專題18全等與相似模型之十字模型

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質(zhì)和變換。在初中幾

何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角

及一組全等的三角形。

1）如圖1,在正方形ABC。中，若E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，AE1BF；貝I尸。

2）如圖2,在正方形ABC。中，若E、尸、G分別是8C、CD、AB上的點(diǎn)，AEXGF；貝I]AE=GF。

3）如圖3,在正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點(diǎn)，EH1GF；貝！IHE=GF.

模型巧記：正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等,相等不一定垂直.

例L（2223下?廣東?課時(shí)練習(xí)）如圖，將一邊長為12的正方形紙片A3C。的頂點(diǎn)A折疊至。C邊上的點(diǎn)

E,使。E=5,若折痕為PQ,則尸。的長為（）

DE

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【分析】過點(diǎn)尸作PM08C于點(diǎn)M,由折疊得到P3L4E,從而得到IMEZ）=0APQ,可得△PQMI3A4OE,從而

得到尸。=AE,再由勾股定理，即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)P作PMI3BC于點(diǎn)由折疊得到PQ0AE,EHD4E電4尸。=90。，

在正方形ABCZ)中，AD3\BC,回。=90。，CD3\BC,

SEDA￡+0A￡￡)=9OO,^3\AED=^\APQ,^EAPQ=^PQM,^\PQM=SAPQ=SAED,

SPMSBC,^PM=AD,fflD=EPM2=90°,^PQMSi^ADE,^PQ=AE,

在RfAADE中，DE=5,AD=12,由勾股定理得：AE=6+12?=13，SPQ=13.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，得到△PQM0AAOE是解題

的關(guān)鍵.

例2.（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形45CD中，AB=12,點(diǎn)E,E分別在邊3C,

8上，AE與BF相交于點(diǎn)G,若BE=CF=5,則3G的長為.

BEC

【答案】詈

13

【分析】根據(jù)題意證明AABE2△BCF（SAS）,一EBG^tFBC,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，，ZABE=NC=90。，AB=BC,

BE=CF,：.A4BE^ABCF（SAS）,:.ZBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABG^90°,:.ZBAE+ZABG=90°,:.NBGE=90°,:.ZBGE=ZC,

又?ZEBG=NFBC,EBG^FBC,些=些

BCBF

BC=AB=n,CF=BE=5,...BF=^BC2+CF2=V122+52=13，

BG5.60痂生安出60

五F/Gy.故答案為：-

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023安徽省蕪湖市九年級期中）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)、E、F、H分別是A?、BC、CD的中點(diǎn),

CE、。廠交于G,連接AG、HG.下列結(jié)論：①CELO尸；@AG=DG；③NCHG=NDAG；④

2HG=AD.正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用正方形的性質(zhì)找條件證明MCE空CD9（SAS）,則NECB=NCDF,由NBCE+NE8=90。得

到/ECD+/CDF=90。，貝UNCGO=90。，即可判斷①；連接A”,同理可得：AADH^ADCF（SAS）,

AHLDF,在Rt^CGD中，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到HG=^CD=^AD,即可判

斷④；可得AOGH是等腰三角形，由等腰三角形三線合一得到DK=GK,A”垂直平分OG,AG=AD；

假設(shè)AG=DG,推出矛盾，則AGWOG,即可判斷②；證明△ADG是等腰三角形，由三線合一可知

ZDAG=2ZDAH,由△ADH四△OCR得到NZMH=NCD產(chǎn)，由=得到NHE>G=NHGD,由三角形

外角的性質(zhì)得到NCHG=2NCDF=2NDAH,即可判斷③.

