11.2與三角形有關(guān)(yǒuguān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角第一頁，共三十一頁。1.了解三角形的內(nèi)角和的驗證(yànzhèng)及證明過程；2.熟練利用三角形的內(nèi)角和及直角三角形兩銳角的關(guān)系解決問題；3.知道添加輔助線是幫助解決數(shù)學(xué)問題的方法.第二頁，共三十一頁。三角形的三個內(nèi)角(nèijiǎo)和是多少?把三個角拼在一起試試看你有什么辦法可以(kěyǐ)驗證呢?從剛才拼角的過程你能想出證明(zhèngmíng)的辦法嗎?第三頁，共三十一頁。CBA三角形內(nèi)角(nèijiǎo)和定理：三角形三個內(nèi)角(nèijiǎo)的和等于180°已知△ＡＢＣ，求證(qiúzhèng)：∠A+∠B+∠C=180°第四頁，共三十一頁。證法１：過A作EF∥BC，∴∠B=∠2,(兩直線平行(píngxíng),內(nèi)錯角相等)∠C=∠1.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°,∴∠B+∠C+∠BAC=180°.F21ECBA第五頁，共三十一頁。證法(zhènɡfǎ)２：延長BC到D，過C作CE∥BA，∴∠A=∠1,(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.21EDCBA第六頁，共三十一頁。證法3：過A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE,(兩直線平行(píngxíng),內(nèi)錯角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°,(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴∠B+∠C+∠BAC=180°.CBEA第七頁，共三十一頁。

在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加的線叫做輔助線.在平面幾何(píngmiànjǐhé)里，輔助線通常畫成虛線.

為了證明三個角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個平角(píngjiǎo)或同旁內(nèi)角互補,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.第八頁，共三十一頁。三角形內(nèi)角(nèijiǎo)和定理:三角形的內(nèi)角和等于1800.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°第九頁，共三十一頁?！螦+∠B+∠C=1800的幾種(jǐzhǒnɡ)變形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.這里的結(jié)論,以后(yǐhòu)可以直接運用.

三種語言?ABC第十頁，共三十一頁。(口答)下列(xiàliè)各組角是同一個三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60°，40°，90°（3）30°，60°，50°（1）3°，150°，27°

（是）（不是(bùshi)）（不是(bùshi)）鞏固練習(xí)第十一頁，共三十一頁。

例1：在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度數(shù)(dùshu)。解：∵在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，

∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=500

ABC第十二頁，共三十一頁?！纠?】在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:1:2,求∠A,∠B,∠C的度數(shù)(dùshu).解：設(shè)每一份(yīfèn)角為x°，則∠A＝x°,∠B=x°,∠C=2x°，由三角形內(nèi)角和定理，可得：

x+x+2x=180,解得x=22.5,x=2×22.5=45.答：∠A為45°，∠B為45°,∠C為90°.【例題(lìtí)】第十三頁，共三十一頁。解：

∵

DE∥BC（已知）∴∠

AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠

C=700（已知）∴∠

AED=700

（等量代換(dàihuàn)）∵在△ABC中，∠

A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）∠

A=600（已知）∴∠

ADE=1800—600—700=500（等量代換）即∠

ADE=500DCBAE練習(xí)(liànxí)：已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=

700

.求：∠ADE的度數(shù)。第十四頁，共三十一頁。如圖,C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西(piānxī)40°方向。求下面各題.（1）∠DAC＝_____∠DAB＝______∠EBC＝_______∠CAB＝______A(2)從C島看A、B兩島的視角(shìjiǎo)∠C是多少?50°80°40°DBCE北北解：∵AD∥BE∴∠DAB﹢∠ABE＝180°∴∠ABE

＝180°－∠DAB

＝180°－80°＝100°

在△ABC中,∠C

＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－60°＝90°∴

∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30°＝100°﹣40°＝60°例題(lìtí)講解2第十五頁，共三十一頁。解：在△ACD中∠CAD＝30°∠D＝90°DABC∴∠ACD=180°-30°-90°=60°在△BCD中∠CBD=45°∠D＝90°∴∠BCD=180°-90°-45°=45°∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°鞏固(gǒnggù)練習(xí)1.如圖,從A處觀測C處時仰角(yǎngjiǎo)∠CAD＝30°,從B處觀測C處時仰角∠CBD＝45°.從C處觀測A、B兩處時視角∠ACB是多少?第十六頁，共三十一頁。1.如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理(dìnglǐ)，得∠A+∠B+∠C=

°，即∠A+∠B+90°=

°，所以∠A+∠B=

°.

