考向04基本不等式及應(yīng)用

?經(jīng)典具募?

22

【2021?全國(guó)?高考真題】已知I鳥(niǎo)是橢圓C：^9^+T^的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在C上，則IMHM閭的最大

值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由題，02=9,?2=4,則∣Mξ∣+∣M閭=2α=6,

所以MKHM用≤（幽±1竺』=9（當(dāng)且僅當(dāng)∣Mξ∣=∣M周=3時(shí)，等號(hào)成立）.

、>

故選：C.

【2022年新高考全國(guó)H卷】（多選題）若X,y滿足/+V-孫=1,則（）

A.x+y≤lB.x+y≥-2

C.x2+y2≤2D.x2+∕≥l

【答案】BC

【解析】因?yàn)棣?≤（審（",*R）,由χ2+y2-χy=ι可變形為，（χ+y）27=3孫≤3（晝],

解得一2≤x+y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=τ時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B

正確；

22

由爐+/一Ay=I可變形為（χ2+y2）7=jy≤^∣r,解得f+y2≤2,當(dāng)且僅當(dāng)χ=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以

C正確；

因?yàn)閂+y2-D=I變形可得（X—]]+[y2=ι,設(shè)X-I=CoSe,等y=sine,所以

I2521]1

X=cosθ+-J=sinθ,y=sinθ,因此丁+y2=cos20+^sin20+?sin0eos^-1+-y?sin2^--cos26,+-

=→∣sinf20-^eΓ∣,2l,所以當(dāng)X=3,y=一3時(shí)滿足等式，但是/+）,2≥1不成立，所以D錯(cuò)誤.

3316八3」33

故選：BC.

1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：

①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立(彼此不沖突)

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+^(4>O)的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的

X

單調(diào)性求解.

2.通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面

的問(wèn)題：

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；

(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿

足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上

一個(gè)數(shù)，"1”的代換法等.

1.幾個(gè)重要的不等式

(1)a2≥O(α∈R"),y∕a≥O(α≥0),∣α∣≥0(a∈/?).

（2）基本不等式：如果α∕∈R+,則ge≥√茄（當(dāng)且僅當(dāng)“α=Z?"時(shí)取心”）.

特例：a>0,a+-≥2?,-+-≥2（α∕同號(hào)）.

aba

（3）其他變形：

①。2十廿≥Sy）-（溝通兩和a+b與兩平方和a1+〃的不等關(guān)系式）

2

212

②αb≤巴與（溝通兩積αb與兩平方和a1+b2的不等關(guān)系式）

2

③α8≤（e吆］（溝通兩積與兩和α+h的不等關(guān)系式）

\2?

④重要不等式串：］?≤J茄≤q乎即

ab

調(diào)和平均值≤凡何平均值≤算數(shù)平均值≤平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），貝IJ孫≤［苫）=?（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即“和為定值，積有最大值”.

（2）如果沖=P（定值），則x+yN2而=2介（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最小值

3.常見(jiàn)求最值模型

模型一：/址+K≥2ΛA嬴（6>0,">0）,當(dāng)且僅當(dāng)X=J'■時(shí)等號(hào)成立；

XVm

模型二：Ynx-V——=∕τι（x-a）÷—-——Fma≥2+ma（jn>0,n>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x-a-J—時(shí)等號(hào)成立；

X-ax—aVtn

模型三：———=—5一≤-τi—（α>0,c>0）,當(dāng)且僅當(dāng)X=時(shí)等號(hào)成立；

ax÷?x+cαr+^+S2y∣ac+bVa

X

模型四：x（i）=i嘰L皿〃—小）2=工（…”>0,0c<?當(dāng)且僅當(dāng)X=JL時(shí)等號(hào)成

mm24mm2m

立.

