2024年人教版七年級下冊數(shù)學教案全套5．1相交線5．1.1相交線【教學目標】1．理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認；(重點)2．掌握對頂角相等的性質和它的推證過程；(重點、難點)3．通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養(yǎng)學生的識圖能力．【教學過程】一、情境導入同學們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側面有許多相交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交．這些都給我們以相交線、平行線的形象．在我們生活中，蘊涵著大量的相交線和平行線．那么兩條直線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？二、合作探究探究點一：對頂角和鄰補角的概念【類型一】對頂角的識別下列圖形中∠1與∠2互為對頂角的是()解析：觀察∠1與∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同時滿足有公共頂點，且∠1的兩邊是∠2的兩邊的反向延長線．故選C.方法總結：判斷對頂角只看兩點：①有公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線．【類型二】鄰補角的識別如圖所示，直線AB和CD相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是________．解析：根據(jù)鄰補角的概念判斷：有一個公共頂點、一條公共邊，另一邊互為延長線．∠1和∠2、∠1和∠4都滿足有一個公共頂點和一條公共邊，另一邊互為延長線，故為鄰補角．故答案為∠2和∠4.方法總結：鄰補角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補．但需要注意的是：互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的角不一定是鄰補角．探究點二：對頂角的性質【類型一】利用對頂角的性質求角的度數(shù)如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．解析：根據(jù)對頂角的性質，可得∠AOC與∠BOD的關系，根據(jù)OA平分∠COE，可得∠COE與∠AOC的關系，根據(jù)鄰補角的性質，可得答案．解：由對頂角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由鄰補角的性質得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.方法總結：解決此類問題的關鍵是在圖中找出對頂角和鄰補角，根據(jù)兩種角的性質找出已知角和未知角之間的數(shù)量關系．【類型二】結合方程思想求角度如圖，直線AC，EF相交于點O，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內，∠BOE＝eq\f(1,2)∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度數(shù)．解析：因為已知量與未知量的關系較復雜，所以想到列方程解答，根據(jù)觀察可設∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根據(jù)對頂角和鄰補角找到等量關系，列方程．解：設∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB與∠BOC互為鄰補角，∴∠AOB＝180°－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝eq\f(1,2)∠AOB＝90°－eq\f(3,2)x.∵∠DOE＝72°，∴90°－eq\f(3,2)x＋x＝72°，解得x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°.方法總結：在相交線中求角的度數(shù)時，就要考慮使用對頂角相等或鄰補角互補．若已知關系較復雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關系時，可列方程解決角度問題．【類型三】應用對頂角的性質解決實際問題如圖，要測量兩堵墻所形成的∠AOB的度數(shù)，但人不能進入圍墻，如何測量？請你寫出測量方法，并說明幾何道理．解析：可以利用對頂角相等的性質，把∠AOB轉化到另外一個角上．解：反向延長射線OB到E，反向延長射線OA到F，則∠EOF和∠AOB是對頂角，所以可以測量出∠EOF的度數(shù)，∠EOF的度數(shù)就是∠AOB的度數(shù)．方法總結：解決此類問題的關鍵是根據(jù)對頂角的性質把不能測量的角進行轉化．探究點三：與對頂角有關的探究問題我們知道：兩直線交于一點，對頂角有2對；三條直線交于一點，對頂角有6對；四條直線交于一點，對頂角有12對……(1)10條直線交于一點，對頂角有________對；(2)n(n≥2)條直線交于一點，對頂角有________對．解析：(1)仔細觀察計算對頂角對數(shù)的式子，發(fā)現(xiàn)式子不變的部分及變的部分的規(guī)律，得出結論，代入數(shù)據(jù)求解．如圖①，兩條直線交于一點，圖中共有eq\f(（4－2）×4,4)＝2對對頂角；如圖②，三條直線交于一點，圖中共有eq\f(（6－2）×6,4)＝6對對頂角；如圖③，四條直線交于一點，圖中共有eq\f(（8－2）×8,4)＝12對對頂角……按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點，那么對頂角共有eq\f(（20－2）×20,4)＝90(對)．故答案為90；(2)利用(1)中規(guī)律得出答案即可．由(1)得n(n≥2)條直線交于一點，對頂角的對數(shù)為eq\f(2n（2n－2）,4)＝n(n－1)．故答案為n(n－1)．方法總結：解決探索規(guī)律的問題，應全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化特征．三、板書設計兩條直線相交eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(鄰補角,對頂角,對頂角相等))求角的大小【教學反思】本節(jié)課通過對學生身邊熟悉的事物引入，讓學生感受到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學與我們的生活密不可分；學生經歷合作探究過程獲得新知，并能用所學的新知識來解決實際問題．這樣教學更能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提升學生的能力，促進學生的發(fā)展5．1.2垂線【教學目標】1．理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；(重點)2．掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；3．掌握垂線的性質，并會利用所學知識進行簡單的推理．(難點)【教學過程】一、情境導入大家都看到過跳水比賽，下面幾幅圖片中是幾種不同的入水方式，你知道哪個圖片中運動員獲得的分數(shù)最高嗎？在獲得分數(shù)最高的圖片中你知道運動員的身體和水面之間的關系嗎？這節(jié)課我們將要學習有關這種關系的知識．二、合作探究探究點一：垂線的概念【類型一】利用垂直的定義求角的度數(shù)如圖，已知點O在直線AB上，CO⊥DO于點O，若∠1＝150°，則∠3的度數(shù)為()A．30°B．40°C．50°D．60°解析：先根據(jù)鄰補角關系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余關系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故選D.方法總結：兩條直線垂直時，其夾角為90°；由一個角是90°也能得到這個角的兩條邊是互相垂直的．【類型二】垂直與對頂角、鄰補角結合求角的度數(shù)如圖，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足為O，EF經過點O.求∠2、∠3的度數(shù)．解析：首先根據(jù)垂直的概念得到∠BOD＝90°，然后根據(jù)∠1與∠3是對頂角，∠2與∠3互為余角，從而求出角的度數(shù)．解：由題意得∠3＝∠1＝30°(對頂角相等)．∵AB⊥CD(已知)，∴∠BOD＝90°，(垂直的定義)，∴∠3＋∠2＝90°，即30°＋∠2＝90°，∴∠2＝60°.方法總結：解決本題的關鍵是根據(jù)垂直的概念，得到度數(shù)為90°的角，然后根據(jù)對頂角、鄰補角的性質解決．探究點二：垂線的畫法(1)如圖①，過點P畫AB的垂線；(2)如圖②，過點P分別畫OA、OB的垂線；(3)如圖③，過點A畫BC的垂線．解析：分別根據(jù)垂線的定義作出相應的垂線即可．解：如圖所示．方法總結：垂線的畫法需要三步完成：一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經過所給的點；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．探究點三：垂線的性質(垂線段最短)如圖，是一條河，C是河邊AB外一點．