ABC18018090【合作(hézuò)探究】直角三角形的兩個(liǎnɡɡè)銳角互余.直角三角形可以用符號“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.第十七頁，共三十一頁。2.如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形內(nèi)角(nèijiǎo)和定理，得∠A+∠B+∠C=

°，即∠C+90°=

°，所以∠C=

°，所以△ABC是______三角形.

ABC18018090有兩個(liǎnɡɡè)角互余的三角形是直角三角形.直角(zhíjiǎo)第十八頁，共三十一頁。如圖，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？解：在Rt△ABC中，∠A+

∠2

=90°.∵

∠1=∠2,∴∠A+∠1=90°,∴△ADE是直角三角形.ABCDE21【跟蹤(gēnzōng)訓(xùn)練】第十九頁，共三十一頁?！纠?】如圖∠C=∠D=90°,AD，BC相交(xiāngjiāo)于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.ABCDE【例題(lìtí)】第二十頁，共三十一頁。2.如圖,在△ABC中,BD、CE分別(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB.(1).若∠A=60°,求∠BOC的度數(shù).(2).若∠A=α,求∠BOC的度數(shù).第二十一頁，共三十一頁。（1）一個三角形中最多有

個直角？為什么？（2）一個三角形中最多有

個鈍角？為什么？（3）一個三角形中至少有

個銳角(ruìjiǎo)？為什么？（4）任意一個三角形中，最大的一個角的度數(shù)至少為

.60°211討論(tǎolùn)第二十二頁，共三十一頁。1.（蘇州·中考(zhōnɡkǎo)）△ABC的內(nèi)角和為（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解析】選A.根據(jù)(gēnjù)三角形的內(nèi)角和為180°，得△ABC的內(nèi)角和為180°.第二十三頁，共三十一頁。2.（濟(jì)寧·中考）若一個三角形三個內(nèi)角度(jiǎodù)數(shù)的比為2︰3︰4，那么這個三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形【解析】選B.設(shè)每一份角為x°，則三個角分別為2x°,3x°,4x°，由三角形內(nèi)角(nèijiǎo)和定理，可得：2x+3x+4x=180，解得x=20.所以三個角的度數(shù)分別為40°，60°,80°，所以這個三角形為銳角三角形.第二十四頁，共三十一頁。3.在直角三角形ABC中,一個(yīɡè)銳角為40°,則另一個銳角是_______°.【解析】直角三角形中有一直角為90°，所以(suǒyǐ)另外兩銳角的和為90°，因為一個銳角為40°,所以另一個銳角是50°.【答案(dáàn)】50第二十五頁，共三十一頁。4.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

.ABCDEF【解析(jiěxī)】∠A，∠C，∠E是△ACE的三個內(nèi)角，其和為180°，

∠B，∠D，∠F是△BDF的三個內(nèi)角，其和為180°，所以六個角的和為

360°.【答案】360°第二十六頁，共三十一頁。5.（1）一個(yīɡè)三角形中最多有

個直角.（2）一個三角形中最多有

個鈍角.（3）一個三角形中至少有

個銳角.（4）任意一個三角形中，最大的一個角的度數(shù)至少為

.【提示】

根據(jù)三角形的內(nèi)角(nèijiǎo)和可得出結(jié)論.【答案】（1）1（2）1（3）2（4）60°第二十七頁，共三十一頁。6.已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別(fēnbié)交AB，CD于點E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點P．試求∠P的度數(shù)．解：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°．

又