1.基本不等式

如果”>O,A>O,那么而，當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)，等號(hào)成立.其中，小叫作4,6的算術(shù)平均數(shù)，，萬(wàn)

22

叫作α"的幾何平均數(shù).即正數(shù)”,〃的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,beR,則/+〃±2岫，當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2：若a,bwR+,則土a≥√^（或α+622癡），當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)取等號(hào).

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，"二定''指求最值時(shí)和或積為定

值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

1.（2022.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)”,b滿足α+2?=l,則口?l?的最小值為

ah

【答案】4石+4##4+46

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得/+2廿+1="2+?+(°+2')2,再化筒整理利用基本不等式求解即可.

abab

【詳解】

/+2∕+l/+2^+,+26)222+4成+6從

ababab

2a_6b

當(dāng)且僅當(dāng),

=3E+^+4≥2J-+4=4√3+4,ba,

baNba

a+2h=?

即a=2?[3-3,b=2—?/?時(shí)取得等號(hào).

故答案為：4\/3+4.

2.(2022?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè))若正實(shí)數(shù)m〃滿足1+：=向+1,則曲的最小值為_(kāi)_________.

ab

【答案】1

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得√^+l≥2j],以而為整體求解.

【詳解】

?.?L+?LN2∕I,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立

abVab

B∣J?[ab+1≥2j??貝U+V^?-2≥0

.??J^≥1或疝≤-2(舍去)，B∣Jab≥?

故答案為：L

3.(2022?江蘇?南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)〃力滿足lnα+lnb=ln(α+4b),則必的最小值是

【答案】16

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)定義和運(yùn)算可得必=4+4h,α>0力>。，利用基本不等式〃+4A≥2疝拓代入整理計(jì)算.

【詳解】

-a>0

h>0

Vlnα+ln?=ln0?=ln(α+4fe),則可得《

〃+4/;〉0

ab=a+4。

/.ab=a+4b,a>0,b>0

,.*ab=a+4b≥2Ia?4b=A?∣ab當(dāng)且僅當(dāng)Q=8,b=2時(shí)鐘號(hào)成立

.,.ab≥l6

故答案為：16.

12

4.(2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知小b為正實(shí)數(shù)，直線y=以將圓(χ-2)2+(y-l)2=l平分，則皆[

ab

的最小值是.

【答案】8

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)橹本€y=以+》過(guò)圓心（2,1）,所以I=加+6,

因?yàn)椤?、〃為正?shí)數(shù)，

所以』+2=（_1+2］（24+份=2+2+9+包≥4+2?"W=8,當(dāng)且僅當(dāng)2=學(xué)時(shí)取等號(hào)，即2α=6=?時(shí)

ab?ab）abNabab2

取等號(hào)，

故答案為：8

1.（2022?廣東茂名?二模）己知方2=3∕-2（4,?∈R）,則∣3"-8∣的最小值為（）

A.0B.1C.2D.√2

【答案】C

【解析】

【分析】

LLM=也a+b

由〃=3α?-2可得(Ga+b)(6α-6)=2,令，L，表示出”,仇再由

v=y∕3a-b

(3a-b)2=9a2-6ab+b2=(↑-^-)μ2+(l+^-)v2+μv,結(jié)合不等式知識(shí)，即可求得答案.

【詳解】

由/=3/-2可得：3a2-b2=2,?(√3a+?)(√3β-?)=2,

μ=?∕3a+b

令?則《

V=yf3a-bb=^-{μ-v)

當(dāng)且僅當(dāng)(J^)∕=(i+g>2=√3+1z√=-1—?/?

即<-或1L時(shí)等號(hào)成立,

V=√r3-1v=l-√3

所以∣3α-M≥2,即∣3α-b∣的最小值為2,

故選：C.

2.(2022.浙江湖州?模擬預(yù)測(cè))已知">OS>O,定義4(。力)=maxk+22f,?+2"1,則”(。⑼的最小值是

()

A.5B.6C.8D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

H(a,b)≥a+22-h

利用定義得到《,9,,，兩個(gè)不等式相加后利用基本不等式可求出結(jié)果.

