關注公眾號《品數(shù)學》函數(shù)的對稱性與周期性常用結論結論：一、周期函數(shù)性常用結論【函數(shù)周期與自對稱記憶口訣：括號內，差定周，和定對】對f(x)定義域內任一自變量的值x:的周期為T;的周期；的周期；的周期；的周期；的周期； 的周期；二、函數(shù)自對稱常用結論【函數(shù)周期與自對稱記憶口訣：括號內，差定周，和定對】軸對稱關于對稱.推論1：關于對稱；推論2：關于對稱；推論3：關于對稱.中心對稱關于點對稱；推論1：關于點對稱；推論2：關于點對稱；推論3：關于點對稱.三、函數(shù)對稱性與周期性之間的聯(lián)系【用正弦函數(shù)的圖象幫助理解記憶】兩線對稱型：如果定義在R上的函數(shù)f(x)有兩條對稱軸x=a，x=b，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期；兩點對稱型：如果定義在R上的函數(shù)f(x)關于兩點成中心對稱，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期；一點一線對稱型：如果定義在R上的函數(shù)f(x)關于點成中心對稱，且關于直線成軸對稱，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期.四、函數(shù)的奇偶性結論【記憶口訣：奇函數(shù)自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值也互為相反數(shù)；偶函數(shù)自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值相等】1.若函數(shù)（）為奇函數(shù)，則2.若函數(shù)（）為偶函數(shù)，則典例分析：例1.已知函數(shù)對一切實數(shù)x滿足，且方程有5個根，則這5個實根之和為________.解：因為，所以的圖象關于直線對稱，又因方程有5個根，則必有一根為3，其它4個根是成對關于對稱的，所以這5個實根之和為6+6+3=15答案：15例2.（2021新高考2卷）已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.B.C.D.解：因為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，，則函數(shù)的圖象關于直線軸對稱，關于點中心對稱，故的一個周期，由于，答案：B例3.若偶函數(shù)滿足，，則=（）A.B.2C.1D.解：因，即，則的一個周期，所以答案：D例4.（2018年全國2卷理科）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則=（）A.B.0C.2D.50解：因，則關于直線對稱，又因是奇函數(shù)，它關于原點（0，0）對稱，則的一個周期，所以又，所以則=2答案：C針對練習：1.定義在R上的奇函數(shù)滿足，則=（）A.0B.1C.D.20222.已知定義在R上的函數(shù)，滿足為奇函數(shù)且為偶函數(shù)，則下列結論一定正確的是（）A.函數(shù)的周期為2B.函數(shù)的周期為3C.D.3.定義在R上的奇函數(shù)滿足，若當時，，則（）A.B.6C.D.84.函數(shù)對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關于點對稱，，則的值為______.5.（2020全國3，文科）已知函數(shù)，則（）A.的最小值為2B.的圖象關于y軸對稱C.的圖象關于直線對稱D.的圖象關于直線對稱6.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當時，，則（）A.0B.1C.2D.7.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則下列結論錯誤的是（）A.的圖象關于點對稱B.C.D.8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當時，，若，則=（）A.B.8C.4