【詳解】解：回四邊形A3CD是正方形，S\AB=BC=CD=AD,NB=/BCD=ZADC=90°,

團(tuán)點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、C。的中點(diǎn)，SBE=CF,

BE=CF

在，BCE與CDR中，,NB=NDCF,0..BCE^.CDF(SAS),^\ZECB=ZCDF,

BC=CD

團(tuán)ZBCE+NECD=90。，0ZECD+Z.CDF=90°,

SIZCGD=90°,0CE±r)F；故①正確；連接AH,如圖所示:

同理可得：AADH絲△DCF（SAS）,AH±DF,在Rt^CGD中，”是C。邊的中點(diǎn)，

SHG=^CD=^AD,即2〃G=AD；故④正確；

BHG=Hr>=|cD,團(tuán)aOGH是等腰三角形，回￡>K=GK,A”垂直平分OG,回AG=AT>；

若AG=DG,則△AZ）G是等邊三角形，則NADG=60。，ZCDF=ZADC-ZADG=30°,

貝/，^CF=1BC=1CD,與小>CD矛盾，

EZCDF^30°,回NADGH60°,回AGWDG,故②錯(cuò)誤；

SAG=AD,回△ADG是等腰三角形，

^\AH±DF,^\ZDAG=2ZDAH,包△ADHW/XDCF,QZDAH=ZCDF,

SGH=DH,國NHDG=NHGD,EZCHG=ZHDG+ZHGD=2ZCDF=2Z.DAH,

!SNCHG=NDAG；故③正確；正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4.（廣西2022-2023學(xué)年九年級月考）（1）感知：如圖①，在正方形ABC。中，E為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)

E不與點(diǎn)A8重合），連接。E,過點(diǎn)A作AT,DE,交8c于點(diǎn)R證明：DE=AF.

（2）探究：如圖②，在正方形48CD中，E,尸分別為邊AB,C。上的點(diǎn)（點(diǎn)E,F不與正方形的頂點(diǎn)重

合），連接EF,作EF的垂線分別交邊A。，8C于點(diǎn)G,H,垂足為O.若E為中點(diǎn)，DF=1,AB=4,

求GW的長.（3）應(yīng)用：如圖③，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在8C,CD上，BE=CF,BF,AE

相交于點(diǎn)G.若筋=3,圖中陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為2：3,則ABG的面積為,

ABG的周長為.

圖①圖②圖③

3

【答案】（1）見解析；（2）GH=Ji7；（3）5，V15+3

【分析】感知：由正方形的性質(zhì)得出AD=A8,I3D4E=0ABF=9O。,證得0ADE=EIBAF,由AS4證得EIZMEaMBF

CASA）,即可得出結(jié)論；

探究：分別過點(diǎn)A、。作〃族，分別交8C、AB于點(diǎn)N、M,由正方形的性質(zhì)得出AB〃CD,

AB=CD,EIZM2=EB=90。，推出四邊形Z）M￡F是平行四邊形，ME=DF=1,DM=EF,證出ZW0GH,同

理，四邊形AGEW是平行四邊形，GH=AN,AN3\DM,證得EA￡>M=0BAN,由AS4證得她DMEBBAN,得

出。M=AN,推出DW=G"，由E為AB中點(diǎn)，得出A￡=gA3=2,則AM=AE-腔=1,由勾股定理得

出DM=JAL）?+AA/2,即可得出結(jié)果;

應(yīng)用：S正方形ABCD=9,由陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,得出陰影部分的面積為6,

3

空白部分的面積為3,由S4S證得胡砥回團(tuán)3CF,得出團(tuán)3￡4=蛇尸。，S^ABG=S四邊形CEGF,PIOSAABG=-,

13

團(tuán)尸3C+團(tuán)3E4=90°,貝崛3GE=90°,[MGB=90°,設(shè)AG=mBG=b,則力=5,2ab=6,由勾股定理得出

〃2+"=A爐=32,a2+2ab+b2=15,即（〃+。）2=15,得出4+6=71?,即可得出結(jié)果.

【詳解】證明：回四邊形A5CD是正方形,

圖②

^AD=AB,ZDAE=ZABF=90。,

SAFLDE,0ZZMF+ZBAF=9O°,ZZMF+ZA￡>E=90°,^/ADF.=/BAF,

'/ADE=ZBAF

在../ME和△ABE中，■AD=AB,Q^DAESZ\ABF(ASA),SDE=AF.