現(xiàn)欲用水管從河邊AB將水引到C處，請在圖上畫出應該如何鋪設水管能讓路線最短，并說明理由．解析：根據(jù)垂線的性質可解，即過C作CE⊥AB，根據(jù)“垂線段最短”可得CE最短．解：如圖所示，沿CE鋪設水管能讓路線最短，因為垂線段最短．方法總結：在利用垂線的性質解決生活中最近、最短距離的問題時，要依據(jù)“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”來解決．探究點四：點到直線的距離如圖，在△ABC中，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則點C到直線AB的距離是()A．線段CA的長B．線段CDC．線段AD的長D．線段CD的長解析：根據(jù)點到直線的距離的定義：直線外一點到直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，可得點C到直線AB的距離是線段CD的長．故選D.方法總結：點到直線的距離是直線外一點到直線的垂線段的長度，而不是垂線段．三、板書設計垂線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(垂線的定義,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(垂線的作法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(一落,二移,三畫)),垂線的性質：垂線段最短))求最短距離))【教學反思】本節(jié)課主要研究兩條直線相交時的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時的一般情況學習新知識．經歷合作探究過程獲得新知，并能用所學的新知識來解決實際問題．這樣教學更能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使每個學生在數(shù)學的學習上都能得到不同的發(fā)展5．1.3同位角、內錯角、同旁內角【教學目標】1．理解“三線八角”中沒有公共頂點的角的位置關系，知道什么是同位角、內錯角、同旁內角；2．通過比較、觀察、掌握同位角、內錯角、同旁內角的特征；(重點)3．能在復雜圖形中正確識別圖形中的同位角、內錯角和同旁內角．(重點、難點)【教學過程】一、情境導入上一節(jié)課中我們主要學習兩條直線相交的情況，兩條直線相交時，可以形成哪幾種角？如果兩條直線被第三條直線所截時，還能形成以上的角嗎？是否還有其他類型的角呢？你能說出它們的名字嗎？二、合作探究探究點一：識別同位角【類型一】判斷同位角及截線如圖，∠1和∠2是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？∠1和∠3是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？解析：識別同位角要弄清哪兩條直線被哪一條直線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．解：∠1和∠2是直線EF、DC被直線AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直線AB、CD被直線EF所截形成的同位角．方法總結：①同位角中的“同”字有兩層含義：一同是指兩角在截線的同旁，二同是指它們在被截兩直線同方向；②在表述“三線八角”中某種位置關系的角時，可用以下方法：“∠×和∠×是直線×和直線×被直線×所截形成的×角”．【類型二】在圖形中判斷同位角下列圖形中，∠1和∠2不是同位角的是()解析：選項A、B、D中，∠1與∠2在截線的同側，并且在被截線的同一方向，是同位角，即在圖中可找到形如“F”的模型；選項C中，∠1與∠2的兩條邊都不在同一條直線上，不是同位角．故選C.方法總結：確定兩個角的位置關系的有效方法——描圖法：①把兩個角在圖中“描畫”出來；②找到兩個角的公共直線；③觀察所描的角，判斷所屬“字母”類型，同位角為“F”型．【類型三】數(shù)同位角的對數(shù)如圖，直線l1，l2被l3所截，則同位角共有()A．1對B．2對C．3對D．4對解析：圖中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，共4対．故選D.方法總結：數(shù)同位角的個數(shù)時，應從各個方向逐一觀察，避免重復或漏數(shù)．探究點二：識別內錯角、同旁內角如圖，下列說法錯誤的是()A．∠A與∠B是同旁內角B．∠3與∠1是同旁內角C．∠2與∠3是內錯角D．∠1與∠2是同位角解析：根據(jù)同位角、內錯角、同旁內角的基本模型判斷．A中∠A與∠B形成“U”型，是同旁內角；B中∠3與∠1形成“U”型，是同旁內角；C中∠2與∠3形成“Z”型，是內錯角；D中∠1與∠2是鄰補角，該選項說法錯誤．故選D.方法總結：在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F”型，內錯角的邊構成“Z”型，同旁內角的邊構成“U”型．如圖所示，直線DE與∠O的兩邊相交，則∠O的同位角是________，∠8的同旁內角是________．解析：直線DE與∠O的兩邊相交，則∠O的同位角是∠5和∠2，∠8的同旁內角是∠1和∠O.故答案為∠5和∠2，∠1和∠O.易錯點撥：找某角的同位角、同旁內角時，應從各個方位觀察，避免漏數(shù)．三、板書設計三線八角eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同位角“F”型,內錯角“Z”型,同旁內角“U”型))【教學反思】本節(jié)課以學生交流、合作、探究貫穿始終，在教學過程中，給學生的思考留下了足夠的時間和空間，由學生自己去發(fā)現(xiàn)結論．學生在經歷發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的過程中，對“三線八角”的概念準確理解并掌握．培養(yǎng)學生動手、合作、概括能力，同時也提高思維水平和探究能力5．2平行線及其判定5．2.1平行線【教學目標】1．了解平行線的概念及平面內兩條直線相交或平行的兩種位置關系；2．掌握平行公理以及平行公理的推論；(重點、難點)3．會用符號語言表示平行公理推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線．(重點)【教學過程】一、情境導入數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學，觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？以上的圖片都有兩條相互平行的直線，這將是我們這節(jié)課學習的內容．二、合作探究探究點一：平行線的概念下列說法中正確的有：________．(1)在同一平面內不相交的兩條線段必平行；(2)在同一平面內不相交的兩條直線必平行；(3)在同一平面內不平行的兩條線段必相交；(4)在同一平面內不平行的兩條直線必相交；(5)在同一平面內，兩條直線的位置關系有三種：平行、相交和垂直．解析：根據(jù)平行線的概念進行判斷．線段不相交，延長后不一定不相交，(1)錯誤；同一平面內，直線只有平行和相交兩種位置關系，(2)(4)正確，(5)錯誤；線段是有長度的，不平行也可以不相交，(3)錯誤．故答案為(2)(4)．方法總結：同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：平行和相交．兩條線段平行、兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不相交，也就無法判斷它們是否平行．探究點二：過直線外一點畫已知直線的平行線如圖所示，在∠AOB內有一點P.(1)過點P畫l1∥OA；(2)過點P畫l2∥OB；(3)用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣的關系．解析：用兩個三角板，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量角器量一量l1與l2相交的角，該角與∠O的關系為相等或互補．解：(1)(2)如圖所示；(3)l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補．易錯點撥：注意∠2與∠O是互補關系，解答時容易漏掉．探究點三：平行公理及其推論【類型一】應用平行公理及其推論進行判斷有下列四種說法：(1)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；(2)同一平面內，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直；(3)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短；(4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行．其中正確的個數(shù)是()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：根據(jù)平行公理、垂線的性質進行判斷．(1)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，正確；(2)同一平面內，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；(3)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；(4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，正確；正確的有4個．