上海市文來(lái)高中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名:班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.基函數(shù)=圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9,3）,則/（4）=.

.1

2.設(shè)函數(shù)〃x）=x2+Lx>°,則〃/（T））=.

2\x<0

二、單空題

3.函數(shù)、=尤+2和y=x?圖象的交點(diǎn)是.

4.若對(duì)數(shù)函數(shù)y=log,“x+（3病-7加+2）在（0,+8）上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則川=.

5.不等式（2尤+小<（x-3?的解集為.

三、填空題

6.函數(shù)y=lg（xT）+~/$=7的定義域?yàn)開(kāi)____-

Vx-4

四、單空題

7.函數(shù)y=x+2>/x的值域?yàn)?/p>

8.函數(shù)y=—的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_________.

x+2

9.函數(shù)y="的單調(diào)遞增區(qū)間是.

10.已知函數(shù)/（%）=1。8“九一3）+2（〃>0且QW1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A的坐標(biāo)

12

滿足關(guān)于X、>的方程7加+孫=4（根>0,〃>0）,則一+一的最小值為.

mn

五、填空題

已知函數(shù),（龍）=3，,；】。，‘直線與函數(shù)的圖象恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則

a的取值范圍是.

六、單空題

12.大西洋鞋魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鞋魚(yú)的游速可以表示為

函數(shù)v=?og3卷，單位是m/s,其中。表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).某條魚(yú)把游速提高

Im/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)耗氧量增大為原來(lái)的倍.

七、單選題

13.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）

A.y=x+l,y=\x+l\

B.y=2x(x>0),y=2x(x<0)

c.y=E，y=(?)2

14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)J=logi（A-+a）（q>0且立1）的圖象

可能是（）

15.函數(shù)〃x）=lgx滿足下列哪個(gè)關(guān)系式（）

A./(^+y)=/(x)+/(y)(x,y>0)B.〃x+y)=〃x)/(y)("y>。)

C.〃孫)=/(x)+〃y)(x,y>。)D.〃◎)=〃彳)/(')(天,>>。)

16.設(shè)函數(shù)〃x）的定義域?yàn)?。，若函?shù)滿足條件：存在［a,句u。，使在［a,可

上的值域是￡，5,則稱(chēng)“X）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)=log?（2,+。為“倍縮函數(shù)”，

則實(shí)數(shù)1的取值范圍是（）

A.,,：］B.C卜1D..W

八、作圖題

17.已知幕函數(shù)〃x）=（蘇-5血+5卜時(shí)2的圖像關(guān)于點(diǎn)（0,0）對(duì)稱(chēng).

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

1—?—3

J-2

I;;;;

-5；-4H()2_良艮;5X

IIII

-：：：：-2

一另

⑴求該事函數(shù)“X)的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g(xH〃x)L在如圖的坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)的圖象;

(提示：列表、描點(diǎn)、連線作圖)

九、問(wèn)答題

18.記函數(shù)〃x)=，2-g的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-x)[(a<l)的定義域

為B.

⑴求A；

⑵若BoA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

十、應(yīng)用題

19.今年8月24日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第一核電站核污染廢水排入

大海,對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究,福島核污水中的放射性元素中有21

種半衰期在10年以上；有8種半衰期在1萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)

濃度c(Bq/L)與時(shí)間年)近似滿足關(guān)系式。=公儲(chǔ)(匕〃為大于0的常數(shù)且若

c=L時(shí)，f=10；若c=-^-時(shí)，f=20.

612

⑴求％和a的值

(2)這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度。衰減為看時(shí)，大約需要多少年？

十一、問(wèn)答題

20.已知函數(shù)〃X)=QX)2_2X2;8

(1)求不等式f(x)20的解集；

(2)求了(尤)的值域；

(3)當(dāng)xeR時(shí)，不等式/(力>7九12恒成立，求機(jī)的取值范圍.

21.已知/（x）=k>g2（5+a）aeR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，解不等式/（x）>l；

⑵若關(guān)于龍的方程/（力+1幅32=0的解集中恰好有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的值；

~?3-1

⑶若對(duì)任意法,函數(shù)/'（X）在區(qū)間上,24上總有意義，且最大值與最小值的差等

于2,求4的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.2

【分析】先代入點(diǎn)坐標(biāo)，得到得到函數(shù)解析式，進(jìn)而求出/（4）.

