遼寧省鞍山市2023屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題_

1、若i(l-z)=l,則z+z=()

A.-2B.-lC.lD.2

2、設(shè)全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合A={T,2},β={%∣χ2-4x+3=θ},則

電(AB)=()

A.{-2,0}B.{0,3}C.{-2,l}D.{l,3}

3、數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了

工=22"+1(A=0,1,2,…)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐

拉算招=641?6700417,不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)=l0g4(M-I)(〃=1，2,…)，S”表示數(shù)列

{4}的前幾項(xiàng)和，若：32S.=63%,則〃=()

A.5B.7C.6D.8

4、已知平面向量。與〃的夾角為6(尸>,a=(2,0),例=1I,則卜-2司的值為()

A.√2B.2C.4D.-

2

/

π)=；,則cos(2a-

5、已知Sina+一)

I3

A.-1B.1C.--D.-

9999

6、為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動(dòng)，每個(gè)學(xué)校至少

安排1人，其中甲校至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有()

A.50種B.60種C.80種D.100種

7、已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,側(cè)面展開(kāi)圖扇形的面積為2兀，那么該圓錐的體積是()

A.-B.-C.πD.—

333

8、函數(shù)/'(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(l+x)=F(I-x),若XG[0,1],

f(x)=2x,則/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

二、多項(xiàng)選擇題

9、為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收

入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖(如圖)：

處

0.14■

0.IC-

卜也4匕L6匕7匕也，*∣A?SliiJSU<SQJJi丸

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入的中位數(shù)約為7.5萬(wàn)元

C.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

D.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

10、已知函數(shù)/(x)=SinWX+e)+cos(eυx+°)(cυ>0,陷≤]).的最小正周期為兀，

且/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)倒,0),則下列結(jié)論中正確的是()

A.∕(x)的最大值為血

BJ(X)的圖象一條對(duì)稱軸為:

CJ(X)在(Og)上單調(diào)遞減

D.把/(x)的圖象向左平移四個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=√∑cos上尤+外的圖象

11、已知6，F(xiàn)?分別是雙曲線C：弓-丁=]的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該雙曲線的一條

漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段耳，鳥(niǎo)為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±-x

2

B.以線段F1F2為直徑的圓的方程為X+/=3

C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或-2

D.的面積為逐

2

12、如圖所示，從一個(gè)半徑為一一(單位:m)的圓形紙板中切割出一塊中間是正方

√3-l

形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面(舍棄陰影部分)折疊成一個(gè)正四棱錐

P-ABCD,則以下說(shuō)法正確的是()

A四棱錐AMQ的體積是竽m'

B.四棱錐P-ABeD的外接球的表面積是8τm√

C.異面直線∕?與Co所成角的大小為60°

D.二面角A-PB-C所成角的余弦值為-L

3

三、填空題

13、在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是；

14、若函數(shù)/(x)=X-αlnx的圖象在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=3x-2,則實(shí)數(shù)

15、若正實(shí)數(shù)α,〃滿足α+力=1,則々+之的最小值為_(kāi)________；

3ab

22

16、已知橢圓C：?+?=l,(α>)>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,A,,且以線段AA

ab

為直徑的圓與直線區(qū)-緲+2αb=0相切，則C的離心率為.

四、解答題

17、設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S向=S,+%+2(〃eN*),255=3(/+%)?

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式｛α,｝;

(2)若2=%+(T)，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T.

18、在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為4,b,c,8=60。，a2=b2+c2-bc,

延長(zhǎng)BC至。，使BD=7,AACD的面積為°百.

2

⑴求AB的長(zhǎng)；

(2)求aACD外接圓的面積.

19、甲、乙、丙三人，為了研究某地區(qū)高中男生的體重M單位：kg)與身高M(jìn)單位：

Cm)是否存在較好的線性關(guān)系，他們隨機(jī)調(diào)查了6位高中男生身高和體重的數(shù)據(jù)，得到

如下表格：

身高

160166172173173182

/cm

體重∕kg445055555664

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到y(tǒng)關(guān)于X的線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線的斜率為0.89.