故答案為D.方法總結：平行線公理和垂線的性質兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對于平行線公理中，必須是過直線外一點可以作已知直線的平行線，但過直線上一點不能作已知直線的平行線，垂線的性質中，無論點在何處都能作出已知直線的垂線．【類型二】應用平行公理的推論進行論證四條直線a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那直線a，d的位置關系為________．解析：由于a∥b，b∥c，根據(jù)平行公理的推論得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案為a∥d.方法總結：平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據(jù)．【類型三】平行公理推論的實際應用將一張長方形的硬紙片ABCD對折后打開，折痕為EF，把長方形ABEF平攤在桌面上，另一面CDFE無論怎樣改變位置，總有CD∥AB存在，為什么？解析：根據(jù)平行公理的推論得出答案即可．解：∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.方法總結：利用平行公理的推論進行證明時，關鍵是找到與要證的兩邊都平行的第三條邊進行說明．三、板書設計平行線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念,兩條直線的位置關系：平行或相交,性質\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行公理,平行公理的推論))))【教學反思】本節(jié)課以學生身邊熟悉的事物引入，讓學生感受到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學與我們的生活密不可分．經歷觀察多媒體的演示和通過畫圖等操作，交流歸納與活動，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力5．2.2平行線的判定第1課時平行線的判定【教學目標】1．掌握兩直線平行的判定方法；(重點)2．了解兩直線平行的判定方法的證明過程；3．靈活運用兩直線平行的判定方法證明直線平行．(難點)【教學過程】一、情境導入怎樣用一個三角板和一把直尺畫平行線呢？動手畫一畫．二、合作探究探究點一：應用同位角相等，判斷兩直線平行如圖，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直線AB，CD平行嗎？說明理由．解析：利用對頂角相等得到∠3＝∠2，再由已知∠1＝∠2，等量代換得到同位角相等，利用“同位角相等，兩直線平行”即可得到AB與CD平行．解：∠3＝55°，AB∥CD.理由如下：∵∠3＝∠2，∠1＝∠2＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)．方法總結：準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同位角(“F”型)相等，從而可以應用“同位角相等，兩直線平行”．探究點二：應用內錯角相等，判斷兩直線平行如圖，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB與CD平行嗎？為什么？解析：根據(jù)BC平分∠ACD，∠1＝∠2，可得∠2＝∠BCD，然后利用“內錯角相等，兩直線平行”即可得到AB∥CD.解：AB∥CD.理由如下：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD(內錯角相等，兩直線平行)．方法總結：準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到內錯角(“Z”型)相等，從而可以應用“內錯角相等，兩直線平行”．探究點三：應用同旁內角互補，判斷兩直線平行如圖，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD與BC有怎樣的位置關系？為什么？解析：先根據(jù)∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC得出∠B與∠BAD的關系，進而得出結論．解：AD∥BC.理由如下：∵∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC，∴∠BAD＝90°＋25°＝115°.∵∠BAD＋∠B＝115°＋65°＝180°，∴AD∥BC.方法總結：準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同旁內角(“U”型)相等，從而可以應用“同旁內角互補，兩直線平行”．探究點四：平行線的判定方法的運用【類型一】利用平行線判定方法的推理格式判斷如圖，下列說法錯誤的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若∠1＝∠2，則a∥cC．若∠3＝∠2，則b∥cD．若∠3＋∠4＝180°，則a∥c解析：根據(jù)平行線的判定方法進行推理論證．A選項中，若a∥b，b∥c，則a∥c，利用了平行公理，正確；B選項中，若∠1＝∠2，則a∥c，利用了“內錯角相等，兩直線平行”，正確；C選項中，∠3＝∠2，不能判斷b∥c，錯誤；D選項中，若∠3＋∠4＝180°，則a∥c，利用了“同旁內角互補，兩直線平行”，正確．故選C.方法總結：解決此類問題的關鍵是識別截線和被截線，找準同位角、內錯角和同旁內角，從而判斷出哪兩條直線是平行的．【類型二】根據(jù)平行線的判定方法，添加合適的條件如圖所示，要想判斷AB是否與CD平行，我們可以測量哪些角？請你寫出三種方案，并說明理由．解析：判別兩條直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．據(jù)此答題．解：(1)可以測量∠EAB與∠D，如果∠EAB＝∠D，那么根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，得出AB與CD平行；(2)可以測量∠BAC與∠C，如果∠BAC＝∠C，那么根據(jù)“內錯角相等，兩直線平行”，得出AB與CD平行；(3)可以測量∠BAD與∠D，如果∠BAD＋∠D＝180°，那么根據(jù)“同旁內角互補，兩直線平行”，得出AB與CD平行．方法總結：解決此類問題的關鍵是找準同位角、內錯角和同旁內角．三、板書設計平行線的判定eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補))兩直線平行【教學反思】平行線的判定是平行線內容的進一步拓展，是進一步學習平行線的有力工具，為學習平行線的性質、三角形、四邊形等知識打下基礎，在整個初中幾何中占有非常重要的地位．學生雖然已經學了平行線的定義、平行公理，具備了探究直線平行的基礎，但學生在文字語言、符號語言和圖形語言之間的轉換能力比較薄弱，在邏輯思維和合作交流的意識方面發(fā)展不夠均衡，還需逐漸提高第2課時平行線判定方法的綜合運用【教學目標】1．靈活選用平行線的判定方法進行證明；(重點)2．掌握平行線的判定在實際生活中的應用．(難點)【教學過程】一、情境導入如圖，裝修工人正在向墻上釘木條，如果木條b與墻壁邊緣垂直，那么木條a與墻壁邊緣所夾角為多少度時，才能使木條a與木條b平行？要解決這個問題，就要弄清楚平行的判定．二、合作探究探究點一：平行線判定方法的綜合運用【類型一】靈活選用判定方法判定平行如圖，有以下四個條件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的條件有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：根據(jù)平行線的判定定理即可求得答案．①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的條件是①③④.故選C.方法總結：要判定兩直線是否平行，首先要將題目給出的角轉化為這兩條直線被第三條直線所截得的同位角、內錯角或同旁內角，再看這些角是否滿足平行線的判定方法．【類型二】平行線的判定定理結合平行公理的推論進行證明如圖，直線AB、CD、EF被直線GH所截，∠1＝70°，∠2＝110°，∠2＋∠3＝180°.求證：(1)EF∥AB；(2)CD∥AB(補全橫線及括號的內容)．證明：(1)∵∠2＋∠3＝180°，∠2＝110°(已知)，∴∠3＝70°()．又∵∠1＝70°(已知)，∴∠1＝∠3()，∴EF∥AB()．(2)∵∠2＋∠3＝180°，∴______∥______()．又∵EF∥AB(已證)，∴______∥______()．解析：(1)先將∠2＝110°代入∠2＋∠3＝180°，求出∠3＝70°，根據(jù)等量代換得到∠1＝∠3，再由“內錯角相等，兩直線平行”即可得到EF∥AB；(2)先由“同旁內角互補，兩直線平行”得出CD∥EF，再根據(jù)“兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行”即可得到CD∥AB.答案分別為：(1)等量代換；等量代換；內錯角相等，兩直線平行；(2)CD；EF；同旁內角互補，兩直線平行；CD；AB；平行于同一條直線的兩直線平行．方法總結：判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時需要結合運用“平行于同一條直線的兩條直線平行”．