17.1勾股定理第十七章勾股定理第1課時勾股定理情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法加以證明.（重點）2.會用勾股定理進行簡單的計算.（難點）導(dǎo)入新課算一算：地板中的數(shù)學(xué)問題

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如下圖所示）：畢達哥拉斯ABC穿越畢達哥拉斯做客現(xiàn)場問題1

試問A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=ABC

問題2你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質(zhì)嗎？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=看似平淡無奇的現(xiàn)象有時卻隱藏著深刻的道理圖1-2問題3圖中每個小方格的面積均為1，請分別計算出圖①、②中A、B、C的面積，看看能得出什么結(jié)論？圖①圖②ABABCCA的面積B的面積C的面積圖①圖②169254913網(wǎng)格中的發(fā)現(xiàn)正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=

問題4圖中的這個直角三角形有三邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=講授新課猜一猜一般直角三角形三邊還有這樣的數(shù)量關(guān)系（即a2+b2=c2)嗎？abc勾股定理一趙爽拼一拼請同學(xué)們準(zhǔn)備四個完全相同的直角三角形，跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖.勾股定理的驗證二abbcabcc2b2a2=+這種用拼圖的驗證勾股定理的方法叫做弦圖法aabcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖b-a證明：證一證

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會徽.趙爽所用的這種方法是我國古代常用的“出入相補法”.在西方，人們稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.趙爽弦圖cba

黃實朱實2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要、基本，還因為這個定理貼近人們的生活實際.以至于古往今來，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).建議同學(xué)們課外認(rèn)真閱讀P30《勾股定理的證明》.歸納總結(jié)在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c為正數(shù)如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.公式變形：勾股弦即：勾2+股2=弦2勾股定理

例1在Rt△ABC中，∠C=90°典例精析

（1）已知a=b=5,求c;

（2）已知a=1,c=2,求b;解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得（3）已知a：b=1：2，c=5,求a;（4）已知b=15，∠A=30°,求a,c.

在Rt△ABC中，∠C=90°解：(3)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52解得(4)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152解得例2已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,則BC=

.5

或43ACB43CAB溫馨提示當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下，一定要進行分類討論，否則容易丟解.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖所示，字母B所代表的正方形的面積是（）A.12B.13C.144D.194C2.下列說法中正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C3.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是

.25或74.直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，則斜邊上的高線的長為

.5.在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.ABCD作AD⊥BC于D,設(shè)BD=x,用含x的代數(shù)式表示CD根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程模型求出x利用勾股定理求出AD的長，再計算三角形面積解：如圖，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,設(shè)BD=x,則CD=14-x,由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,

解之得，x=9.∴AD=12.課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論17.1勾股定理第十七章勾股定理第2課時勾股定理在實際生活中的應(yīng)用情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.

會運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.（重點）2.靈活運用勾股定理進行計算.（難點）導(dǎo)入新課問題

在Rt△ABC中，已知BC=6,AC=8,B

C

A

(1)則AB=

;

(2)則AB邊上的高是

;

(3)它的面積是

;

(4)它的周長是

.

104.82424講授新課勾股定理的應(yīng)用舉例一例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?2m1mABDC問題1木板進門框有幾種方法?問題2你認(rèn)為選擇哪種方法比較好?你能說出你這種方法通過的最大長度是什么?解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，2m1mABDCAC2=AB2+BC2=12+22=5因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.

例2如圖所示，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?問題1下滑前梯子底端B離墻角O的距離是多少?ABDCO

問題2下滑前后梯子與墻面、地面構(gòu)成的兩個直角三角形，什么量沒有發(fā)生變化?問題3下滑后梯子底端外移的距離是哪條線段的長度?如何計算?ABDCO

解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.歸納總結(jié)用勾股定理巧證明“HL”二

思考

在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？

證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根據(jù)勾股定理，得

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∠C=∠C

′=90°，AB=A′B′，AC=A′

C′

．求證：△ABC≌△A′B′C′

．ABCABC′

′′用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)

三

探究我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？01234探究思路：把握題意——找關(guān)鍵字詞——連接相關(guān)知識——建立數(shù)學(xué)模型（建模）提示直角邊長為整數(shù)2，3的直角三角形的斜邊長為.01234解：lAB2C“數(shù)學(xué)海螺”利用勾股定理作出長為線段.11用同樣的方法，你能否在數(shù)軸上畫出表示，…利用勾股定理表示無理數(shù)的方法（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.歸納總結(jié)（2）以原點O為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理數(shù).當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行（）A.8米B.10米C.12米D.14米B2.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A.5B.6C.7D.25第1題圖第2題圖A

3.如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且容器上沿的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短徑是

cm.

134.如圖，在5ⅹ5正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，畫出兩個三角形，一個三角形的長分別，另一個三角形的三邊長分別為.(畫出的兩個三角形除頂點外可以重合外，其余部分不能重合）ABCDEF答題圖A

B

C

120°5.小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖，以往從黃石油A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B.設(shè)AB=80km,BC=20km,

∠ABC=120°,請你幫助小明解決以下問題：（1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)：）（2）若客車的平均速度是60km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h,為了最短時間到達武昌客運站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案?