ZDAE=ZABF

探究：解：分別過點(diǎn)A、D作AN〃GH,DM//EF,分別交BC、AB于點(diǎn)、N、M,如圖②所示:

回四邊形ABC。是正方形，SAB//CD,AB=CD,ZDAB=ZB=90°,

國四邊形是平行四邊形，^ME=DF=i,DM=EF,

SAN//GH,GH1EF,SiDM±GH,

同理，四邊形AG//N是平行四邊形，^GH=AN,

SDM//EF,GHLEF,SANLDM,ZDAN+ZADM=90°,

0ZDAN+ZBAN=90°,SiZADM=ZBAN,

ZADM=NBAN

在AADM和BAN中，，A￡)=A3,

ZDAM=NABN=90°

S^ADMS：BAN(ASA),SDM^AN,SEF=GH=DM=AN,

EIE為AB中點(diǎn)，0AE=|AB=2,AM=AE-ME=2-1=1,

^DM=ylAlf+AM2=742+12=717-0GH=歷.

應(yīng)用：解：區(qū)43=3,回S正方/ABCD=3x3=9,

團(tuán)陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為2：3,

9

團(tuán)陰影部分的面積為：|x9=6,回空白部分的面積為：9-6=3,

iBE=CF

在EIA8E和EIBCF中，ABE1BCF90?,^ABEWCF(SAS),

}AB=BC

=^1BFC9S^ABG^S四邊形CEGF,

13

^ABG=-X3=-,回尸5C+回BEA=90°,mBGE=90°,回MG5=90°,

22

設(shè)AG=mBG=b,則回2〃Z?=6,

^a2^2=AB2=32,^\a2+2ab+b2=32+6=15,即(a+b)2=15,而〃+/?>(),

3

^\a+b=y/15,即BG+AG=A/I?,aSABG的周長為厲+3,故答案為：V15+3.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角

形面積與正方形面積的計(jì)算等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

模型2.矩形的十字架模型(相似模型)

矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。

如圖1,在矩形ABCD中，若E是A8上的點(diǎn)，MDELAC,則%=空

ACAB

則”=生

ACAB

如圖3,在矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD,5。上的點(diǎn)，且EF_LMN,貝I］里=生

MNAB

例1.（2223下?廣西九年級期中）如圖，把邊長為42=2五，3C=4且4=45。的平行四邊形A5CD對

折，使點(diǎn)B和。重合，求折痕的長.

【答案】孚

DFBF

【分析】先證明△雙msAZMG得到菽p法’求出BE和BF,然后得到BD,DG和MG的長度,再

利用全等三角形的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，連接與交于點(diǎn)G,并補(bǔ)全矩形為3紅史.

^\ZMDF=ZDFB=90°,團(tuán)歹=90。，

^MN±BD,0ZDMG+ZMDG=90°,國/BDF=/DMG,

DFBF

X0ZBFD=ZDGM=90°,相BDFS/\DMG,0——=——，

MGDG

AB=2y/2&ZABF=45°f^BE=DF=2,

又回BC=4,回BF=BC+CF=BC+DF=6,

0BD=y/BF2+DF2=V62+22=2^/10.BDG=^BD=y/10,

SMG=-F'D<^-=2x^=—,SBG=DG,MN1BD,ZMDB=ZDBF,

BF63

MDMG%ABNG,SMG=NG,@MN=2MG=^^~.

3

【點(diǎn)睛】此題是折疊問題，考查折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，運(yùn)用所學(xué)的性質(zhì)定理得到ABDFs^DMG,從而求出所需邊的長度.

例2.(2223下?河北?九年級期中)如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為AD、BC、AB.CD

邊上的點(diǎn)，當(dāng)EF_LG"時(shí)，證明：EF:GH=AB:BC.

【答案】見解析

［分析］過點(diǎn)尸作，AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GN±CD于點(diǎn)N,先根據(jù)余角的性質(zhì)證明ZMEF=Z.GHN,

再證明AFMEs&GNH即可證明結(jié)論成立.

【詳解】證明：如解圖，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)過點(diǎn)G作GNLCD于點(diǎn)N,

SFM±AD,且四邊形ABCD為矩形，

SFM//CD,回/l=NGfflV,0ZEfM+ZMEF=9O°.

又回反_LGH,0ZEFM+Z1=9O°,回/MEF=NGHN.