【類型三】添加輔助線證明平行如圖，MF⊥NF于F，MF交AB于點E，NF交CD于點G，∠1＝140°，∠2＝50°，試判斷AB和CD的位置關系，并說明理由．解析：通過觀察圖可以猜想AB與CD互相平行．過點F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，則可得∠NFQ＝40°，再運用兩次平行線的判定定理可得出結果．解：過點F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，則∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90°－50°＝40°，AB∥FQ.又因為∠1＝140°，所以∠1＋∠NFQ＝180°，所以CD∥FQ，所以AB∥CD.方法總結：在解決與平行線相關問題時，有時需作出適當?shù)妮o助線．探究點二：平行線判定的實際應用一輛汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上行駛，那么兩次拐彎的角度可能為()A．第一次右拐60°，第二次右拐120°B．第一次右拐60°，第二次右拐60°C．第一次右拐60°，第二次左拐120°D．第一次右拐60°，第二次左拐60°解析：汽車兩次拐彎后，行駛的路線與原路線一定不在同一直線上，但方向相同，說明前后路線應該是平行的．如圖，如果第一次向右拐，那么第二次應左拐，兩次拐的方向是相反且角度相等的，兩次拐的角度是同位角，所以前后路線平行且行駛方向不變．故選D.方法總結：利用數(shù)學知識解決實際問題，關鍵是將實際問題正確地轉化為數(shù)學問題，即畫出示意圖或列式表示，然后再解決數(shù)學問題，最后回歸實際．三、板書設計平行線的判定方法：1．同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；2．平行于同一條直線的兩直線平行．【教學反思】在教學設計中，突出學生是學習的主體，把問題盡量拋給學生解決，有意識地對學生滲透“轉化”思想，并將數(shù)學學習與生活實際聯(lián)系起來．本節(jié)課對七年級的學生而言，本是一個艱難的起步，應時時提醒學生應注意的地方，證明要嚴謹，步步有依據(jù)，并且依據(jù)只能是有關概念的定義、所規(guī)定的公理及已知證明的定理，防止學生不假思索地把以前學過的結論用來作為證明的依據(jù)5．3平行線的性質5．3.1平行線的性質第1課時平行線的性質【教學目標】1．理解平行線的性質；(重點)2．能運用平行線的性質進行推理證明．(重點、難點)【教學過程】一、情境導入窗戶內窗的兩條豎直的邊是平行的，在推動過程中，兩條豎直的邊與窗戶外框形成的兩個角∠1、∠2有什么數(shù)量關系？二、合作探究探究點一：平行線的性質如圖，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度數(shù)．解析：利用“兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補”的性質可求出結論．解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.方法總結：已知平行線求角度，應根據(jù)平行線的性質得出同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．再結合已知條件進行轉化．探究點二：平行線與角平分線的綜合運用如圖，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度數(shù)．解析：先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，可求得∠PAC＝48°.由AP是∠BAC的角平分線，可求得∠BAP＝48°，從而可求得∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD的度數(shù)．解：∵FG∥EC，∴∠CAG＝∠ACE＝36°.∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝48°.∵DB∥FG，∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.方法總結：(1)利用平行線的性質可以得出角之間的相等或互補關系，利用角平分線的定義，可以得出角之間的倍分關系；(2)求角的度數(shù)，可把一個角轉化為一個與它相等的角或轉化為已知角的和差．探究點三：平行線性質的探究應用如圖，已知∠ABC.請你再畫一個∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC邊與點P.探究：∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．解析：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質進行解答即可．解：∠ABC與∠DEF的數(shù)量關系是相等或互補．理由如下：如圖①，因為DE∥AB，所以∠ABC＝∠DPC.又因為EF∥BC，所以∠DEF＝∠DPC，所以∠ABC＝∠DEF.如圖②，因為DE∥AB，所以∠ABC＋∠DPB＝180°.又因為EF∥BC，所以∠DEF＝∠DPB，所以∠ABC＋∠DEF＝180°.故∠ABC與∠DEF的數(shù)量關系是相等或互補．方法總結：畫出滿足條件的圖形時，必須注意分情況討論，即把所有滿足條件的圖形都要作出來．三、板書設計eq\a\vs4\al(平行線,的性質)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(兩直線平行，同位角相等,兩直線平行，內錯角相等,兩直線平行，同旁內角互補))eq\a\vs4\al(求角的大小或,說明角之間的,數(shù)量關系)【教學反思】平行線的性質是幾何證明的基礎，教學中注意基本的推理格式的書寫，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，鼓勵學生勇于嘗試．在課堂上，力求體現(xiàn)學生的主體地位，把課堂交給學生，讓學生在動口、動手、動腦中學數(shù)學第2課時平行線的性質和判定及其綜合運用【教學目標】1．掌握平行線的性質與判定的綜合運用；(重點、難點)2．體會平行線的性質與判定的區(qū)別與聯(lián)系．【教學過程】一、復習引入問題：平行線的判定與平行線的性質的區(qū)別是什么？判定是已知角的關系得平行關系，性質是已知平行關系得角的關系．兩者的條件和結論剛好相反，也就是說平行線的判定與性質是互逆的．二、合作探究探究點一：先用判定再用性質如圖，C，D是直線AB上兩點，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.(1)CE與DF平行嗎？為什么？(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度數(shù)．解析：(1)由∠1＋∠DCE＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可證明CE∥DF；(2)由平行線的性質，可得∠CDF＝50°.由DE平分∠CDF，可得∠CDE＝eq\f(1,2)∠CDF＝25°.最后根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”，可得到∠DEF的度數(shù)．解：(1)CE∥DF.理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝eq\f(1,2)∠CDF＝25°.∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.方法總結：根據(jù)題目中的數(shù)量找出各量之間的關系是解這類問題的關鍵．從角的關系得到直線平行用平行線的判定，從平行線得到角相等或互補的關系用平行線的性質，二者不要混淆．探究點二：先用性質再用判定如圖，已知DF∥AC，∠C＝∠D，CE與BD有怎樣的位置關系？說明理由．解析：由圖可知∠ABD和∠ACE是同位角，只要證得同位角相等，則CE∥BD.由平行線的性質結合已知條件，稍作轉化即可得到∠ABD＝∠C.解：CE∥BD.理由如下：∵DF∥AC，∴∠D＝∠ABD.∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠C，∴CE∥BD.方法總結：解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內錯角和同旁內角．探究點三：平行線性質與判定中的探究型問題如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD之間的兩點，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關系，并說明理由；(2)∠AFD與∠AED之間有怎樣的數(shù)量關系？解析：平行線中的拐點問題，通常需過拐點作平行線．解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：如圖，過點E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，∴∠BAE＋∠CDE＝eq\f(3,2)∠BAF＋eq\f(3,2)∠CDF＝eq\f(3,2)(∠BAF＋∠CDF)＝eq\f(3,2)∠AFD，∴∠AED＝eq\f(3,2)∠AFD.方法總結：無論平行線中的何種問題，都可轉化到基本模型中去解決，把復雜的問題分解到簡單模型中，問題便迎刃而解．