H(a,b)≥-+2h

【詳解】

2b

f91?H(a,b)≥a+2-

由定義H(α力)=maxα+22-〃,一+2”，得9,，

IaJH(a,b)≥-+2h

、Cl

所以2"m,加≥"+22"+2+2"=4+2+22-"+2"≥2ja?2+2√?TY=6+4=10,

aaYa

9,

a=-Irɑ=3

當(dāng)且僅當(dāng)a，BP,,時(shí)，取等號(hào).

Qi-b_2?W=I

所以H(a,力≥5,即H(α,b)的最小值為5.

故選：A

3.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(文))若實(shí)數(shù)X,丫滿足2'+4>=2-2>',貝h+2y的最小值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由條件結(jié)合基本不等式求x+2y的最小值.

【詳解】

因?yàn)?'+4'=2Λ`+22?V≥2√2Λ+2V，又2*+4v=2x+2y

所以2》+2>22守*'

所以x+2y≥2,當(dāng)且僅當(dāng)χ=l,>=；時(shí)取等號(hào)，

所以x+2y的最小值為2,

故選：C.

I4

4.(2022?江西萍鄉(xiāng)?三模(文))己知正實(shí)數(shù)x,>滿足lgx+lgy=2,則一+一的最小值為()

Xy

A.1B.?C.1DT

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

由己知可得孫=100,利用基本不等式即可求出.

【詳解】

由lgx+lgy=lg肛=2,則D=100,

I4l~4~214

所以■!■+上N2j3==,當(dāng)且僅當(dāng)一=一，即x=5,y=20時(shí)等號(hào)成立，

所以一1+一4的最小值為;2.

故選：B.

5.(2022?江西?南昌市八一中學(xué)三模(文))已知實(shí)數(shù)0,匕滿足二?+占=∣,且α>2?,則"+4」的最小

值為().

A.1B.2√2C.4D.4√2

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)已知等式進(jìn)行變形，然后利用基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由—^―H?――=1=>α(?+l)+?(π+I)=(α+l)(?+l)=>cι?=l,

a+?h+?

4Z2*+4?2(a-2b)2+4〃。44

=〃-2b+≥2J(a-2b)?=4,

a-2ha-Iha-2ha-2h

4

當(dāng)且僅當(dāng)。-2b=—/時(shí)取等號(hào)，即。-4=2時(shí)取等號(hào),

a—2b

故選：C

6.(2022?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知實(shí)數(shù)。，〃滿足〃2+k)g./2=l,(Ovavl),則:log/-/的最小值為

()

A.0B.-1C.ID.不存在

【答案】A

【解析】

【分析】

由題設(shè)條件可得log,*=1-/,從而利用換底公式的推論可得log&a=「=，代入要求最小值的代數(shù)式中,

?-a

消元，利用均值不等式求最值

【詳解】

12

a+IOgaO=Inlog<;h=?-a=>logz,a=-二

?-a~

又0<α<l,則0<1-/<1

1、萬(wàn)

當(dāng)且僅當(dāng)-7Γ.~K=1-吠2即α=上時(shí)取等號(hào)

4(1-?)2

故選：A

7.(2022?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知4x4+*79χ2V+2y4=ι,則5/+3丁的最小值是()

A.2B.—C.-D.3

72

【答案】A

【解析】

【分析】

對(duì)原式因式分解得(4χ2+∕)(d+2y2)=l,然后利用基本不等式即可求解.

【詳解】

由4√+9巧2+2力1,得（獷+∕）（√÷2∕）=1<（43廣+2）=（彎叮，

B∣J4<（5x2+3y2）2,J??5x2+3γ2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)4/+9=Y+2丁，即丁=3》2=：時(shí)，等號(hào)成立，所以

5x?+3y2的最小值是2.

故選:A.