又國NFME=NGNH=90。,國AFMEs^GNH,

@EF:GH=MF:GN=AB:BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

例3.(22-23?貴港?中考真題)已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2?,P是8C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

矩形ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，折痕為所.

(1)如圖L當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，則線段￡8=,EF=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8,C均不重合時(shí)，取E尸的中點(diǎn)。，連接并延長P。與GV的延長線交于點(diǎn)M,

連接P尸，ME,MA.

①求證：四邊形是平行四邊形：②當(dāng)tanNMAD=；時(shí)，求四邊形MEP尸的面積.

【答案】（1）2,4；（2）①見解析；②今叵

【分析】（1）過點(diǎn)F作FHI3AB,由翻折的性質(zhì)可知：AE=CE,0FEA=0FEC,EIG=EIA=90。根據(jù)平行線的性

質(zhì)和等量代換可得回CFE=I3FEC,由等角對等邊可得：CF=CE,設(shè)AE=CE=x,BE=6-X,在RtEIBCE中，由

勾股定理可得關(guān)于X的方程，解方程求得X的值，進(jìn)而可得BE、DF的長，由矩形的判定可得四邊形DAHF

是矩形，進(jìn)而可求FH、EH的長，最后由勾股定理可得EF的長；

（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得MG〃PE,進(jìn)而可得=根據(jù)已知條件可得0尸=0E,從而易證

AFOM”AEOP,進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定即可求證結(jié)論；

②連接上4與交于點(diǎn)貝IJEF_LF4且=又由①知：PO=MO,MA//EF,則

繼而易證EIMAD=PAB,接根據(jù)三角函數(shù)求得PB,設(shè)=則3E=6-x,根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方

程，解方程可得PE的長，繼而代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】解：（1）EB=2,EF=4；過點(diǎn)F作FHI3AB,

團(tuán)折疊后點(diǎn)A、P、C重合EIAE=CE,0FEA=EFEC,

0CD0AB00CFE=0FEA,00CFE=0FEC,0CF=CE=AE,

設(shè)AE=CE=CF=x,BE=AB-AE=6-x,

在RtElBCE中，由勾股定理可得3C2+BE2=庭2,即（2百『十四一x）?=Y

解得：x=4,即AE=CE=CF=4I3BE=2、DF=2,

aSD=EIA=l3FHA=90°l3四邊形DAHF是矩形，

0FH=AD=2超、EH=AB-BE-AH=6-2-2=2

22=?2國+2?=4

在RtHEFH中，由勾股定理可得:EF=yjFH+EH

GG

圖2

(2)①證明：如圖2,國在矩形A3CD中，CDHAB,

由折疊(軸對稱)性質(zhì)，得：MG//PE,團(tuán)NMFO=NPEO,

團(tuán)點(diǎn)。是E尸的中點(diǎn)，^OF=OE,XZFOM=ZEOP,aAFOMm公EOP,

SMF=PE,13四邊形ME尸尸是平行四邊形:

②如圖2,連接R4與所交于點(diǎn)則砂_LF4且尸H=AH,

又由①知：PO=MO,0MAHEF,則M4_LP4,

5LDAYBA,SZMAD^ZPAB,0tanZMAD=tanZPAB=-

3

PR1

在RtPAB,tanNPAB=----=—,而AB=6,團(tuán)PB=2,

AB3

又在MPEB中，若設(shè)PE=x,則BE=6-x,

由勾股定理得：Y-（6-尤）2=22,貝ljPE=x=g,而PGLMG且尸G=AD=2jL

又四邊形MEP廠是平行四邊形，回四邊形MEPR的面積為PEXPG=WX2^=K@

33

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與翻折的問題，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判

定及其性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、正切的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識并且學(xué)會(huì)作輔助線.

例4.(2022年四川樂山中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷)解答

(1)如圖1,矩形ABCZ)中，￡F0GH,EP分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,GH分別交AZ),BC于點(diǎn)G,H.求證:

FFADFF11BN

—=^；(2)如圖2,在滿足(1)的條件下，點(diǎn)M,N分別在邊BC,CD上，若為=弓，求鑒的值;

CrHADCJM1JAM

⑶如圖3四邊形ABC。中，&48C=90。，AB=A￡）=10,AM3\DN,點(diǎn)M,N分別在邊BC,AB上，，求——

AM

的值.