三、板書設計eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補))eq\o(,\s\up7(判定),\s\do5(性質))兩直線平行【教學反思】本節(jié)內容的重點是平行線的性質及判定的綜合，直接運用了“∵”“∴”的推理形式，為學生創(chuàng)設了一個學習推理的環(huán)境，逐步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力．因此，這一節(jié)課有著承上啟下的作用，比較重要．本節(jié)內容的難點是理解平行線的性質和判定的區(qū)別，并在推理中正確地應用．由于學生還沒有學習命題的概念和命題的組成，不知道判定和性質的本質區(qū)別和聯(lián)系是什么，所以在教學中，應讓學生通過應用和討論，體會到如果已知角的關系，推出兩直線平行，就是平行線的判定；反之，如果兩直線平行，得出角的關系，就是平行線的性質5．3.2命題、定理、證明【教學目標】1．理解命題的概念，能區(qū)分命題的條件和結論，并把命題寫成“如果……那么……”的形式；(重點)2．了解真命題和假命題的概念，能判斷一個命題的真假性，并會對命題舉反例．(難點)【教學過程】一、情境導入2015年10月，屠呦呦因發(fā)現(xiàn)青蒿素治療瘧疾的新療法獲諾貝爾生理學或醫(yī)學獎．屠呦呦是第一位獲得諾貝爾科學獎項的中國本土科學家、第一位獲得諾貝爾生理醫(yī)學獎的華人科學家．青蒿素是從植物黃花蒿莖葉中提取的有過氧基團的倍半萜內酯藥物．其對鼠瘧原蟲紅內期超微結構的影響，主要是瘧原蟲膜系結構的改變，該藥首先作用于食物泡膜、表膜、線粒體、內質網，此外對核內染色質也有一定的影響．青蒿素的作用方式主要是干擾表膜－線粒體的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，從而阻斷了營養(yǎng)攝取的最早階段，使瘧原蟲較快出現(xiàn)氨基酸饑餓，迅速形成自噬泡，并不斷排出蟲體外，使瘧原蟲損失大量胞漿而死亡．要讀懂這段報道，你認為要知道哪些名稱和術語的含義？二、合作探究探究點一：命題的定義與結構【類型一】命題的判斷下列語句中，不是命題的是()A．兩點之間線段最短B．對頂角相等C．不是對頂角不相等D．過直線AB外一點P作直線AB的垂線解析：根據(jù)命題的定義，看其中哪些選項是判斷句，其中只有D選項不是判斷句．故選D.方法總結：①命題必須是一個完整的句子，而且必須做出肯定或否定的判斷．疑問句、感嘆句、作圖過程的敘述都不是命題；②命題常見的關鍵詞有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．【類型二】把命題寫成“如果……那么……”的形式把下列命題寫成“如果……那么……”的形式．(1)內錯角相等，兩直線平行；(2)等角的余角相等．解：(1)兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行；(2)如果兩個角是相等的角，那么它們的余角相等．方法總結：把命題寫成“如果……那么……”的形式時，應添加適當?shù)脑~語，使語句通順．【類型三】命題的條件和結論寫出命題“平行于同一條直線的兩條直線平行”的條件和結論．解析：先把命題寫成“如果……那么……”的形式，再確定條件和結論．解：把命題寫成“如果……那么……”的形式：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．所以命題的條件是“兩條直線都與第三條直線平行”，結論是“這兩條直線也互相平行”．方法總結：每一個命題都一定能用“如果……那么……”的形式來敘述．在“如果”后面的部分是“條件”，在“那么”后面的部分是“結論”．探究點二：真命題與假命題下列命題中，是真命題的是()A．若a·b＞0，則a＞0，b＞0B．若a·b＜0，則a＜0，b＜0C．若a·b＝0，則a＝0且b＝0D．若a·b＝0，則a＝0或b＝0解析：選項A中，a·b＞0可得a、b同號，可能同為正，也可能同為負，是假命題；選項B中，a·b＜0可得a、b異號，所以錯誤，是假命題；選項C中，a·b＝0可得a、b中必有一個字母的值為0，但不一定同時為零，是假命題；選項D中，若a·b＝0，則a＝0或b＝0或二者同時為0，是真命題．故選D.方法總結：判斷一個命題是真命題還是假命題，就是判斷一個命題是否正確，即由條件能否得出結論．如果命題正確，就是真命題；如果命題不正確，就是假命題．探究點三：證明與舉反例【類型一】命題的證明求證：兩條直線平行，一組內錯角的平分線互相平行．解析：按證明與圖形有關的命題的一般步驟進行．要證明兩條直線平行，可根據(jù)平行線的判定方法來證明．解：如圖，已知AB∥CD，直線AB，CD被直線MN所截，交點分別為P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求證：PG∥HQ.證明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BPQ＝∠CQP(兩直線平行，內錯角相等)．又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，∴∠GPQ＝eq\f(1,2)∠BPQ，∠HQP＝eq\f(1,2)∠CQP(角平分線的定義)，∴∠GPQ＝∠HQP(等量代換)，∴PG∥HQ(內錯角相等，兩直線平行)．方法總結：證明與圖形有關的命題時，正確分清命題的條件和結論是證明的關鍵．應先結合題意畫出圖形，再根據(jù)圖形寫出已知與求證，然后進行證明．【類型二】舉反例舉反例說明下列命題是假命題．(1)若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；(2)若ab＝0，則a＋b＝0.解析：分清題目的條件和結論，所舉的例子滿足條件但不滿足結論即可．解：(1)兩條直線平行形成的內錯角，這兩個角不是對頂角，但是它們相等；(2)當a＝5，b＝0時，ab＝0，但a＋b≠0.方法總結：舉反例時，所舉的例子應當滿足題目的條件，但不滿足題目的結論．舉反例時常見的幾種錯誤：①所舉例子滿足題目的條件，也滿足題目的結論；②所舉例子不滿足題目的條件，但滿足題目的結論；③所舉例子不滿足題目的條件，也不滿足題目的結論．三、板書設計命題eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念,結構,真、假命題,證明與舉反例))【教學反思】本節(jié)課通過命題及其證明的學習，讓學生感受到要說明一個定理成立，應當證明；要說明一個命題是假命題，可以舉反例．同時讓學生感受到數(shù)學的嚴謹，初步養(yǎng)成學生言之有理、落筆有據(jù)的推理習慣，發(fā)展初步的演繹推理能力5．4平移【教學目標】1．通過實例了解平移的概念；2．理解并掌握平移的性質；(重點、難點)3．能按要求作出平移后的圖形．(重點)【教學過程】一、情境導入如圖，高鐵在筆直的鐵軌上向前運行，它的形狀和大小發(fā)生了變化嗎？二、合作探究探究點一：平移的概念【類型一】生活中的平移下面生活中的物體的運動情況可以看成平移的是()A．擺動的鐘擺B．在筆直的公路上行駛的汽車C．隨風擺動的旗幟D．汽車玻璃上雨刷的運動解析：選項A、C、D中圖形的所有點不是沿同一方向運動，所以不是平移．選項B符合平移的條件．故選B.方法總結：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移．注意平移是圖形整體沿某一直線方向移動．圖形繞某一點的旋轉不是平移．【類型二】平移的判斷下列哪個圖形是由左圖平移得到的()解析：選項A、B、D是由左圖通過旋轉得到，只有選項C是平移得到的．故選C.方法總結：本題考查了圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，同學們容易混淆圖形的平移與旋轉或翻轉，以致選錯．探究點二：平移的性質如圖，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF＝7cm，CE＝3cm，求平移的距離．解析：平移的距離可以看作是線段CF的長．解：觀察圖形可知，平移的距離可以看作是線段CF的長．因為EF＝7cm，CE＝3cm，所以平移的距離為CF＝EF－EC＝7－3＝4(cm)．方法總結：平移既能產生線段相等，又能產生線段平行．平移前后的兩個圖形中，對應角相等，對應線段平行(或在同一條直線上)且相等．如圖，將周長為8的三角形ABC沿BC方向平移1個單位得到三角形DEF，則四邊形ABFD的周長為()A．6B．8C．10D．12解析：根據(jù)題意，將周長為8的三角形ABC沿邊BC向右平移1個單位得到三角形DEF，故AD＝CF＝1，DF＝AC，AB＋BC＋AC＝8，則AB＋BC＋CF＋DF＋AD＝10.故四邊形ABFD的周長為10.故選C.方法總結：平移不改變圖形的形狀和大?。揭坪髮€段平行(或在同一直線上)且相等，對應角相等．探究點三：平移的作圖將圖中的三角形ABC向右平移6格．解析：分別作出點A、B、C三點向右平移6格后的對應點A′、B′、C′，再順次連接即可．解：如圖所示．方法總結：(1)平移的作圖要注意兩個方面：平移的方向和平移的距離；(2)作直線型圖形平移后的圖形，關鍵是作出點平移后的對應點．三、板書設計平移eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平移的概念,平移的性質\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平移不改變圖形的形狀和大小,平移不改變直線的方向,一個圖形和它經過平移后所得的圖,形中，兩組對應點的連線平行（或在,同一直線上）且相等)),平移的作圖))【教學反思】本節(jié)課通過生活中的實例引入平移的概念，在學習中，引導學生分析、觀察、概括得出平移的性質，并通過例題和練習加深對平移性質的理解．