11.2.1三角形的內(nèi)角(nèijiǎo)第十一章三角形

優(yōu)

翼

課

件

導(dǎo)入新課講授(jiǎngshòu)新課當(dāng)堂(dānɡtánɡ)練習(xí)課堂小結(jié)11.2

與三角形有關(guān)的角第1課時

三角形的內(nèi)角和

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件第一頁，共三十六頁。學(xué)習(xí)(xuéxí)目標(biāo)2.會運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行(jìnxíng)計算.（難點(diǎn)）1.會用平行線的性質(zhì)(xìngzhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.（重點(diǎn)）第二頁，共三十六頁。我的形狀(xíngzhuàn)最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀(xíngzhuàn)最大，那我的內(nèi)角和最大.不對，我有一個鈍角，所以(suǒyǐ)我的內(nèi)角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對自身的特點(diǎn)，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.導(dǎo)入新課情境引入第三頁，共三十六頁。

我們在小學(xué)已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.與三角形的形狀、大小無關(guān)，所以它們的說法(shuōfǎ)都是錯誤的.思考：除了度量以外(yǐwài)，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊(zhédié)還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？第四頁，共三十六頁。銳角三角形測量(cèliáng)480720600600＋480＋720＝1800（學(xué)生運(yùn)用(yùnyòng)學(xué)科工具—量角器測量演示）第五頁，共三十六頁。剪拼ABC21（小組合作，討論剪拼方法(fāngfǎ)。各小組代表板演剪拼過程）第六頁，共三十六頁。視頻：剪拼驗(yàn)證內(nèi)角(nèijiǎo)和定理第七頁，共三十六頁。三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成(gòuchéng)一個平角.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)(fāxiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接(pīnjiē)方法嗎？講授新課三角形的內(nèi)角和定理的證明一探究：在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.第八頁，共三十六頁。驗(yàn)證(yànzhèng)結(jié)論三角形三個內(nèi)角(nèijiǎo)的和等于180°.求證(qiúzhèng)：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點(diǎn)A作l∥BC，∴∠B=∠1.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12第九頁，共三十六頁。第十頁，共三十六頁。證法2：延長BC到D，過點(diǎn)C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線(zhíxiàn)平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12第十一頁，共三十六頁。第十二頁，共三十六頁。CBAEDF證法(zhènɡfǎ)3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同學(xué)(tóngxué)們還有其他的方法嗎？第十三頁，共三十六頁。思考：多種方法證明三角形內(nèi)角(nèijiǎo)和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個(yīɡè)平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE第十四頁，共三十六頁。C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1試一試：同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明(zhèngmíng)步驟？第十五頁，共三十六頁。知識(zhīshi)要點(diǎn)在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做(jiàozuò)輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路(sīlù)總結(jié)為了證明三個角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線第十六頁，共三十六頁。例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)(dùshu).ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用二第十七頁，共三十六頁?！咀兪筋}】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)(dùshu)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.第十八頁，共三十六頁。例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.第十九頁，共三十六頁?；?jīběn)圖形由三角形的內(nèi)角(nèijiǎo)和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角(nèijiǎo)和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.總結(jié)歸納4第二十頁，共三十六頁。例3

在△ABC

中，∠A

的度數(shù)(dùshu)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而(cóngér)有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以(suǒyǐ)

3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數(shù)學(xué)思想.第二十一頁，共三十六頁?！咀兪筋}】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)(dùshu)．解析：根據(jù)已知條件(tiáojiàn)用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE即可求得∠DCE的度數(shù)．比例(bǐlì)關(guān)系可考慮用方程思想求角度.第二十二頁，共三十六頁。解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.第二十三頁，共三十六頁。②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是

_________三角形.

練一練：①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,則∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角(zhíjiǎo)60°50°70°第二十四頁，共三十六頁。北.AD北.CB.東E例4

如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西(piānxī)40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？三角形的內(nèi)角和定理也常常用在實(shí)際(shíjì)問題中.第二十五頁，共三十六頁。解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以(suǒyǐ)∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°

=90°,答：從B島看A,C兩島的視角(shìjiǎo)∠ABC是60°,從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.北.AD北.CB.東E第二十六頁，共三十六頁?！咀兪筋}】如圖，B島在A島的南偏西(piānxī)40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù).解：如圖，由題意(tíyì)得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．DE第二十七頁，共三十六頁。當(dāng)堂(dānɡtánɡ)練習(xí)1.求出下列(xiàliè)各圖中的x值．x=70x=60x=30x=50第二十八頁，共三十六頁。2.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°第二十九頁，共三十六頁。3.如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)(dùshu)．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．第三十頁，共三十六頁。4.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分(píngfēn)∠BAC．求∠ADC的度數(shù).解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分(píngfēn)∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.第三十一頁，共三十六頁。5.如圖，在△ABC中，BP平分(píngfēn)∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分(píngfēn)∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+