114

【答案】⑴見解析（2）記⑶g

【分析】（1）過點(diǎn)A作APEIER交CD于P,過點(diǎn)8作BQEIG//,交4。于。，如圖1,易證AP=ERGH

=BQ,^PDA^QAB,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；

（2）只需運(yùn)用（1）中的結(jié)論，就可得到F黑F=黑AD=黑BN，就可解決問題；

GHABAM

（3）過點(diǎn)。作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交8C的延長線于S,如圖3,易證四

邊形ABSR是矩形，由（1）中的結(jié)論可得型=空.設(shè)SC=x,DS=y,則AR=BS=5+x,RD^10-y,

AMAB

在RfZkCSD中根據(jù)勾股定理可得/+/=25①，在R/AARO中根據(jù)勾股定理可得（5+x）2+（10-y）2=10O②,

解①②就可求出x,即可得到AR,問題得以解決.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AP回EF交CD于P,過點(diǎn)8作33GH,交AZ）于°,如圖1,

。,尸尸F(xiàn)NC

國四邊形ABC。是矩形，EIAB0DC,AD0BC.

國四邊形AEPP、四邊形BHG。都是平行四邊形，SAP^EF,GH=BQ.

又EIG砸EF,SAP^BQ,EEQAT+EAQT=90°.

國四邊形ABC。是矩形，EBD4B=I3￡)=9O°,盟￡)4尸+盟羽4=90°,

APADEFAD

S3\AQT=SDPA.S3\PDA^\QAB,0—=—,0—=—；

(2)如圖2,SEFSGH,AMSBN,

（3）過點(diǎn)。作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長線于S,如圖3,

則四邊形ABSR是平行四邊形.aBABC=90。，回口ABSR是矩形，

0E7?=0S=9O°,RS=AB=W,AR=BS.

DNAR

SAMSDN,回由（1）中的結(jié)論可得——=—.

AMAB

設(shè)SC=x,DS=y,IJII|AR=BS=5+x,RD=W-y,團(tuán)在HfACS。中，/+9=25①,

在R/AARD中，（5+x）2+（lO-y）2=:Loo②，由②-①得x=2y-5③，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元二次方程組等

知識，運(yùn)用（1）中的結(jié)論是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵.

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如圖1,已知等邊AABC,8O=EC（或CD=AE）,則AO=8E,且和BE夾角為60。，△ABC。

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如圖2,在△ABC中，AB=BC,AB1BC,①。為8c中點(diǎn)，?BFLAD,③AF：FC=2：1,?ZBDA=ZCDF,

@ZAFB=ZCFD,?ZAEC=135°,⑦AE=?EC,以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。

3）直角三角形中的十字模型：

如圖3,在三角形A8C中，BC=kAB,AB±BC,。為中點(diǎn)，BF±AD,則AF：FC=2：Jc,（相似）

例1.（22-23.成都市.八年級期中）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是8C、AC上的點(diǎn)，且3O=CE,AD

與BE相交于點(diǎn)P.下列結(jié)論：?AE=CD-,?AP=BE；?ZPAE=ZABE；@ZAPB=120°,其中正確的

結(jié)論是（填序號）

【解答】解：①因?yàn)锳C=BC,BD=CE,所以AE=CD故①正確，

②:△ABC是等邊三角形，ZABD=ZC=60a,AB=BC.

rAB=BC

在△A3。與aBCE中，＜NABD=/C,:AABD冬4BCE（SAS'）；：.AD=BE.故②錯(cuò)誤；

BD=CE

③由②知△A3。@△BCE,所以NDAB=/CBE,則/故③正確；

④：由②知△A3。絲△BCE.:.NBAD=/EBC,：.ZBAD+ZABP=ZABD=60°.

「NAPE是△ABP的外角，ZAPE=ABAD+AABP=6G°,：.ZAPB=120°,故④正確.

例2.（22?23下?淄博?一模）如圖，等邊一ABC,點(diǎn)E,E分別在AC,8c邊上，AE=CF,連接AF,BE,

相交于點(diǎn)P.⑴求/的度數(shù)；（2）求證：BPBE^BFBC.