讓學生作圖，自主探究．平移的作圖是本節(jié)課的重點，應讓學生加強訓練，結合解題中的錯誤分析原因，舉一反三6．1平方根第1課時算術平方根【教學目標】1．了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術平方根；2．根據(jù)算術平方根的概念求出非負數(shù)的算術平方根；(重點)3．了解算術平方根的性質．(難點)【教學過程】一、情境導入在我校舉行的繪畫比賽中，歡歡同學準備了一些正方形的畫布，若知道畫布的邊長，你能計算出它們的面積嗎？若知道畫布的面積，你能求出它們的邊長嗎？表一正方形的邊長120.5eq\f(2,3)正方形的面積140.25eq\f(4,9)表一：已知一個正數(shù)，求這個正數(shù)的平方.表二正方形的面積140.3649正方形的邊長120.67表二：已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)．表一和表二中的兩種運算有什么關系？二、合作探究探究點一：算術平方根的概念【類型一】求一個數(shù)的算術平方根求下列各數(shù)的算術平方根：(1)64；(2)2eq\f(1,4)；(3)0.36；(4)eq\r(412－402).解析：根據(jù)算術平方根的定義求非負數(shù)的算術平方根，只要找到一個非負數(shù)的平方等于這個非負數(shù)即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算術平方根是8；(2)∵(eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)＝2eq\f(1,4)，∴2eq\f(1,4)的算術平方根是eq\f(3,2)；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算術平方根是0.6；(4)∵eq\r(412－402)＝eq\r(81)，又∵92＝81，∴eq\r(81)＝9.而32＝9，∴eq\r(412－402)的算術平方根是3.方法總結：(1)求一個數(shù)的算術平方根時，首先要弄清是求哪個數(shù)的算術平方根，分清求eq\r(81)與81的算術平方根的不同意義，不要被表面現(xiàn)象迷惑；(2)求一個非負數(shù)的算術平方根常借助平方運算，因此熟記常用平方數(shù)對求一個數(shù)的算術平方根十分有用．【類型二】利用算術平方根的定義求值3＋a的算術平方根是5，求a的值．解析：先根據(jù)算術平方根的定義，求出3＋a的值，再求a.解：因為52＝25，所以25的算術平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.方法總結：已知一個數(shù)的算術平方根，可以根據(jù)平方運算來解題．探究點二：算術平方根的性質【類型一】含算術平方根式子的運算計算：eq\r(49)＋eq\r(9＋16)－eq\r(225).解析：首先根據(jù)算術平方根的定義進行開方運算，再進行加減運算．解：eq\r(49)＋eq\r(9＋16)－eq\r(225)＝7＋5－15＝－3.方法總結：解題時容易出現(xiàn)如eq\r(9＋16)＝eq\r(9)＋eq\r(16)的錯誤．【類型二】算術平方根的非負性已知x，y為有理數(shù)，且eq\r(x－1)＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算術平方根和完全平方都具有非負性，即eq\r(a)≥0，a2≥0，由幾個非負數(shù)相加和為0，可得每一個非負數(shù)都為0，由此可求出x和y的值，進而求得答案．解：由題意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.方法總結：算術平方根、絕對值和完全平方都具有非負性，即eq\r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0，當幾個非負數(shù)的和為0時，各數(shù)均為0.三、板書設計算術平方根eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念：非負數(shù)a的算術平方根記作\r(a),性質：雙重非負性\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0,\r(a)≥0))))【教學反思】讓學生正確、深刻地理解算術平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化．概念的形成過程也是思維過程，加強概念形成過程的教學，對提高學生的思維水平是很有幫助的．概念教學過程中要做到：講清概念，加強訓練，逐步深化第2課時用計算器求算術平方根及其大小比較【教學目標】1．會比較兩個數(shù)的算術平方根的大??；(重點)2．會估算一個數(shù)的算術平方根的大致范圍，掌握估算的方法，形成估算的意識；(難點)3．會用計算器求一個數(shù)的算術平方根．【教學過程】一、情境導入請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形紙片和剪刀，按虛線剪開拼成一個大的正方形．因為兩個小正方形面積之和等于大正方形的面積，所以根據(jù)正方形面積公式可知a2＝2，那么a是多少？這個數(shù)是多大呢？二、合作探究探究點一：算術平方根的估算【類型一】估算算術平方根的大致范圍估算eq\r(19)－2的值()A．在1和2之間B．在2和3之間C．在3和4之間D．在4和5之間解析：因為42<19<52，所以4<eq\r(19)<5，所以2<eq\r(19)－2<3.故選B.方法總結：本題利用被開方數(shù)兩邊比較接近的完全平方數(shù)的算術平方根估計這個數(shù)的算術平方根的大?。绢愋投看_定算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分已知a是eq\r(8)的整數(shù)部分，b是eq\r(8)的小數(shù)部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．解析：本題綜合考查有理數(shù)與無理數(shù)的關系．因為2<eq\r(8)<3，所以eq\r(8)的整數(shù)部分是2，即a＝2.eq\r(8)是無限不循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分應是eq\r(8)－2，即b＝eq\r(8)－2，再將a，b代入代數(shù)式求值．解：因為2<eq\r(8)<3，a是eq\r(8)的整數(shù)部分，所以a＝2.因為b是eq\r(8)的小數(shù)部分，所以b＝eq\r(8)－2.所以(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋(eq\r(8)－2＋2)2＝－8＋8＝0.方法總結：解此題的關鍵是確定eq\r(8)的整數(shù)部分和小數(shù)部分(用這個無理數(shù)減去它的整數(shù)部分即為小數(shù)部分)．【類型三】用估算法比較數(shù)的大小通過估算比較下列各組數(shù)的大?。?1)eq\r(5)與1.9;(2)eq\f(\r(6)＋1,2)與1.5.解析：(1)估算eq\r(5)的大小，或求1.9的平方，比較5與1.92的大??；(2)先估算eq\r(6)的大小，再比較eq\r(6)與2的大小，從而進一步比較eq\f(\r(6)＋1,2)與1.5的大小．解：(1)因為5>4，所以eq\r(5)>eq\r(4)，即eq\r(5)>2，所以eq\r(5)>1.9；(2)因為6>4，所以eq\r(6)>eq\r(4)，所以eq\r(6)>2，所以eq\f(\r(6)＋1,2)>eq\f(2＋1,2)＝1.5，即eq\f(\r(6)＋1,2)>1.5.方法總結：比較兩數(shù)的大小常用方法有：①作差比較法；②求值比較法；③移因式于根號內，再比較大小；④利用平方法比較無理數(shù)的大小等．比較無理數(shù)與有理數(shù)的大小時要先估算無理數(shù)的近似值，再比較它與有理數(shù)的大小．探究點二：用計算器求算術平方根用計算器計算：(1)eq\r(1225)；(2)eq\r(36.42)(精確到0.001)；(3)eq\r(13)(精確到0.001)．解析：(1)按鍵：“eq\r()”“1225”“＝”即可；(2)按鍵：“eq\r()”“36.42”“＝”，再取近似值即可；(3)按鍵：“eq\r()”“13”“＝”，再取近似值即可．解：(1)eq\r(1225)＝35；(2)eq\r(36.42)≈6.035；(3)eq\r(13)≈3.606.方法總結：取近似值時要看精確到的位數(shù)的下一位，再四舍五入．探究點三：算術平方根的實際應用全球氣候變暖導致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚開始在巖石上生長．每個苔蘚都會長成近似圓形，苔蘚的直徑和冰川消失的時間近似地滿足如下關系式：d＝7×eq\r(t－12)(t≥12)．其中d代表苔蘚的直徑，單位是厘米；t代表冰川消失的時間，單位是年．(1)計算冰川消失16年后苔蘚的直徑；(2)如果測得一些苔蘚的直徑是35厘米，則冰川約是在多少年前消失的？解析：(1)根據(jù)題意可知是求當t＝16時d的值，直接把對應數(shù)值代入關系式即可求解；(2)根據(jù)題意可知是求當d＝35時t的值，直接把對應數(shù)值代入關系式即可求解．