【詳解】設(shè)/（尤）=/，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)（9,3）,所以9"=3,即32。=3,所以”=即/（勸=￡，

所以“4）=4,=2?

故答案為：2

2.3

4

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的知識(shí)求得正確答案.

442

【詳解】/㈠卜2，/（/（-4））=/（2-）=（2-）^+1=2-+1=^.

故答案為：-y

4

3.（-1,1）,（2,2）

【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式，可得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).

y=x+2x=-lx=2

【詳解】聯(lián)立■,,解得y=i或

y=xy=2

因此，函數(shù)丫=無(wú)+2和y=Y圖象的交點(diǎn)是（TJ）、（2,2）.

故答案為：（-1,1）＞（2,2）,

4.-

3

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與單調(diào)性可得出關(guān)于加的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)小的

值.

m＞0

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=log,"x+（3病-7加+2）為對(duì)數(shù)函數(shù)，貝I］機(jī),

3m2-7m+2=0

角由得加=g或m=2,

又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log”％+（3/-7機(jī)+2）在（0,十動(dòng)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，

則0＜相＜1,故根=g.

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

故答案為：;.

5.（-oo,-4）

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（司=，=也，分析該函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)

?1

（2x+l尸<（了-3戶(hù)可得出關(guān)于尤的不等式，即可得出原不等式的解集.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/（￡）=/=狐，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，

且/'（-彳戶(hù)鄧三二-私二-/⑴，即函數(shù)=?為奇函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在[。,+8）上為增函數(shù)，則該函數(shù)在（-力,0]上也為增函數(shù)，

所以，函數(shù)為R上的增函數(shù)，

由（2x+l）§<（x-3尸可得〃2x+l）<〃x-3）,可得2x+l<x-3,解得x<—4,

因此，不等式（2X+1A<（X_3>的解集為

故答案為：（一吃T）.

6.（2,+oo）

fx-l>0?

【分析】函數(shù)定義域滿足2,八，解得答案.

[x-4>0

【詳解】函數(shù)y=lg（xT）+jKZ的定義域滿足JX2_4>0，解得X>2,即xe（2,"）

故答案為：（2,+oo）

7.[0,+勸

【分析】設(shè)&=r，求出新函數(shù)的定義域即可求出值域.

【詳解】設(shè)?=/,fw[0,+co）,所以/?）=/+2/,

由圖象易知值域?yàn)閇。,+功.

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

故答案為：［0,+8).

8.(-2,-1)

_v?2

【分析】先將函數(shù)y=—三分離常數(shù)，再通過(guò)圖象變換將y='變?yōu)閥=-1+二,則對(duì)稱(chēng)中心

x+2xx+2

相對(duì)應(yīng)的也會(huì)跟著變化，根據(jù)y=2對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),即可得y=二1的對(duì)稱(chēng)中心.

【詳解】由題知>=個(gè)=—-2)+2=T+；

x+2x+2x+2

故函數(shù)y=<-Y是由函數(shù)y=?4向左平移2個(gè)單位變?yōu)閥=2^-，再將圖象向下平移1個(gè)單位

x+2xx+2

2

得至|Jy=T+一

x+2

2

因?yàn)?gt;=二對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),

X

所以y=謂對(duì)稱(chēng)中心為(-2,-1).

故答案為：(-2,-1).

9.(0,+8)(或［0,+8))

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)丫=］￡|4'的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)y=的定義域?yàn)镽,內(nèi)層函數(shù)"=4-/的增區(qū)間為(-8,0),減區(qū)間為

(0,+巧,

外層函數(shù)》=在R上為減函數(shù),

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（。,+8）.

故答案為：（0,+8）（或［0,+8））.

10.4

191

【分析】求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得出2m+〃=2,然后將代數(shù)式±+4與；（2機(jī)+“）相乘，展開(kāi)

mn2

19

后利用基本不等式可求得上+4的最小值.

mn

【詳解】令X—3=1,可得x=4,則y（4）=log“l(fā)+2=2,

所以，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（4,2）,

由已知條件可得4m+2〃=4,即2機(jī)+〃=2,

E121小\4mn、

又因?yàn)榧?、〃都為正?shù),貝1|一+—=—（2根+〃）

mn2

i

m=—1?