【答案】⑴/曲步=60。；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BAE四△ACF,利用三角形的外角性質(zhì)即可得解;

（2）證明△BPPsagcE,利用對應(yīng)邊對應(yīng)成比例列式即可.

【詳解】（1）解：0ABC是等邊三角形，0AB=AC,ZfiL4E=ZACF=60°,

X^AE=CF,回△班E四△ACF(SAS),EZABE=ZC4F,

團(tuán)ZBPF=ZABP+ZBAP=ZCAF+Z.BAP=ABAC=60°；

(2)證明：EZBPF=60°,ZBCE=60°,0NBPF=NBCE.

0/PBF=/CBEaABPFSABCE,0—,SBP-BEBF-BC.

BCBE

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條

件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

例3.（2223下?無錫?階段練習(xí)）如圖，在邊長為6的等邊「ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD

與BE相交于點(diǎn)P,若BD=CE=2,則°；則_AB尸的周長為

42+18近

【答案】120

7

【分析】根據(jù)&4S證AB哈BCE,得出N"3=120。，在CB上取一點(diǎn)尸使CF=CE=2,則

BF=BC-CF=4,證jlPBs加石，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)=則力尸=2X,作8”工AD延長線于H,利

用勾股定理列方程求解即可得出3P和AP的長.

【詳解】解：ABC是等邊三角形，.[AB=BC,ZABD=ZC=60°,

AB=BC

在AABD和-BCE中，＜/ABD=NC；qABg&BCE(SAS),ABAD=ZCBE,

BD=CE

.■.ZAPE=ZABP+ZBAD=ZABP+Z.CBE=ZABD=60°,Z.ZAPB=120°,

在CB上取一點(diǎn)/使CF=CE=2,則3尸=BC—CF=4,

ZC=60°,.NCEF是等邊三角形，:.NBFE=120。,BPZAPB=ZBFE,APB^..BFE,

APBF4

—=—===2,設(shè)=則AP=2x,作工延長線于H,

BPEF2

ZBPD^ZAPE=60°,ZPBH=30°,:.PH=-,BH=—x,..AH=AP+PH=2x+-=-x,

2222

在中，AH2+BH2=AB2,即6)2+(1支)2=62,解得片券或-券(舍去)，

1

AP=^H,BP=也,.1—ABP的周長為AB+AP+BP=6+^^+處=6+^^=^^^,

77—7777

故答案為：120,42+18近.

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等

知識，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

例4.(22-23下?六安?一模)如圖1,等邊."C中，點(diǎn)。、E分別在BC、AC上，S.BD^CE,連接AT＞、BE

交于點(diǎn)尸.⑴求證：ZAFE=60；(2)如圖2,連接C/,若BD=；BC,判斷C尸與AD的位置關(guān)系并說明理

由；⑶如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G在AE上，G歹的延長線交于”,當(dāng)AG=WG=5時(shí)，請直接寫出

線段的長.

圖1圖2圖3

【答案】⑴詳見解析(2)C尸，AD,詳見解析(3)2

【分析】(1)因?yàn)椋篈BC為等邊三角形，所以ZABD=N8CE=60,AB=AC=3C,又即=CE,即可判定△AB。

0BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/54D=NCBE,利用三角形外角性質(zhì)解答即可；

(2)延長8E至使=連接AM、CM,取萬M的中點(diǎn)N,連接CN,可證得△"7W是等邊三

角形，得出NEW=60，■=91=百欣，再證得4抽/人4皿(&45),推出/47%/=/。4￡,CM//AF,

證得AAEF回..CEM,推出引0=2CM,結(jié)合點(diǎn)N是根的中點(diǎn)，得出CM=MN=FN,：、CMN是等邊三

角形，進(jìn)而可得NMCN=NM/C=60,CN=MN,推出NAFC=NAFM+NNFC=60+30=90,即

b_LAD；(3)延長BE至使=連接40、。0,取4￡)的中點(diǎn)乂連接6改，可得7BDF0ABCM,

-=—=推出AD=7O7"再由GK是,ACD的中位線，可得GK//BC,GK=-CD=-x—=—,

CMBC32233

FK=DK-DF=±DF,再由_DFH0^KFG,可得-=—=進(jìn)而可得BH=2,再證得ZBFH=ZCBE,

2GKFK5

得出FH=BH=2.