8.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知x>O,y>0,滿足犬+2冷-1=0,貝∣J3x+2y的最小

值是（）

A.√2B.√3C.2√3D.2√2

【答案】D

【解析】

【分析】

將給定等式變形為y=匕土，0<χ<l,再代入并結(jié)合均值不等式求解作答.

2x

【詳解】

1r2

由f+2芝y—1=0,得y=而x>0,y>0,則有0<xvl,

2x

因此，3x+2y=3x+^-=2x+-≥2,∣2x--=2>∕2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=',即X=也時(shí)取“=”，

XXVxX2

所以3x+2y的最小值為2&.

故選：D

9.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)X,y滿足孫（x+y）=4,則2x+y的最小值為（）

A.3B,2√2C.2√3D.3啦

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用關(guān)系式的恒等變換和基本不等式的應(yīng)用即可求解.

【詳解】

4

因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X,y滿足孫5+y）=4,所以χ（χ+y）=,.

所以（2x+y>=y2+4x（x+y）=y2+—=y2+-+-≥3>∕64=12,

yyy

2?8[―

當(dāng)且僅當(dāng)y=—y=—y,即X=Jv3-1時(shí)等號(hào)成立，

孫(/x+y)?=4A1y=2

所以2x+y的最小值是2石，

故選：C.

10.(2022.江蘇.南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知正實(shí)數(shù)m6滿足a+6=l,則下列結(jié)論不正確的是()

A.而有最大值;B.g的最小值是8

2ab

C.若a>b,則，D.Iog2"+log2%的最大值為-2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】

對(duì)A：α>0,fo>0,1=a+b≥2?Jab,?[cib≤—,當(dāng)目一僅當(dāng)α=b=5時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

對(duì)B：，+。=已+口(〃+6)=5+。+^^9,當(dāng)且僅當(dāng)方=6即“=/=安時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

ah?ahJab33

對(duì)C：a>b>Q?a2>b21?'?-7<τy,故C正確；

ab

對(duì)D：由A可知OCR>≤L,故log,“+log?8=IogzHVlogz：=-2,當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=4時(shí)，等號(hào)成立，故D正

442

確.

故選：B.

14

11.(2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知α,b為正實(shí)數(shù)，直線y=x-α與曲線y=ln(x+b)相切，則上+；的

ab

最小值為()

A.8B.9C.10D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)切點(diǎn)為(%,%),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得α+b=l,再

由乘1法結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)為c?,%)，

y=?n(x+b)的導(dǎo)數(shù)為)；=」Y,

x+?

由切線的方程y=x-α可得切線的斜率為1,令三=l,%=l-g

八0十"

則為=InQ—匕+b)=O,故切點(diǎn)為(1一反0),

代入y=x—。，得。+8=1,

〃、力為正實(shí)數(shù)，

m.∣1414b4。Ib4a

則—F—=(Q+?)(—?F—)=5H1----≥5+2J---------=9,

abababχab

1214

當(dāng)且僅當(dāng)〃=彳，時(shí)，?l+?取得最小值9,

33ab

故選：B

12.(2022?湖南?邵陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足%=%+24,若存在心、,使得

am'an=^aI>則'的最小值為()

mn

A.-B.16C.—D.—

342

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，則4>0,根據(jù)已知條件求出q的值，由已知條件可得出"+"=6,將代數(shù)式

上1+I4與：1(〃?+〃)相乘，利用基本不等式可求得1上+4上的最小值.

mn6mn

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛““｝的公比為9,則4>0,由％=出+24可得∕f-2=0,解得q=2,

因?yàn)閝=16a；,則a；?2"i?2"T=16a：,.?m+n-2=4,可得加+〃=6,

一…?41/A14J1f_4mn

由已知加、"WN*'所以,-+-=-(m÷n)l-+-l=-∣5+-+-

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2m=4時(shí)，等號(hào)成立,

I43

因此，'的最小值為:?

tnn2

故選：D.