⑴求y關(guān)于X的線性回歸方程S=%+4;

(2)從該地區(qū)大量高中男生中隨機(jī)抽出10位男生，他們身高(單位：cm)的數(shù)據(jù)繪制成如

圖的莖葉圖.①估計(jì)體重超過(guò)60kg的頻率P,②視頻率為概率，從抽出的10名男生中

再選2人，記這2人中體重超過(guò)60kg的人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望(用(1)

中的回歸方程估測(cè)這10位男生的體重).

16233

173466

IlI24

20、如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCO為直角梯形，ABHCD,

NABC=90。，AB=2BC=2CD=2,△"＞尸為等邊三角形，且面ADP_L底面ABCD

(1)若M為BC中點(diǎn)，求證：PMlBC-,

(2)求面而。與面PBC所成二面角的余弦值.

21、已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O,對(duì)稱軸為X軸，焦點(diǎn)為凡拋物線上點(diǎn)A的

橫坐標(biāo)為1,且以O(shè)A=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作與X軸不垂直的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線x=l分

別交直線0M,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)X軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

22、已知函數(shù)/(x)=Jχ2一q]nx(αeR,tz≠0).

⑴求函數(shù)"x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意的x∈[l,+∞),都有成立，求α的取值范圍.

參考答案

1、答案：D

解析：因?yàn)閕(l-z)=l,所以Z=I-I=l+i,所以Z=I-i,所以z+z=(1+i)+(l-i)=2.

i

故選D.

2、答案：A

解析:由題意，B={x∣X2-4X+3=0}={1,3),所以人8={T,1,2,3},

所以g(AU3)={-2,0}?

故選：A.

3、答案：C

解析：因?yàn)楣?2'+1(〃=0,1,2,),所以

2n2n

=Iog4(Z;,-1)=Iog4(2+1-1)=Iog42=2-',當(dāng)〃=1時(shí)，工=5,此時(shí)

Λl=log4(5-l)=l,所以{α,,}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，所以

S11=^^∣?^=2"-1.所以32(2"—l)=63x2"τ,解得〃=6.

4、答案：B

解析：由已知∣“∣=2,?a+2b∣2=α2+4α?6+462=4+4×2×l×cos60o+4=12,所以

?a+2b∣=2.

5、答案：A

解析:解：COS(2a+g)=cos2(a+]]=l-2sin?[α+]]=l-2x[=1,

又20一]=(2α+?`j-π,

=CoS2?z÷^-—cos2α+07

所以COSlπ一，故選：A.

Ll3JI39

6、答案：C

解析：可根據(jù)甲學(xué)校的人數(shù)進(jìn)行分類：第一類：甲校2人，C；C；A；=6()；第二類：甲

校3人，C；A；=20,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得總數(shù)60+20=80種.

7、答案：D

解析：設(shè)圓錐底面半徑為r,高為/?,

.*.h=Λ∕22—1=?/?,

,-.V=-Sh=-(π×l2]×yβ=—.

33v,3

故答案為：D.

8、答案：B

解析：因?yàn)?(l+x)=/(l-x),且/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(l+x)=∕(f,

令/=%-1,則x=f+l,

所以f(t+2)=fS，即/(x)=/(x+2),

所以函數(shù)/(x)的周期為2,

所以/(2023)=/(1011×2+1)=/(1)=2,

故選：B.

9、答案：ABC

解析：對(duì)于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶的頻率為

(0.02+0.04)x1=0.06=6%,所以比例估計(jì)為6%,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?0.02+0.04+0.10+0.14+0.20)x1=0.5,所以該地農(nóng)戶家庭年收入的中位

數(shù)約為7.5萬(wàn)元，故B正確；

對(duì)于C,家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為

(0.10+0.14+0.20+0.20)×1=0.64>0.5,所以估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年

收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故C正確；

對(duì)于D,該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為

3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+ll×0.04+12×0.02

+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5,

所以估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過(guò)6.5萬(wàn)元，

故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

10、答案：AC

解析：/(x)=λ∕2sinGx+夕+撲

最小正周期為兀，「.」=兀，得①=2ω=2,則/(x)=J^sin12x+0+:Jf(X)=

√2sin(2x+φ+Jf(x)vf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(θ,√∑)(0,√2),

