專題17.15勾股定理（方程思想）（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，在中，，，，線段的垂直平分線交于點P和點Q，則的長度為（

）A．3 B．4 C． D．2．把一張長方形紙片按如圖方式折疊，使頂點和點重合，折痕為．若，，則的長度是（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，，，將折疊，使點與的中點重合，折痕為，則線段的長為（）A． B． C．4 D．54．如圖所示，長方形紙片中，，，現(xiàn)將其沿對折，使得點與點重合，則長為（

）A． B． C． D．5．在中，，是延長線上一點，，是上一點，連接交于點，若，，則ED的長為（

）A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．106．《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，“折竹抵地“問題源自《九章算術(shù)》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）（

）A．3 B． C． D．7．如圖，的頂點分別在第一，二象限內(nèi)，，則n的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．38．如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為．則的長為（

）A．13 B．12 C．10 D．89．如圖，圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若的周長是30，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．76 B．57 C．38 D．1910．在中，，則的面積為(

)．A． B． C．或 D．或11．如圖，長方形紙片中，，將此長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點H的位置，折痕為，則的面積為（

）A． B． C． D．12．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后垂直地面的竹子高度為尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．二、填空題13．如圖所示，在中，，平分，于E，，，則的長為__________．14．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，，將折疊，使點E與點A重合，折痕為DC，則______．15．如圖，在中，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點P，Q，過P，Q兩點作直線交于點D，則的長是_____．16．如圖，在長方形中，E為上一點，將沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．若，則的長為____________．17．如圖，在中，，點為上一點，連接，，，，則________．18．在中，，，，點是的內(nèi)心，過作于點．（1）______（2）______19．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目的大致意思是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙的距離為2寸，點C和點D距離門檻都是1尺（1尺=10寸），則的長是幾寸？若設(shè)圖中單扇門的寬寸，則可列方程為：_______．20．如圖，在長方形中，，，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則線段的長為________．21．已知，如圖長方形中，，，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為，則的長為___________22．在中，，，，，分別是斜邊和直角邊上的點，把沿著直線折疊，頂點的對應(yīng)點是點，如果點和頂點A重合，則的長為___________．23．有一架秋千，當它靜止時，踏板離地垂直高度，將它往前推送水平距離時，秋千踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，則繩索長為______．24．如圖放置的，，，，都是邊長為2的等邊三角形，邊在軸上，點，，，都在直線上，則點的坐標是_______．25．如圖，小華將升旗的繩子拉倒豎直旗桿的底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，此時繩子末端距離地面，則繩子的總長度為______．三、解答題26．如圖，在中，，，．(1)直接寫出的形狀是___________；(2)若點為線段上一點，連接，且，求的長．27．如圖，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒（）．若點在上，且滿足時，求出此時的值；若點恰好在的角平分線上，求的值．28．在中，，，，，求陰影部分的面積．29．已知：如圖，在中，，，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以的速度移動，設(shè)運動的時間為．(1)求邊的長；(2)當為直角三角形時，求t的值．30．如圖，中，，，．(1)的長為．(2)把沿著直線翻折，使得點C落在邊上E處，求的長．31．如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且，．求證：是直角三角形；求的長．參考答案1．D【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再由勾股定理求出，然后設(shè)，則，在中，由勾股定理，即可求解．解：如圖，連接，∵垂直平分，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：．故選：D【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】由折疊可知，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，求出即為所求．解：由折疊可知，，，∵，∴，設(shè)，∵，∴，在中，∴，解得，∴，故選：D．【點撥】本題考查折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，利用勾股定理得到，計算即可．解：∵D是的中點，，∴，設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，在中，，，解得．故線段的長為．故選D．【點撥】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，根據(jù)勾股定理列出方程，即可求解．4．D【分析】設(shè)，則，利用長方形紙片中，現(xiàn)將其沿對折，使得點C與點A重合，由勾股定理求即可．解：∵長方形紙片中，，，現(xiàn)將其沿對折，使得點C與點A重合，∴，，，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得：．即的長為．故選：D．【點撥】本題考查了圖形的翻折變換，勾股定理的應(yīng)用，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變是解題關(guān)鍵．5．B【分析】延長到，使得，連接．證明，得到，，結(jié)合已知證明，設(shè)，則，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．解：延長到，使得，連接．在和中，，∴，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，．【點撥】本題屬考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．6．C【分析】根據(jù)題意可設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，折斷處離竹梢的長度是尺，結(jié)合勾股定理即可得出折斷處離地面的高度．解：設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，則折斷處離竹梢的長度是尺，由勾股定理可得：，即：，解得：故折斷處離地面的高度是4.2尺．故答案選：C．【點撥】本題主要考查直角三角形勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理．7．C【分析】利用勾股定理求解即可．解：∵的頂點，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故選C．【點撥】本題主要考查了勾股定理，熟知坐標系中兩點距離公式是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】設(shè)為x，則為，在由勾股定理有，即可求得．解：由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)為x，則為，∵四邊形為長方形∴，∴在中由勾股定理有即化簡得解得，故選：A．【點撥】本題考查了折疊問題求折痕或其他邊長，主要可根據(jù)折疊前后兩圖形的全等條件，把某個直角三角形的三邊都用同一未知量表示出來，并根據(jù)勾股定理建立方程，進而可以求解．9．A【分析】設(shè)，則，由勾股定理得到，則，求出，，即可得到答案．解：設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，∴這個風(fēng)車的外圍周長是：．故選：A．【點撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理解三角形確定高，即可得出面積．解：如圖，過點作于點，∵，∴，∴，設(shè)，則,∴,在中，，∴解得：（負值舍去）∴，此時重合，如圖，∴的面積為,故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則中由勾股定理建立方程求解即可解答；解：在長方形中，，根據(jù)翻折可得：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得，∴，故選：C．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則，，在中，，即，故C正確．故選：C．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．13．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，在中求出，再證，在中應(yīng)用勾股定理求解即可．解：是的平分線，，，，，在中在與中在中解得：，故答案為：.【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是角平分線的性質(zhì)和利用勾股定理解決線段相等．14．3【分析】設(shè)，由翻折易得，，在中，根據(jù)勾股定理即可求得的長．解：設(shè)，∵兩直角邊，，∴，由折疊的性質(zhì)得，∴，，，在中，，，，，即，∴，即，故答案為：3．【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟記翻折前后對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．15．【分析】連接，得垂直平分線段，推出，設(shè)，在中，，根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．解：連接．∵，，∴，∵垂直平分線段，∴，設(shè)，則，在中，，，∴，解得，∴，故答案為：．【點撥】本題考查基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．16．5【分析】設(shè)，由，利用勾股定理可得的長，在中，利用勾股定理列式，即可解得，據(jù)此即可求解．解：∵四邊形是長方形，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴，故答案為：5．【點撥】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)和矩形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得，然后設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．解：∵，，，∴，∴，即，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，即．故答案為：【點撥】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．18．

