1.4全稱量詞與存在量詞課時過關·能力提升基礎鞏固1下列命題不是全稱命題的是()A.任何一個實數(shù)乘以零都等于零B.每一個向量都有大小C.自然數(shù)都是正整數(shù)D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)解析:選項A中“任何一個”、選項B中“每一個”均是全稱量詞,選項C中暗含全稱量詞“所有的”,故A,B,C項都是全稱命題.選項D中“存在”是存在量詞,故D項是特稱命題.答案:D2下列命題中的假命題是()A.?x∈R,2x1>0 B.?x∈N*,(x1)2>0C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2答案:B3命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x01”的否定是()A.?x∈(0,+∞),lnx≠x1B.?x?(0,+∞),lnx=x1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x01D.?x0?(0,+∞),lnx0=x01答案:A4命題“所有實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為()A.所有實數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的實數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個實數(shù)的平方是正數(shù)D.至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)解析:由命題“所有實數(shù)的平方都是正數(shù)”為全稱命題,則其否定為特稱命題.答案:D5下列全稱命題中,假命題的個數(shù)是()①2x+1是整數(shù)(x∈R);②對所有的x∈R,x>3;③對任意一個x∈Z,2x2+1為奇數(shù).A.0 B.1 C.2 D.3解析:對于①,當x=14時,2x+1=32不是整數(shù);對于②,當x=0時,0<3;對于③,當x∈Z時,2x2是偶數(shù),進而2x2+1是奇數(shù),故選答案:C6命題“?x0∈R,x02x0+1=0”的否定是.答案:?x∈R,x2x+1≠07命題“?x0∈(1,2),滿足不等式x02+mx0+4≥0”是假命題,則m的取值范圍為.答案:(∞,5]8下列語句是真命題的是.(填序號)

①所有的實數(shù)x都能使x23x+6>0成立;②存在一個實數(shù)x0,使不等式x023x0+6<0成立;③存在一個實數(shù)x0,使x023x0+答案:①9對任意實數(shù)x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.分析2x>m(x2+1)恒成立也就是對?x∈R,mx22x+m<0恒成立,考慮m是否為零.若為零,則原式化為2x<0,顯然不恒成立;若m≠0,則m<0,且Δ<0.解:不等式2x>m(x2+1)對任意x都成立,即不等式mx22x+m<0恒成立.(1)當m=0時,不等式化為2x<0,顯然不恒成立,不合題意.(2)當m≠0時,要使mx22x+m<0恒成立,則m<0,(-綜上可知,所求實數(shù)m的取值范圍為(∞,1).10已知命題p:“?x∈[1,2],x2a≥0”,命題q:“?x0∈R,x02+2ax0+2a=0”,若命題“p∧q”是真命題,求實數(shù)a的取值范圍解:由p∧q是真命題,知p為真命題,q也為真命題.若p為真命題,則a≤x2對于x∈[1,2]恒成立.所以a≤1.若q為真命題,則關于x的方程x2+2ax+2a=0有實根,所以Δ=4a24(2a)≥0,即a≥1或a≤2.綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤2或a=1}.能力提升1下列命題:①至少有一個x,使x2+2x+1=0;②對任意的x,都有x2+2x+1=0成立;③對任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;④存在x,使x2+2x+1=0成立.其中全稱命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:①④中有存在量詞“至少有一個”和“存在”,所以①④為特稱命題;而②③中都有全稱量詞“任意的”,故為全稱命題.答案:B2已知命題p:?x1,x2∈R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,則p是()A.?x1,x2∈R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0B.?x1,x2∈R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C.?x1,x2∈R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0D.?x1,x2∈R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0解析:由命題p為全稱命題,則其否定p應是特稱命題,而(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0的否定為(f(x2)f(x1))(x2x1)<0,故選C.答案:C3已知命題p:?x∈R,使sinx=52;命題q:?x∈R,都有x2+x+1>0.給出下列結論:①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧(q)”是假命題;③命題“(p)∨q”是真命題;④命題“(p)∨(q)”是假命題.其中正確的是()A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③解析:∵對?x,sinx≤1,∴p為假命題.∵二次函數(shù)f(x)=x2+x+1=x+1∴q為真命題.∵p假q真,∴p真,q假.∴p∧(q)為假,(p)∨q為真,故選A.答案:A4已知下列四個命題:p1:?x0∈(0,+∞),12p2:?x0∈(0,1),log12x0>log1p3:?x∈(0,+∞),12x>logp4:?x∈0,13,1其中的真命題是()A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4解析:當x∈(0,+∞)時,12x>13x取x0=12,則log12x0=1,log13x0=log32<1,取x0=18,則0<12x0<1,log12x0=log1218=3,即12當x∈0,13時,12x<1,而log13答案:D5關于平面向量a,b,c,有下列三個命題:①若a·b=a·c,則b=c;②若a=(1,k),b=(2,6),a∥b,則k=3;③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|ab|,則a與a+b的夾角為60°.其中真命題的序號為.

解析:①中∵a·b=a·c,∴a·(bc)=0,∴a⊥(bc),而b與c不一定相等,故錯誤;②中,∵a∥b,∴2k=6,∴k=3,故正確;③中根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,可知a與a+b的夾角為30°,故為假命題.答案:②6當命題(1)?x∈R,sinx+cosx>m,(2)?x0∈R,sinx0+cosx0>m分別為真命題時,m的取值范圍分別是(1),(2).

答案:(1)(∞,2)(2)(∞,2)7若對?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.分析由題意可知,對?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.先考慮a=0的情況,再考慮a≠0的情況,可結合二次函數(shù)的圖象解:決此類問題.解:由題意可得,?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.(1)當a=0時,ax2+2x+1=2x+1>0,顯然不恒成立,不合題意.(2)當a≠0時,要使ax2+2x+1>0恒成立,則a>0,4綜上可知,所求實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).★8函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x,y均有f(x+y)f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)當f(x)+2<logax,x∈0,12恒成立時,求解:(1)由f(x+y)f(y)=(x+2y+1)·x對任意x,y都成立,