13.(2022?安徽?合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知正數(shù)羽y滿足一芻一+——=1,貝∣Jx+)的最小值

x+3j3x+y

()

?3+2√2d3+6C3+2√2C3+√2

4488

【答案】A

【解析】

【分析】

利用換元法和基本不等式即可求解.

【詳解】

21

令x+3y=zπ,3x+y=n,貝IJ—+—=1,

mn

即m+"=(x+3y)+(3x+y)=4(x+y),

=2*Jr+3=W

2√244

當(dāng)且僅當(dāng);=7,即機(jī)=2+啦，〃=血+1時(shí)，等號(hào)成立，

4〃4∕π

故選：A.

21n

14.(2022?上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知a>(lb>Of且出7=1,則：+搟+—的最小值為_(kāi)___.

3a2b3α+4)

【答案】2√2

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求最小值.

【詳解】

21123a+4b123a+4b12

----1------卜--------------h=1,

3a2b3a+4Z?6ab3。+4。----6------3a+4b

而當(dāng)絲+CzN2√Σ,當(dāng)且僅當(dāng)3α+4b=6√∑時(shí)等號(hào)成立,

63。+4。

3叵-戈3&+指

a=a

3a+4ft=6√233

??可得,或<

ab=13√2+√63√2-√6

b=a

44

3√2-√63>^+√6

Q=------------Cl=------------------

故網(wǎng)詈+導(dǎo)會(huì)友‘當(dāng)且僅當(dāng)‘3或，?廠等號(hào)成立,

-3&+指3√2-√6

CI=------------------

44

U2112

故---1--------F的最小值為2夜.

3。2h3a+4b

故答案為：2√L

15?（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知”,6為正實(shí)數(shù)，且M肛12,則4+6的

ab

最小值為.

4

【答案】I

【解析】

【分析】

由基本不等式求解

【詳解】

由題意0+6-丁―/石＞S?囪-4

1212123

當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)即α=g力=1時(shí)等號(hào)成立，

ab3

4

故答案為：y

1.(2022?全國(guó)?高考真題(文))己知9'”=10,"=10"'-ll,6=8"'-9,則()

A.a>O>bB.a>b>OC.b>a>OD.b>O>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知機(jī)=logglO>l,再利用基本不等式，換底公式可得〃?>IglL

logs9>∕n,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】

由9，"=10可得M=Iog/0=昔>1，而Ig91gll<(lg9;IglI)=僵力Vl=(IglO)),所以署>黑，

即∕>lgll,所以，=10”-11>1洲|-11=0.

又lg81glθ<產(chǎn)8；愴1。)=(等)<(ig9)2,所以黑>1^,即iogs9>m,

所以∕>=8'"—9<8吸,9一9=0.綜上，a>0>b.

故選：A.

2.(2021?全國(guó)?高考真題(文))下列函數(shù)中最小值為4的是()

A.y=d+2χ+4B.J=∣≡?∣÷i^i

*>4

C.y=2x+2^^xD.y=lnx+

InX

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等“，即可得出不符

合題意，C符合題意.

【詳解】

對(duì)于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3≥3,當(dāng)且僅當(dāng)X=T時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A不符合題意；

對(duì)于B,因?yàn)?<卜inx∣≤l,y=卜inx∣+^不≥24=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx∣=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其

最小值不為4,B不符合題意；

4r-

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2'>0,y=2-r+22^=2r+—≥2√4=4,當(dāng)且僅當(dāng)丁=2，即X=I時(shí)取

等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；

4

對(duì)于D,y=lnx+-j-,函數(shù)定義域?yàn)?0,1)(l,+∞),而lnx∈R且InXW0,如當(dāng)InX=-1,>=-5,D不符合

題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等''的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解

出.