【分析】（1），，，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解；（2）點是的內(nèi)心，連接，，，過點作于點，作于點，即可求解．解：（1）∵，，，∴，即，∴是直角三角形，∴，故答案為：；（2）是直角三角形，點是的內(nèi)心，即角平分線的交點，如圖所示，連接，，，過點作于點，作于點，∴在，中，，∴，∴，，同理可證，，，∴，，，即四邊形是正方形，∵，，，∴設(shè)，則，，∴，∴，∴，，，故答案是：．【點撥】本題主要考查直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握勾股定理的逆定理，內(nèi)心的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．【分析】取的中點，過作于，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．解：取的中點，過作于，如圖2所示：由題意得：，設(shè)寸，則（寸），寸，寸，寸，在中，，即，故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．【分析】根據(jù)將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，可得到，從而得到，在中，利用勾股定理即可解答．解：∵在長方形中，，，∴，∴，∵將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故答案為：【點撥】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的折疊結(jié)合勾股定理解答問題．21．##5厘米【分析】由折疊知，在中用勾股定理即可求解．解：由折疊知，，在中，解得，故答案為：．【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理、此題難度不大，掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．22．【分析】設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)，勾股定理列方程求解即可；解：設(shè)，則，由題意得，由勾股定理得，∴，解得，即的長為；故答案為：【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．解：在中，，設(shè)秋千的繩索長為，則，故，解得：，答：繩索AD的長度是．故答案為：．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．【分析】先求出的長度，再用勾股定理求出的坐標，根據(jù)和的位置關(guān)系即可求出的坐標．解：由題意知，設(shè)，則，解得，，，故答案為：．【點撥】本題主要考查點的坐標的變化規(guī)律，關(guān)鍵是要能根據(jù)圖象計算出的值，然后才能根據(jù)勾股定理算出的坐標，而的坐標和的坐標只有縱坐標差了一個2，加上即可．25．10【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)繩子的長度為，可得，，，在中利用勾股定理可求出．解：過作于，設(shè)繩子的長度為，則，，，在中，，即，解得：，即繩子的長度為．故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．26．(1)直角三角形 (2)【分析】（1）由勾股定理的逆定理進行證明即可；（2）由勾股定理得，設(shè)，列出方程求解即可．解：（1）是直角三角形，理由如下：在中，，，，∵，∴，∴是直角三角形，（2）設(shè)，則．在中，∵，∴，解得，∴的長為．【點撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理．27．(1) (2)【分析】（1）在中，用勾股定理計算出，用t表示出，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可；（2）作的平分線，過P作于D點，由角平分線性質(zhì)可得，利用面積法求出的長，進而求出的長，由此即可得到答案．解：（1）∵在中，，，，∴，由題意得，則∵，∴，∴在中，由勾股定理得，即，解得：；（2）解：如圖所示，作的平分線，過P作于D點，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．28．9【分析】設(shè)，則，由勾股定理得出，