解：(1)當t＝16時，d＝7×eq\r(16－12)＝7×2＝14(厘米)．答：冰川消失16年后苔蘚的直徑是14厘米；(2)當d＝35時，eq\r(t－12)＝5，即t－12＝25，解得t＝37(年)．答：冰川約是在37年前消失的．方法總結：本題考查算術平方根的實際應用，注意實際問題中涉及開平方通常取算術平方根．三、板書設計1．估算eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(估算一個無理,數(shù)的近似值)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(估算無理數(shù)的大致范圍,用估算法比較兩個數(shù)的大小)),估算的應用))2．用計算器求一個正數(shù)的算術平方根【教學反思】在解決問題的同時引導學生對解決方法進行總結，和學生一起歸納出估算的方法．讓學生從被動學習到主動探究，激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生自主學習數(shù)學的能力．通過獨立思考與小組討論相結合的方式解決新的實際問題，讓學生初步體會數(shù)學知識的實際應用價值第3課時平方根【教學目標】1．了解平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根；(重點)2．了解開平方與平方是互逆運算，會用開平方運算求非負數(shù)的平方根．(難點)【教學過程】一、情境導入填空：(1)3的平方等于9，那么9的算術平方根就是________；(2)eq\f(2,5)的平方等于eq\f(4,25)，那么eq\f(4,25)的算術平方根就是________；(3)展廳的地面為正方形，其面積49平方米，則邊長為________米．還有平方等于9，eq\f(4,25)，49的其他數(shù)嗎？二、合作探究探究點一：平方根的概念及性質【類型一】求一個數(shù)的平方根求下列各數(shù)的平方根：(1)1eq\f(24,25)；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)eq\r(81).解析：把帶分數(shù)化為假分數(shù)，含有乘方運算先求出它的冪．注意正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根．解：(1)∵1eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，(±eq\f(7,5))2＝eq\f(49,25)，∴1eq\f(24,25)的平方根為±eq\f(7,5)，即±eq\r(1\f(24,25))＝±eq\f(7,5)；(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±eq\r(0.0001)＝±0.01；(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±eq\r(（－4）2)＝±4；(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±eq\r(10－6)＝±10－3；(5)∵(±3)2＝9＝eq\r(81)，∴eq\r(81)的平方根是±3.方法總結：正確理解平方根的概念，明確是求哪一個數(shù)的平方根．如(5)中是求9的平方根．【類型二】利用平方根的性質求值一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，求這個數(shù)．解析：因為一個正數(shù)的平方根有兩個，且它們互為相反數(shù)，所以2a＋1和a－4互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0列方程求解．解：由于一個正數(shù)的兩個平方根是2a＋1和a－4，則有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以這個數(shù)為(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法總結：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，即它們的和為零．探究點二：開平方及相關運算求下列各式中x的值：(1)x2＝361;(2)81x2－49＝0；(3)49(x2＋1)＝50;(4)(3x－1)2＝(－5)2.解析：若x2＝a(a≥0)，則x＝±eq\r(a)，先把各題化為x2＝a的形式，再求x.其中(4)中可將(3x－1)看作一個整體，先通過開平方求出這個整體的值，然后解方程求出x.解：(1)∵x2＝361，∴開平方得x＝±eq\r(361)＝±19；(2)整理81x2－49＝0，得x2＝eq\f(49,81)，∴開平方得x＝±eq\r(\f(49,81))＝±eq\f(7,9)；(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝eq\f(1,49)，∴開平方得x＝±eq\r(\f(1,49))＝±eq\f(1,7)；(4)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴開平方得3x－1＝±5.當3x－1＝5時，x＝2；當3x－1＝－5時，x＝－eq\f(4,3).綜上所述，x＝2或－eq\f(4,3).方法總結：利用平方根的定義進行開平方解方程，從而求出未知數(shù)的值．一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；開平方時，不要漏掉負平方根．三、板書設計1．平方根的概念：若x2＝a，則x叫a的平方根，x＝±eq\r(a).2．平方根的性質：正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．3．開平方及相關運算：求一個數(shù)a的平方根的運算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)．開平方與平方互為逆運算．【教學反思】為學生提供有趣且富有數(shù)學含義的問題，讓學生進行充分的探索和交流．如把正方形的面積不斷地擴大為原來的2倍、3倍、n倍，引導學生進行交流、討論與探索，從中感受學習平方根的必要性6．2立方根【教學目標】1．了解立方根的概念及性質，會用根號表示一個數(shù)的立方根；(重點)2．了解開立方與立方是互逆運算，會用開立方運算求一個數(shù)的立方根．(難點)【教學過程】一、情境導入填空并回答問題：(1)()3＝0.001；(2)()3＝－eq\f(27,64)；(3)()3＝0；(4)若正方體的棱長為a，體積為8，根據(jù)正方體的體積公式得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？二、合作探究探究點一：立方根的概念及性質【類型一】立方根的概念及性質立方根等于本身的數(shù)有________個．解析：在正數(shù)中，eq\r(3,1)＝1，在負數(shù)中，eq\r(3,－1)＝－1，又eq\r(3,0)＝0，∴立方根等于本身的數(shù)有1，－1，0.故填3.方法總結：不論正數(shù)、負數(shù)還是零，都有立方根．【類型二】立方根與平方根的綜合問題已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算術平方根．解析：根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，從而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算術平方根即可．解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算術平方根為10.方法總結：本題先根據(jù)平方根和立方根的定義，運用方程思想列方程求出x，y的值，再根據(jù)算術平方根的定義求出x2＋y2的算術平方根．【類型三】立方根的實際應用已知球的體積公式是V＝eq\f(4,3)πr3(r為球的半徑，π取3.14)，現(xiàn)已知一個小皮球的體積是113.04cm3，求這個小皮球的半徑r.解析：將公式變形為r3＝eq\f(3V,4π)，從而求r.解：由V＝eq\f(4,3)πr3，得r3＝eq\f(3V,4π)，∴r＝eq\r(3,\f(3V,4π)).∵V＝113.04cm3，π取3.14，∴r≈eq\r(3,\f(3×113.04,4×3.14))＝eq\r(3,27)＝3(cm)．答：這個小皮球的半徑r約為3cm.方法總結：解此題的關鍵是靈活應用球的體積公式，并將公式適當變形．探究點二：開立方運算求下列各式的值：(1)－eq\r(3,343)；(2)eq\r(3,\f(10,27)－5)；(3)－eq\r(3,－8)÷eq\r(2\f(1,4))＋eq\r(（－1）100).解：(1)－eq\r(3,343)＝－7；(2)eq\r(3,\f(10,27)－5)＝eq\r(3,－\f(125,27))＝－eq\f(5,3)；(3)－eq\r(3,－8)÷eq\r(2\f(1,4))＋eq\r(（－1）100)＝2÷eq\r(\f(9,4))＋eq\r(1)＝2÷eq\f(3,2)＋1＝2×eq\f(2,3)＋1＝eq\f(7,3).方法總結：做開平方或開立方運算時，一般都是利用它們的定義去掉根號；當被開方數(shù)不是單獨一個數(shù)時，則需先將它們進行化簡，再進行開方運算．三、板書設計1．每個數(shù)a都只有一個立方根，記為“eq\r(3,a)”，讀作“三次根號a”．