變式1.2】（2022下·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┤鐖D所示，在△ABC中，BD=6DC，則AD=

A．17AB+C．16AB+【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【解答過程】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：AD=故選：A.【考點(diǎn)2平面向量的混合運(yùn)算】【例2.1】（2023上·北京·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)i,j,k是兩兩不共線的向量，且向量a=-i+2A．11i-2j+5k B．-11i【解題思路】根據(jù)向量基底運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)閍=-i+2所以2a故選：C.【例2.2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若DA=2BD,3CD=A．2 B．１C．-2 D．－1【解題思路】由DA=2BD可得D為線段AB的三等分點(diǎn)中靠近B的點(diǎn)，由向量的加(減)法及數(shù)乘運(yùn)算可得3CD【解答過程】解：如圖所示：因?yàn)镈A=2所以D為線段AB的三等分點(diǎn)中靠近B的點(diǎn)，所以CD=CA+所以3CD所以λ=-2.故選：C.【變式2.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若a=2b+A．-a B．C．-c D【解題思路】先化簡3a+2b-2【解答過程】因?yàn)閍=2所以3a+2b-2=2b+c故選：C.【變式2.2】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=2EC，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，記EF=λAB+μADλ,μ∈A．-56 B．-16 C．【解題思路】通過向量的線性運(yùn)算化簡向量即可求解.【解答過程】EF=EA+AF=-所以λ+μ=-5故選：A.【考點(diǎn)3向量共線定理的應(yīng)用】【例3.1】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b不共線，AB=a+3b，A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【解題思路】根據(jù)向量共線定理進(jìn)行判斷即可.【解答過程】因?yàn)閍,b不共線，AB=a+3b易得AB,BC,CD互不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，又AC=AB+BC=6a+6b，易得AC,而BD=BC+CD=2a+6b=2a故選：C.【例3.2】（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┮阎狾為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO=12OB+OC,A．23 B．14 C．13【解題思路】把AO用AB,【解答過程】取BC中點(diǎn)E，連接OE，則OE=12(OB+∴AO=又B,O,D三點(diǎn)共線，∴14+1故選：C．

【變式3.1】（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在△ABC中，AM=34AB+14AC，CN=12CB+A．27 B．47 C．67【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合三點(diǎn)共線的判定定理和結(jié)論分析可得2x+y=1和x=3y，運(yùn)算求解即可.【解答過程】因?yàn)镃N=12CB+12注意到C,P,N三點(diǎn)共線，可得2x+y=1，又因?yàn)锳,P,M三點(diǎn)共線，則AP∥AM，則存在實(shí)數(shù)k，使得AP=kAM，即則x=3k4y=綜上所述：2x+y=1x=3y，解得x=3y=37故選：B.【變式3.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DC=2BD，CE=2EA，A．AD+BE+CF與BC反向平行 B．C．3BE+3CF-BC與CA反向平行 D【解題思路】將AD、BE、CF用AB和AC表示，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及平行的概念判斷可得答案.【解答過程】因?yàn)镈C=2BD，所以因?yàn)镃E=2EA，所以因?yàn)锳F=2FB，所以AD=AB+BDBE=AE-CF=AF-所以AD+BE+CF所以AD+BE+CF與BC反向平行，故3BE+3=-2AC所以3BE+3CF-BC與故選：A.【考點(diǎn)4向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用】【例4.1】（2023上·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）已知四邊形ABCD為平行四邊形，AC與BD相交于O，設(shè)AB=a,AD=A．12a+C．-12a【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得結(jié)果.【解答過程】OB=故選：B.【例4.2】（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎狦是△ABC的重心，若GC=xAB+yAC,x,y∈A．1 B．-1 C．13 D．【解題思路】利用三角形重心的性質(zhì)與向量的線性運(yùn)算即可得解.【解答過程】連接CG并延長交AB于D，如圖，

因?yàn)镚是△ABC的重心，則D是AB的中點(diǎn)，所以GC=-1又GC=xAB+yAC,x,y∈所以x-y=-1故選：B.【變式4.1】（2023上·北京·高三?？计谥校┰诘妊菪蜛BCD中，AB=2CD，M為BC的中點(diǎn)，則AM=（

A．12AB+12AD B．3【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【解答過程】因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AB=2CD，所以AB//因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以AM==1故選:B.【變式4.2】（2023上·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N與點(diǎn)B,C不重合），設(shè)AB=xAM，AC=yAN，則A．1 B．1+22 C．2 D【解題思路】令D是BC的中點(diǎn)，連接AD，易得AG=13(y【解答過程】若D是BC的中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)G是△ABC的重心，則AD必過G，且AG=2由題設(shè)AG=23所以x+y=3，即2x-1+2y-1=4，注意x,y∈(1,+∞

由1≥14(2+22y-12x-1故目標(biāo)式最小值為1.故選：A.模塊二模塊二向量的數(shù)量積1．向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.