即當(dāng)2時(shí)，等號(hào)成立，因此,上+女的最小值為4.

mn

n-1

11.（0,1]

【分析】畫(huà)出/（X）的圖象，數(shù)形結(jié)合即可容易求得參數(shù)范圍.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，畫(huà)出/（%）的圖象如下所示:

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

故答案為：(0,1].

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬綜合基礎(chǔ)題.

12.9

【分析】設(shè)原來(lái)游速為％,則提速后的游速為%+i,原來(lái)的耗氧量的單位數(shù)為a,后來(lái)的

耗氧量的單位數(shù)為。2,根據(jù)題意列方程組即可.

a

V1=2g3ioo

【詳解】所以，

匕+1=Log32

I123100

聯(lián)立解得今=9.

故答案為：9.

13.D

【分析】舉反例得到A不是相同函數(shù)，根據(jù)定義域排除BC,得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：取x=-2,兩個(gè)函數(shù)值分別為-1和1,不是相同函數(shù)；

對(duì)選項(xiàng)B：兩個(gè)函數(shù)定義域不同，不是相同函數(shù)；

對(duì)選項(xiàng)C：丫二必定義域?yàn)榭?，y=(4)2定義域?yàn)閇0,+”),不是相同函數(shù)；

對(duì)選項(xiàng)D：>=學(xué)三定義域?yàn)镽,化簡(jiǎn)為》=%丁=*定義域?yàn)镽,是相同函數(shù).

x2+l

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

故選：D.

14.A

【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)y的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)。的取值范圍，再由函數(shù)

>=現(xiàn)1（》+4）（。>0且亦1）的圖象與x軸的交點(diǎn)，求出。的取值范圍，觀察。的范圍能

2

否一致，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=。丫為增函數(shù)，則上>1,可得

\a）a

對(duì)于函數(shù)y=l°gj（x+a）,令y=log2（x+a）=0,可得”+“=1,

22

可得x=l-ae（O,l）,解得0<a<l,合乎題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)y為減函數(shù)，則0<工<1,可得“>1,

\a）a

對(duì)于函數(shù)產(chǎn)皿［（*+0）,令y=logKx+a）=。，可得》+“=1,

22

可得X=1-。€（0,1）,解得0<”1,不合乎題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=F］為減函數(shù)，則0<工<1,可得。>1,

\a）a

對(duì)于函數(shù)y=l°gj（x+a）,令y=log2（x+a）=°,可得x+a=l,

22

可得％=可得Q<0,不合乎題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y=Q丫為增函數(shù)，則,>1,可得0<”1,

對(duì)于函數(shù)y=logi（x+。），令y=log|（x+a）=0,可得%+a=1,

22

可得x=l-a>l,可得°<0,不合乎題意.

故選：A.

15.C

【分析】舉例判斷ABD,根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷C.

【詳解】令x=y=10,

可得〃x+y)=lg20=l+lg2"3)=lgW0=2,

且〃x)+/(y)=lglO+lglO=2,〃x)〃y)=lglOJglO=l,

故ABD錯(cuò)誤,

因?yàn)?(x)+〃y)=lgx+lgy=lg沖=〃打)，故C正確;

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

故選：c.

16.A

【解析】根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0,求出實(shí)數(shù)f的

取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=1幅（2工+。為“倍縮函數(shù)”，

ab

且滿足存在[。回a。，使/（無(wú)）在口,句上的值域是,

所以f（x）在[。例上是增函數(shù)；

log2(2"+f)=5a

2*=2,

所以:,即<

b

log(26+f)=-2〃+f=25

22

所以a,b是方程2-v_2f+z=0的兩個(gè)根,

設(shè)機(jī)=2^=6，則機(jī)>0，

此時(shí)方程為“-m+1=0即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0;

所以卜一1）一：>°,解得：0</<

[t>0

所以滿足條件f的取值范圍是

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義得出〃司=1幅（2'+。在

Iog2(2"+Ya

Z7A23=25

[a,目上的值域是小叁,所以，,,因此，

b可得a,b是方程

log(26+f)=-2』=2,

22

2X_2己+/=0的兩個(gè)根，令機(jī)=2“可得方程為〃，-相+f=0有兩個(gè)不等的正實(shí)根,所以

f(_n2_4?>0

c即可求r的取值范圍.