2．正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)．3．求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù)．開立方與立方互為逆運算．【教學反思】本節(jié)課讓學生應用類比法學習立方根的概念、性質和運算．學生在以后的數(shù)學學習中，要注意滲透類比的思維方式，讓學生在學習新知識的同時鞏固已學的知識，并通過新舊對比更好地掌握知識6．3實數(shù)第1課時實數(shù)【教學目標】1．經歷無理數(shù)的探究過程，理解無理數(shù)的概念，會判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)；(重點)2．進一步理解有理數(shù)和無理數(shù)的概念，會把實數(shù)進行分類；(重點)3．理解實數(shù)與數(shù)軸的關系，并進行相關運用．(難點)【教學過程】一、情境導入為了美化校園，學校打算建一個面積為225平方米的正方形植物園，這個正方形的邊長應取多少？你能計算出來嗎？如果把“225”改為其他數(shù)字，如“200”，這時怎樣確定邊長？二、合作探究探究點一：實數(shù)的相關概念及分類【類型一】無理數(shù)的識別在下列實數(shù)中：eq\f(15,7)，3.14，0，eq\r(9)，π，eq\r(5)，0.1010010001…，無理數(shù)的個數(shù)有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：根據(jù)無理數(shù)的定義可以知道，上述實數(shù)中是無理數(shù)的有：π，eq\r(5)，0.1010010001….故選C.方法總結：常見無理數(shù)有三種形式：第一類是開方開不盡的數(shù)；第二類是化簡后含有π的數(shù)；第三類是無限不循環(huán)的小數(shù)．【類型二】實數(shù)的分類把下列各數(shù)分別填到相應的集合內：－3.6，eq\r(27)，eq\r(4)，5，eq\r(3,－7)，0，eq\f(π,2)，－eq\r(3,125)，eq\f(22,7)，3.14，0.10100….(1)有理數(shù)集合{…}；(2)無理數(shù)集合{…}；(3)整數(shù)集合{…}；(4)負實數(shù)集合{…}．解析：實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，也可以分為正實數(shù)、0、負實數(shù)三類．而有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)．解：(1)有理數(shù)集合{－3.6，eq\r(4)，5，0，－eq\r(3,125)，eq\f(22,7)，3.14，…}；(2)無理數(shù)集合{eq\r(27)，eq\r(3,－7)，eq\f(π,2)，0.10100…，…}；(3)整數(shù)集合{eq\r(4)，5，0，－eq\r(3,125)，…}；(4)負實數(shù)集合{－3.6，eq\r(3,－7)，－eq\r(3,125)，…}．方法總結：正確理解實數(shù)和有理數(shù)的概念，做到分類不遺漏不重復．探究點二：實數(shù)與數(shù)軸上的點【類型一】求數(shù)軸上的點對應的實數(shù)如圖所示，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是－1和eq\r(,3)，點B關于點A的對稱點為C，求點C所表示的實數(shù)．解析：首先結合數(shù)軸和已知條件可以求出線段AB的長度，然后利用對稱的性質即可求出點C所表示的實數(shù)．解：∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別為－1和eq\r(,3)，∴點B到點A的距離為1＋eq\r(,3).則點C到點A的距離也為1＋eq\r(,3).設點C表示的實數(shù)為x，則點A到點C的距離為－1－x，∴－1－x＝1＋eq\r(,3)，∴x＝－2－eq\r(,3).∴點C所表示的實數(shù)為－2－eq\r(,3).方法總結：本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應關系，兩點之間的距離為兩數(shù)差的絕對值．【類型二】利用數(shù)軸進行估算如圖所示，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是eq\r(3)和5.7，則A，B兩點之間表示整數(shù)的點共有()A．6個B．5個C．4個D．3個解析：∵eq\r(,3)≈1.732，∴eq\r(,3)和5.7之間的整數(shù)有2，3，4，5，∴A，B兩點之間表示整數(shù)的點共有4個．故選C.方法總結：要確定兩點間的整數(shù)點的個數(shù)，也就是需要比較兩個端點與鄰近整點的大小，牢記數(shù)軸上右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大．三、板書設計實數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)的分類\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(整數(shù),分數(shù))),無理數(shù))),實數(shù)與數(shù)軸——實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應))【教學反思】本節(jié)課學習了實數(shù)的有關概念和實數(shù)的分類，把我們所學過的數(shù)在有理數(shù)的基礎上擴充到實數(shù)．在學習中，要求學生結合有理數(shù)理解實數(shù)的有關概念．本節(jié)課要注意的地方有兩個：一是所有的分數(shù)都是有理數(shù)，如eq\f(22,7)；二是形如eq\f(π,2)，eq\f(π,3)等之類的含有π的數(shù)不是分數(shù)，而是無理數(shù)第2課時實數(shù)的性質及運算【教學目標】1．了解實數(shù)范圍內的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義；(重點)2．了解有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內仍適用，能利用化簡對實數(shù)進行簡單的四則運算．(難點)【教學過程】一、情境導入如圖所示，小明家有一正方形廚房ABCD和一正方形臥室CEFG，其中正方形廚房ABCD的面積為10平方米，正方形臥室CEFG的面積為15平方米，小明想知道這兩個正方形的邊長之和BG的長是多少米，你能幫他計算出來嗎？二、合作探究探究點一：實數(shù)的性質分別求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值：(1)eq\r(3,－64)；(2)eq\r(225)；(3)eq\r(11).解析：根據(jù)實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值的定義寫出相應結果．注意(1)(2)中的兩個數(shù)要先化簡為整數(shù)．解：(1)∵eq\r(3,－64)＝－4，∴eq\r(3,－64)的相反數(shù)是4，倒數(shù)是－eq\f(1,4)，絕對值是4；(2)∵eq\r(225)＝15，∴eq\r(225)的相反數(shù)是－15，倒數(shù)是eq\f(1,15)，絕對值是15；(3)eq\r(11)的相反數(shù)是－eq\r(11)，倒數(shù)是eq\f(1,\r(11))，絕對值是eq\r(11).方法總結：在實數(shù)范圍內，相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值的意義和在有理數(shù)范圍內的完全相同．探究點二：實數(shù)的運算【類型一】利用運算法則進行計算計算下列各式的值：(1)2eq\r(3)－5eq\r(5)－(eq\r(3)－5eq\r(5))；(2)|eq\r(3)－eq\r(2)|＋|1－eq\r(2)|＋|2－eq\r(3)|.解析：按照實數(shù)的混合運算順序進行計算．解：(1)2eq\r(3)－5eq\r(5)－(eq\r(3)－5eq\r(5))＝2eq\r(3)－5eq\r(5)－eq\r(3)＋5eq\r(5)＝(2eq\r(3)－eq\r(3))＋(5eq\r(5)－5eq\r(5))＝eq\r(3)；(2)因為eq\r(3)－eq\r(2)＞0，1－eq\r(2)＜0，2－eq\r(3)＞0，所以|eq\r(3)－eq\r(2)|＋|1－eq\r(2)|＋|2－eq\r(3)|＝(eq\r(3)－eq\r(2))－(1－eq\r(2))＋(2－eq\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋2－eq\r(3)＝(eq\r(3)－eq\r(3))＋(eq\r(2)－eq\r(2))＋(2－1)＝1.方法總結：進行實數(shù)的混合運算時，要注意運算順序以及正確運用運算律．【類型二】利用實數(shù)的性質結合數(shù)軸進行化簡實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：eq\r(a2)－|b－a|－eq\r(（b＋c）2).解析：由于eq\r(a2)＝|a|，eq\r(（b＋c）2)＝|b＋c|，所以解題時應先確