我們知道力和位移都是矢量，而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.(2)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點(diǎn)，作=，=，則∠AOB=(0≤≤π)叫做向量與的夾角，也常用表示.(3)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.(4)向量的投影如圖，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當(dāng)與同向時(shí)，=；當(dāng)與反向時(shí)，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時(shí)，等號(hào)成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：

對(duì)于向量，，和實(shí)數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立，與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【考點(diǎn)1向量數(shù)量積的計(jì)算】【例1.1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等邊三角形ABC的邊長為1，則AB?BC=A．12 B．32 C．-1【解題思路】直接利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算得到答案.【解答過程】因?yàn)锳B→=BC→=1，且向量AB與BC故選：C．【例1.2】（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量a,b滿足a+2b=2A．1 B．14 C．-14【解題思路】利用向量的數(shù)量積與模長關(guān)系計(jì)算即可.【解答過程】易知a+2b2故選：C.【變式1.1】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b滿足a=2，|b|=3，且a與A．1 B．3 C．3 D．3【解題思路】直接利用平面向量的數(shù)量積公式，即可求得本題答案.【解答過程】a?故選：C.【變式1.2】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=2,∠BAD=3π4,E是線段A．1 B．4 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】AE?AC====122故選：A.【考點(diǎn)2向量夾角（夾角的余弦值）的計(jì)算】【例2.1】（2023下·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤鬳1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，且a=2e1A．60° B．120° C．30° D．150°【解題思路】先求得e1?e2的值，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得a【解答過程】因?yàn)閑1，e2是夾角為所以e1故a?b=(2|a|b故cos?a由于0°≤?a,b?≤180°故選：B.【例2.2】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非零向量a與b滿足|a|=2|b|，若|aA．12 B．-34 C．3【解題思路】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得3|b|【解答過程】因?yàn)閨a+2b所以3|b|2+2a所以cosa故選：B.【變式2.1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知單位向量e1，e2的夾角為60°，向量a=-2e1+3e2，b=2me1-2eA．1 B．-4 C．2 D．-5【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量的夾角公式代入計(jì)算，列出方程，即可得到結(jié)果.【解答過程】由題意，得e1所以a2b2而a?所以cos?整理，得11m2-20m-4=0，解得m=2故選：C．【變式2.2】（2022下·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎猧,j為互相垂直的單位向量，a=-i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．-∞,0 D【解題思路】根據(jù)a與a-b的夾角為銳角，由a?a-b【解答過程】解：因?yàn)閍=-所以a-因?yàn)閍與a-所以4+2λ-2>0，且a與解得λ>0，當(dāng)a//a-即-1=-4k2=kλ-2，解得當(dāng)λ=10時(shí)，a與a-所以λ的取值范圍為0,10∪故選：B.【考點(diǎn)3已知數(shù)量積求?！俊纠?.1】（2023上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a?b=1，a=2，a，b的夾角為π3A．1 B．2 C．2 D．4【解題思路】首先由數(shù)量積公式求得b=1，又a-2【解答過程】因?yàn)閍?b=1，a=2，a，所以a?解得b=1a-2故選：C.【例3.2】（2023上·陜西榆林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量a，b滿足a=2，且a,b=2A．2 B．3 C．2 D．1【解題思路】利用向量數(shù)量積與模長關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)閍+2所以a+2b≥3故選：B.【變式3.1】（2023上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期中）如圖，在平面圖形ABCD中，BC=2AD，BD=6.若AC?AD=27，

A．13 B．3 C．9 D．13【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義及三角形相似計(jì)算即可.【解答過程】

由題意易知△ADE～△BCE，則AE=過E作EF⊥AD于F，所以AC?BC?所以AFDF=94?AE=9x故選：C.【變式3.2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量a,b的夾角為π3,|a→|=2,|A．3 B．23 C．2 D．【解題思路】由a+λb⊥b，利用向量數(shù)量積運(yùn)算可得λ=-1，即求a【解答過程】∵a+λ∴a+λb∴λ=-a∴=2故選：A.【考點(diǎn)4向量數(shù)量積的最值問題】【例4.1】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）△OAB中，OA⊥OB，OA=2，OB=2，點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，則DC·OCA．13 B．12 C．2 D【解題思路】因?yàn)镺A⊥OB，OA=2，OB=2，可以選定OA,OB為基向量，因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以AC=λAB,0≤λ≤1【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以AC=λ所以O(shè)C因?yàn)辄c(diǎn)D是OB的中點(diǎn),所以O(shè)D=所以DC=又OA⊥OB，OA=2，OB=2，即所以DC·=1-λ又0≤λ≤1，所以當(dāng)λ=12時(shí)，DC·故選：B.【例4.2】（2023下·北京海淀·高一清華附中?？计谀┮阎狝B=1，CD=2，AD?AC=A．1 B．2 C．22 D．【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到CD?AC=0，則【解答過程】因?yàn)锳D?AC=即AC2+CD所以CD?所以CB=AB因?yàn)?1≤cos所以當(dāng)cosAB,CD=1時(shí)故選：B.【變式4.1】（2023下·湖北恩施·高一校聯(lián)考期末）如圖所示，邊長為1的正△ABC，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧BC，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則AB?AP的取值范圍（