【詳解】(1)ABC為等邊三角形，:.AB=AC=BC,ZABD=ZBCE=60,

AB=BC

在△ABD和BCE中，＜ZABD=ZBCE,,-^ABD0BCE(SAS),ZBAD=Z.CBE,

BD=CE

ZADC=NCBE+NBFD=NBAD+NB,：.ZBFD=ZB=ZAFE=60；

(2)CFLAD,理由如下：

如圖，延長BE至M,使=連接40、CM,取我欣的中點(diǎn)N,連接CN,

由(1)得：ZAFE=6Q,4^7是等邊三角形，ZFAM=：60,AF=AM=FM,

ABAC=ZFAM=ZAMF=60,/.ABAC-ZCAD=ZFAM-ZCAD,BPZBAF=ZCAM,

在△ABB和少。/中，AB=AC,/BAF=/CAM,AFAM,

:.^ABFSI.ACM(SAS),ZAFB=ZAMC=1SQ-60=120,

ACME=ZAMC-ZAMF=120-60=60,：.ZAFM=ZCME,

^CM//AF:^AEF^CEM,,

AAFAE

BD=-BC,BD=CE,BC=AC,:.CE=-AC,即烏」，

33AE2

即AF=2CM,:.FM=2CM,

AF2

點(diǎn)N是同伊的中點(diǎn)，:.FM=2FN=2MN,：.CM=MN=FN,

又ZCMN=60，:.一CMN是等邊三角形，：.NMCN=NMNC=60,CN=MN,

:.CN=FN,:.NNFC=NNCF=30,ZFCM=ZNCF+ZMCN=30+60=90,

ZAFC=ZAFM+ZNFC=60+30=90,/.CFLAD-,

(3)如圖，延長BE至M,使=連接AM、CM,取AO的中點(diǎn)K,連接GK,

由⑵知：AF^FM^2CM,AABFHAACM,CMHAF,ZAFC=9Q°,

BDF^BCM,—=—=:.CM=3DF,:.AF=6DF,:.AD=7DF,

tCMBC3

AG=FG=5,:.ZCAF^ZAFG,,ZCAF+ZACF=90,ZAFG+ZCFG=90,

:.ZACF=NCFG,：.CG=FG=5=AG,二點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，AC=10=8C,

點(diǎn)K是AD的中點(diǎn)，；.GK是，ACD的中位線，；.GK〃臺C,G^=|cD=1x^=,

175

AK=DK=-AD=-DF,FK=DK-DF=-DF,

222

GK/IBC,."FHSl.KFG,—=—=H=-GK=-x—=-,

GKFK5D5533

BD=-BC=—,:.BH=BD-DH=^--=2,

3333

ZBFH=ZEFG=ZAFE-ZAFG=60-ZAFG=60-ZCAF=ZBAD=ZCBE,:.FH=BH=Z

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，直角三角形性質(zhì)，

三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線

構(gòu)造全等三角形和相似三角形.

例5.（22?23上?深圳,期中）如圖，在MABC中，ZABC=90°,BA=3C=3,點(diǎn)。為邊上的中點(diǎn),

連接AD,過點(diǎn)8作BELA。于點(diǎn)E,延長BE交AC于點(diǎn)八則3尸的長為.

B

D

【答案】75

【分析】以BA3c為鄰邊作正方形，延長BF交CG為H,先求出N￡BD=4W,再證明出

RtABD^RtBCH,得出即H為CG的中點(diǎn)，再證明，"8“CFH,利用相似比及勾股定理即可求解.