/.f(0)=V2sin19+￡=Λ∕2?f(0)=V2sin(φ+；)=應(yīng)，即sin=1,得

°+工=2E+/φ+U=2k兀+》，得夕=2E+?^φ=2k兀+E,k∈Z,keZ,|同〈巴,?,

∣φ∣V梟.??，?,.當(dāng)Z=O時(shí)，e=：(p=j,貝IJ

/(x)=λ∕2sin^2x+-^+^=V2sin^2x÷^=V2cos2x則最大值為V5L故A正確，

/(：)=JΣcos∣?=0w±JΣfg)=V2cos"=0≠+√2,即/(x)圖象的一條對(duì)稱軸為:

JT

錯(cuò)誤，當(dāng)0<x<5Error!Digitexpected.時(shí)，0<2%<兀ErrOr!Digitexpected.,此時(shí)

/(jr)=V2cos2xf(x)=√2cos2x,為減函數(shù)，故C正確，把/(x)f(x)的圖象向左平移

?個(gè)單位長(zhǎng)度，得至1]y=啦COS2卜+巳)=V2COS^2Λ+^y=√5cos2(x+=

0(：05(2*+9無(wú)法得至!]8(司=7^0$(2_￥+已)8(*)=√5cos(2x+》的圖象，故D錯(cuò)

誤，故選：AC.

11、答案：CD

解析：由雙曲線方程知：α=2,匕=1,.??C的漸近線方程為y=±gx,A錯(cuò)誤;

22

c^yja+b=√5,.?.6鳥(niǎo)為直徑的圓方程為/+;/=5,B錯(cuò)誤；

?((

由y=±5'得：f=2或"=一2,二點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或-2,C正確；

f+y2=5ly=±ιU=±1

IyMl=L?'?ΛMF1F2=JME∣?I%I=6，D正確.

故選：CD.

12、答案：BCD

解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為尤，則由如圖1知MN=X+2?rsin6()o=x(K+l),

22

又因?yàn)镸N=2?所以X(G+1)=2?解得x=2,

√3-l√3-l

對(duì)于A,因?yàn)镻OL平面ABCO,所POLQ4,

因?yàn)椤?=√Σ,B4=2,所以C0=J∕?2-012=日

所以％-"°=；,22,應(yīng)=^^，，

所以A錯(cuò);

對(duì)于B,因?yàn)椤?=08=0C=OD=OP=右，所以四棱錐P-ABC。的外接球的半徑

為0，

所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4兀(五)2=8Mm2),所以B對(duì)；

對(duì)于C,因?yàn)锳B〃CD,所以異面直線附與CO所成角等于NPB4,

又因?yàn)椤魇珹B為正三角形，所以/084=60。，所以C對(duì)；

對(duì)于D,取PB中點(diǎn)。連接A。，CQ,則PB，AQ,PBLCQ,

所以二面角A-PB-C的平面角為NAQC,

A02+CQ2_AC23+3—8

cosZAQC-?＞所以D對(duì).

-IAQCQ-2?Λ^?√3

故選：BCD.

13、答案：-6

解析：

14、答案：-2

解析：f(x)=x-a?nx,則r(x)=l-@,

X

依題意有廣⑴=1一。=3,

則a=-2.

故答案為：-2.

15、答案：5

解析：b>0,且。+〃=1,

b3b3(α+b)b3a八C

--1—=--1-----—+—+3≥2+3=5

3ab3ab3ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=2，即a=',3時(shí)，等號(hào)成立,

3ab44

即2+3的最小值為5.

3。b

故答案為：5.

16、答案：—

3

解析：A（-a，o），4（。，0），以線段為直徑的圓光2+v="與直線

bx—ay+2ab=O相切,

.=—a,化為：a2=3b2,

√^2+(-α)2

.??橢圓C的離心率e=￡

a

故答案為：-y.