A．12,54 B．14,【解題思路】根據(jù)給定條件，可得AP=AO+OP【解答過程】過點(diǎn)O作OD//AB交半圓弧于點(diǎn)D，連接AO,OP，如圖，而△ABC是正三角形，則∠BOD=π3，令OP,當(dāng)點(diǎn)P在弧BD上時(shí)，0≤θ≤π3，當(dāng)點(diǎn)P在弧CD上時(shí)，0≤θ≤2π顯然AO=32,OP=所以AB=1×3故選：A.【變式4.2】（2023上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）八卦文化是中華文化的精髓，襄陽市古隆中景區(qū)建有一巨型八卦圖（圖1），其輪廓分別為正八邊形ABCDEFGH和圓O（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)O，魚眼（黑白兩點(diǎn)）P,Q是圓O半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,若OA=82，圓O的半徑為6，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面O及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，PA?QC

A．-39 B．-48C．-57 D．-60【解題思路】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算，化簡得到PA?QC=-9+OP?CA【解答過程】由題意，點(diǎn)P,Q是圓O半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，設(shè)P,Q的位置，如圖所示，在八卦圖中，知OA⊥又由OA=8則由PA=0-9+OP當(dāng)八卦圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面O及其內(nèi)部點(diǎn)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，OP,當(dāng)OP,CA=π時(shí)，故選：C.模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）化簡：AB+CA+A．BC B．DC C．CD D．DA【解題思路】由向量加法的三角形法則可知.【解答過程】AB+故選：C.2．（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b，那么12A．a(chǎn)-2b B．a(chǎn)-4b C．【解題思路】根據(jù)向量混合運(yùn)算即可.【解答過程】12故選：C.3．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，下列表達(dá)式化簡結(jié)果與AB相等的是（

）A．AC+CD BC．CA-CB D【解題思路】根據(jù)平面的線性運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】AC+CDAD+DCCA-CBCB+DA故選：B.

4．（2023上·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若a//b且b//c，則C．若a?b=a?c，且【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BCD，根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A.【解答過程】對(duì)于A，若b=0，則a//b且b//對(duì)于B，a?b+對(duì)于C，若a?b=a?c，且a≠0，則對(duì)于D，a?bc表示與c共線的向量，而ab?c表示與a共線的向量，所以故選：B.5．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則DE=（

A．-13ABC．-56AB【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】DE=1故選：B.6．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則AB+A．10 B．12 C．-10 D．-12【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.【解答過程】記AC=a,AB=∵a∴b故選：A.7．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考期中）已知向量a=1，b=2，|c|=5，且aA．3434 B．3417 C．334【解題思路】根據(jù)模長公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可由夾角公式求解.【解答過程】由a+b+c=同理由a+c=-b所以c-c故cosc故選：D.8．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a與bA．5 B．4 C．2 D．0【解題思路】a-2b【解答過程】因?yàn)閍=4-4×2×1×cos所以a-2故選：C.9．（2023上·福建廈門·高二?？计谥校┮阎猠1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=-e1+λeA．12 B．2 C．4 D．【解題思路】根據(jù)已知求出AC=3e1+λ+2e2.根據(jù)已知可得【解答過程】由已知可得，AC=AB+因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC,則?μ∈R，使得AC即3e整理可得3-μe因?yàn)閑1，e所以有3-μ=0λ+2-μ+μλ=0，解得λ=故選：D.10．（2023上·福建莆田·高三?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AC=22，M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），D為AC的中點(diǎn)．將線段AC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則ME?MFA．-2 B．-32 C．-1 D【解題思路】利用轉(zhuǎn)化法，將ME?MF轉(zhuǎn)化為MD2-DE【解答過程】連接MD,則MEME?當(dāng)MD⊥AB時(shí)，MD最小，可求得|MD|結(jié)合DE2=2，得ME?故選：C11．（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)AB-(2)(AB【解題思路】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則逐一求解.【解答過程】（1）AB-（2）((AB12．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向x.(1)31(2)1