[t>0

17.(l)/(x)=-

X

(2)圖象見(jiàn)解析

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合事函數(shù)的定義和性質(zhì)分析求解；

(2)由(1)可得：列表、描點(diǎn)、連線作圖.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)為新函數(shù)，貝!J—5%+5=1,解得機(jī)=1或機(jī)=4,

若m=1,則/(司=廠1=/,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，符合題意；

若〃/=4,則圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不符合題意；

綜上所述：/(x)=1.

(2)由⑴可得：g(x)=|〃x)|=；,則g(x)的定義域?yàn)?T,O)U(O,E),

則g(x)的圖象為:

⑵(-00,-2]

2-——>0

【分析】(1)根據(jù)題意列不等式組》+1一求解即可；

x+1w0

(2)先根據(jù)真數(shù)大于零，求出函數(shù)g(x)的定義域，再由BqA列出不等式，結(jié)合a<1求出。

的范圍即可.

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

2-------->0

【詳解】(1)由題意得，x+1，解得或

x+1。0

即A=^x\x<一1或x21}.

(2)根據(jù)題意(x-Q-1)(2〃-x)>。，

因?yàn)閍<1,所以〃+1>2〃，

貝!J2〃<X<Q+1,

即5=(2。,4+1),

因?yàn)锳,

所以〃+”-1或2心1,

解得〃工一2或〃之；，

又a<1,

所以aV—2或

即實(shí)數(shù)?的取值范圍是(-叱-2]1,11

(2)大約需要53年

【分析】(1)根據(jù)已知條件列式解方程組求出a,k的值;

可得：令。=擊時(shí)，在等式兩邊取對(duì)數(shù)即可求解?

(2)由(1)c=ix

3

—=k-aw

6

【詳解】(1)由題意得:

-=k-a20

112

所以左=工,。=

3

(2)由(1)可得:

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

兩邊取對(duì)數(shù)得個(gè)=1°8工￡=1°8240=3+log25?3+2.32=5.32,

所以f=5.32x10=53.2,

即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度。為上時(shí)，大約需要53年.

20.⑴[2,+8)

⑵[-9,+oo)

(3)(-00,2)

【分析】（1）先由因式分解得（2「4乂2，+2）20,進(jìn)而得2工24;再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

即可得出答案.

（2）先利用換元法將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為y=產(chǎn)-2/-8,f>0；再利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

4

（3）先分離參數(shù)加，得當(dāng)了￡R時(shí)，不等式2。天〉加+2恒成立；再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對(duì)勾

2

函數(shù)的單調(diào)性求最小值即可求解.

【詳解】⑴由題意可得:（2'）2-2X2'-8>0,即（2*—4乂2,+2）20.

因?yàn)?工>0,

貝!J2,2

因?yàn)楹瘮?shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，且展=4，

所以x?2.

故不等式Ax）z0的解集為[2,+?>）

（2）由/（X）=（2，）2-2X2"8,得:函數(shù)定義域?yàn)镽.

令1=2*

貝i]y=/-2t-8,t>0.

因?yàn)槎魏瘮?shù)、=「-2/-8在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1,+⑹上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/=1時(shí)，yrnin=12-2x1-8=-9,當(dāng)f—>400時(shí)，y—+00.

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

故的值域?yàn)閇-9,+8).

(3)由題意得：當(dāng)xeR時(shí)，不等式(2”『-2、2'_8>加2-12恒成立，

即當(dāng)xeR時(shí)，不等式(￡121>加+2恒成立，

2'

4

即當(dāng)xwR時(shí)，不等式T+xAm+Z恒成立.

2X

4

令"2"，y=才+：”0).

因?yàn)楹瘮?shù)y=/+&(/>0)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增

所以當(dāng)，=2時(shí)，)^=4.

所以加+2<4,解得：m<2

故當(dāng)了￡R時(shí)，不等式/(%)>m?2%-12恒成立，根的取值范圍為(i,2).

21.⑴(。/)

(2)(7=——或0

4

⑶[(1-1文2~

【分析】(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求不等式1。8，(工+1)>1=1。822的解集即可；

X

(2)根據(jù)題意得出方程log，d+a)+log2/=0恰有一個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為判斷方程

改2+%—1=0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)討論〃=0和即可求出答案；

11「131

(3)根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得—+Q〉0對(duì)%￡匕24恒成立，且-=-3〃任意爪恒

xt_，，_

成立，分析求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式/(X)>1化為Iog21+j>l=log22,

則工+1>2,即工>1,解得0Vx<1,

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足條件，因此不等式的解集為(0,1).