【詳解】解：以BA,BC為鄰邊作正方形，延長川交CG為如下圖：

NBDE=NADB,NBED=NABD=90°,：._BE4ABD,；./EBD=NBAD,

在如ABD和M3CH中，NEBD=NBAD,:.ZHBC=ZDAB,

ZABD=NBCH,AB=BC,.-.RtABD^RtBCH,:.BD=CH,即//為CG的中點(diǎn),

AB//CH,ZABF=ZCHF,NBAF=ZHCF,AFB^CFH,

HFCH_1

BF=-BH,

BF—AB~23

BH=yjBC2+CH2=^,BF=-BH=-x^-=^,故答案為：卮

2332

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)、三角形全等、正方形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利

用相似三角形的相似比來求解.

例6.（2223下?滄州?二模）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3C,點(diǎn)。是線段48上的一點(diǎn)，

連接C。，過點(diǎn)B作BGLCD,分別交8、G4于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于A3的直線相交于點(diǎn)G,連

接。尸，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.二g=——B.若點(diǎn)Z)是AB的中點(diǎn)，則AF=YZAB

ABFC3

C.當(dāng)8、C、F、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF=DBD.若黑=：,則5即。=95

【答案】D

【分析】由可確定A項(xiàng)正確；由3co可得AG=gA8=gBC,進(jìn)而由,,AFG^CFB

確定點(diǎn)尸為C4的三等分點(diǎn)，可確定B項(xiàng)正確；當(dāng)5、C、F、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)得到NCFr)=NABC=90。，得到8為圓的直徑，因?yàn)?GLCD,根據(jù)垂徑定理得到分故。項(xiàng)

AF1

正確；因?yàn)?。為AB的三等分點(diǎn)，AFGSCF5即存可得S,3sm由此確定。項(xiàng)錯(cuò)誤.

AGAF

【詳解】解：依題意可得8。AG,0AFGs.CFB,0一=

BC~CF

故A項(xiàng)正確；如圖,

又…,噎唔

國/1+/3=90°,Nl+/4=90°,回/3=/4.

Z3=Z4

在，ABG與△3CD中，＜AB=BC,即ASGg-BC/XASA),SAG=BD,

ZBAG=ZCBD=90°

y.SBD=AD,0AG=AD；0ABC為等腰直角三角形,

0AC=-JiAB;^AG=AD=^AB=^BC；

0AFGs.BFC,0—=—,SFC=2AF,EAF=-AC=—AB.故2項(xiàng)正確;

BCCF33

當(dāng)8、C、F、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NCED=NABC=90。,

回8是8、C、F、。四點(diǎn)所在圓的直徑，I33G_LCD,^DF=BD^^DF=DB,故C項(xiàng)正確;

AGAF2BD1BD1

團(tuán)---=----,AG=BDf---=—,回---=~,

ABCFAD2AB3

AF1…1A-c1c

=S

團(tuán)S/Z\XBDDDFr=3—SL'△ABF'=團(tuán)人/=^40，~NABC?

^\SABC=12SBDF.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度.對每一個(gè)結(jié)論,

需要仔細(xì)分析，嚴(yán)格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用.

例7.（2223?廣東,期中）如圖，在Rt^AC3中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連

CEJ.&）于點(diǎn)尸，當(dāng)AD=CD時(shí)，求CE的長.

Q

［分析】將RtAACB補(bǔ)成矩形ACBH，延長CE交A”于點(diǎn)G,可得ABCDs/\CAG，結(jié)合已知可求AG=^、

CG=生叵，再由△A￡Gs/\5￡C即可求出CE.

3

補(bǔ)成矩形ACB8,延長CE交A”于點(diǎn)G,

0ZACB=9O°,CELBD,0ZACG+ZBCG=90°,ZABD+ZBCG^90°,

CDCBBD

SZACG^ZCBD,0ZXBCD03AG4G,回——=——=——，

AGACCG

4713

0AG=,CG,團(tuán)設(shè)CE=x,則=—%,

嚏子票I33

又團(tuán)在矩形ACS”中，AG!IBC,EAAEGCOABEC,

84713

AGEG,解得.答—黑

0------------，即二丁7

BCCE

3x

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形的性

質(zhì)，證明△BCDS^CAG是本題的關(guān)鍵.

例8.（22-23下?深圳?一模）如圖①，在RtA5c中，AC=BC,/ACB=90。，點(diǎn)。為BC邊上的一點(diǎn),