3.（2021.全國(guó)?高考真題）已知耳，尸2是橢圓C：?→5=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則IM娟?∣"國(guó)的最

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本題通過(guò)利用橢圓定義得到I崢I(yè)+W周=2α=6,借助基本不等式.6HM段≤IMEI；網(wǎng)即可得到答

案.

【詳解】

由題，a2=9,b2=4,則用+&=2a=6,

所以∣M6∣?∣MR≤附制?M閭=9（當(dāng)且僅當(dāng)|崢卜|螭卜3時(shí)，等號(hào)成立）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

4.（多選題）（2022?全國(guó)?高考真題）若X,y滿足/+V-盯=ι,則（）

A.x+y≤lB.x+y≥-2

C.X2+J2≤2D.x2+y2≥l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】

因?yàn)椤躠（a,blR）,由x?+y?-xy=1可變形為，（x+y）?-1=3孫≤3（苫，解得

-2<x+y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確;

?2

由/+y2-Ay=I可變形為12+力_1=孫5巧匚，解得f+y2≤2,當(dāng)且僅當(dāng)χ=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以

C正確：

因?yàn)閂+y2-Xy=I變形可得[一S+jy2=ι,設(shè)χ∕=cos。,乎y=sin',所以

?252111

X=cosθ÷-J=sinθ,y=-^=sinθ,因此x2+y2=cos2^÷-sin2θ+-y=sinθcosθ=1+-j=sin1θ-^cos+?

=→∣sinf20-^∈Γ∣,2],所以當(dāng)X=烏y=_3時(shí)滿足等式，但是f+y2≥l不成立，所以D錯(cuò)誤.

33V6JL3J33

故選：BC.

5.（多選題）（2020?海南?高考真題）已知“>0,?>0,且“+b=l,則（）

A.a2+b2≥-B.2,-h>-

22

C.Iog2a+Iog2h≥-2D.λ∕α+√?≤√2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)。+匕=1,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】

對(duì),于A,a2+b2-a1+(l-tz)2=2a1-2a+?+?s?,

當(dāng)且僅當(dāng)a=%=工時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

2

對(duì)于B,a-b=2a-?>-?,所以2"">27=,，故B正確；

2

對(duì)于C,Iog2a+log,b=Iog2ab<Iog2=IOg?；=-2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=g時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確：

對(duì)于D,因?yàn)?&+括)=1÷2?[ab≤1+ɑ+/?=2,

所以及+昭≤√Σ,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=g時(shí)，等號(hào)成立，故D正確;

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng).

ΛΓ

6.（2022?全國(guó)?高考真題（理））已知ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=I20。,AO=2,CO=26，當(dāng)外

AB

取得最小值時(shí)，BD=.

【答案】√3-1ftft-l+√3

【解析】

【分析】

AC2

τ^CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出后,結(jié)合基本不等式即可得解.

病

【詳解】

ι&CD=2BD=2m>0,

則在AABO中，AB2=BD2+AD2-2BD-APcosZADB=m2+4+Im，

在ΔAO)中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC?4∕n2+4-4m,

AC2_4"∕+4-4∕M_4(>+4+2,")-12(l+w)_4_12

所以AB°m2+4+ImnV+4+2∕n(?,?,3

(7n÷l)d--

')m+?

≥4——.12=4-2√3

2λ∕(τw+l)?-^―

ψ7/72+1

a

當(dāng)且僅當(dāng)〃7+1=:即m二百-1時(shí)，等號(hào)成立，

7H+1

ΛΓ,

所以當(dāng)警取最小值時(shí)，^=√3-l.

AB

故答案為：?/?-1.

HD

7.（2021?天津?高考真題）若α>0">0,則上+9+。的最小值為_(kāi)____________.

ab^

【答案】2√2

【解析】

【分析】

兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】

?>0,?>0,

C+/E琮+b=22新=2日

當(dāng)且僅當(dāng)L??且即°=8=亞時(shí)等號(hào)成立，

abb

所以g+∕?+6的最小值為2√L

故答案為：2√L