17、答案：⑴a〃=2〃

（2）T=n2+n+-———

"ll33?4n

解析：（1）.，+1=%+?！?2（〃6*），，%-。,,=2,

???{a,,}是以2為公差的等差數(shù)列，

2%=3(%+4)，?2×5?=3×Ia5,

即lθ(q+4)=6(q+8),解得《=2,

.?.an=2+(n-l)×2=2λ/,

(2)2=4+(；

33?4"

18、答案：⑴AB=I或6

(2)?ACD外接圓的面積為答

解析：(1)因?yàn)椤?=〃+￠2-秘=〃+<?-2Z?CCoSA,所以CoSA=?∣,

又0。<4<180。，所以A=60。，又因B=60。，

所以AABC為等邊三角形，故AB=BC=AC,

由BL>=7,可得C￡>=7-8。=7-AB,

?5ΔΛDCAC-CP-SinZACZ)=^AB?(7-ΛB)=,

解得AB=I或6；

(2)由(1)得：當(dāng)AB=I時(shí)，8=6,

則A。？=AC2+c∕52-2AC?Cz)SinNACO=I+36-2xlx6x(-g)=43,所以

ΛD=√43,

設(shè)AACD外接圓的半徑為R,由正弦定理可得2R=―竺_=2%，

sinZACD√3

所以R=華，所以AAS外接圓的面積為兀代=%，

√33

當(dāng)AB=6時(shí)，CD=I,

則AD2=AC2+CD2-IACCDsmZACD=36+l-2×6xl×43,

所以AO=用，同理aACD外接圓的面積為3把,

3

綜上所述，Z?ACZ)外接圓的面積為三上.

3

19、答案：(l)y=0.89x-98.19

3

(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為：

解析：⑴依題意可知∕=0?89,.X=17by=54,

.?.a=y-?7=54-0.89×171=-98.19,

故y關(guān)于X的線性回歸方程為y=0.89χ-98.19.

(2)令g=0.89x-98.19=60,得Xa177.74,

故這10位男生的體重有3位體重超過(guò)60kg,

X的可能取值為0,1,2,

P(X=O)=m=得，P(X=I)=等?,P(X=2)=卷=(，

jo??Jo??jo??

則X的分布列為：

XO12

771

P

1515

20、答案：(1)見(jiàn)解析

⑵李

解析：(1)取人。中點(diǎn)。，連接OM.

因?yàn)樵谔菪蜛BCo中，O,M分別為A。，BC的中點(diǎn),

所以Q又所以O(shè)MLBC.

因?yàn)槭瑸榈冗吶切?，故POLAD,

又面ADPJ_底面ABC。，面ADP∩面ASCD=4),

PoU面AOP,故PO，底面ABCD

因?yàn)锽CU面ABC。，所以PBC.

又因?yàn)镺POM=O,所以BCJ_面POM,

而RWU面POM,故PM_L3C.

(2)由⑴可知，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量M6,OM,OP的方向分別作為X,y,Z軸

的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則嗚,訓(xùn),Cθ,∣,θ)哈-別'。[器'。)'P(。'閽'

所以AZj=(T,1,0),OP=0,0,?,CS=(1,0,0),BP=

設(shè)m=(X],y,zJ為平面PAD的一個(gè)法向量，

/“A。=。∕f+y=°?E,`

則〈，即《卡，令無(wú)]=1,則加=(1,1,0).

加OP=O-Z=O

1[21

設(shè)“=(X2，%，Z2)為平面PBC的一個(gè)法向量，

”Λ2=0

則V,即,13?∣6,令z2=屈,

n?CP=0—X—%Hz=0

[22~2222

則〃=(0,2,?∕6j.

m`n2_

于是cos(加,〃

f2√iθ^5

因?yàn)橛蓤D可知面∕?。與面PBC所成的二面角為銳角,

所以面雨。與面PBC所成的二面角的余弦值為手.

21、答案：(I)V=M

(2)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)X軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(-1,0),(3,0)

解析：(1)由題意可設(shè)拋物線方程為)2=2px(p>0),A(Ly)、尸(5,O

由E4?Q4=4.可得(1一?y)(l,y)=4,即l∕+2p=4.解得p=2

拋物線方程為：y2=4x.

(2\(2\

⑵設(shè)直線/：y=Mx-l)(ZW0),M"，N,

)【4,

y2-4%

由卜\聯(lián)立得，由2-4y-4左=0.則y∣%=-4.

y=κ(x-lj

4