2023學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題卷

考生須知：

1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域(黑色邊框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的

作答無效！

3.考試結(jié)束，只需上交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1n

1,設(shè)集合人={.尸(X+D},3=3y=-lF”R},則人B=()

A.(-1,0)B.C.RD.(-co,0)

【答案】A

【解析】

【分析】集合A即函數(shù)y=ln(x+l)的定義域，而B則為函數(shù)y=-11'的值域，分別求解再進(jìn)行交集運(yùn)算

即可.

【詳解】由y=ln(x+l)有意義，則％+1>0,

故A=(-L+co),

由>=—1-，得其值域?yàn)?—s,€)),

故5=(TO,0),

所以A3=(-1,0),

故選：A

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)，則z+^=()

i-1z

A.-2B.0C.72D.2

【答案】B

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)z=-i，進(jìn)而求得z+工，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式計(jì)算即可.

z

i+l_(i+l)i2i2+2i+l

【詳解】因?yàn)閦=

i^T-i2-l-2

所以z+』=—i+11

=—i+i=0,

Z一=一勺

所以z+—=0.

Z

故選：B.

3.若“>>，則（)

aa+2023

A.a2>b2B.一<--------c.-<1D.a\a\>b\b\

bb+2024-ab

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可求解ABC,分類討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】若。=0/=-1,滿足a>b,但/〉尸不成立，故A錯(cuò)誤，

a--2023,b=-2025,酒足。>b,但一=-----,--------=0,—<------------不成"，故B錯(cuò)灰，

b2025b+2024b人+2024

當(dāng)。>0>6時(shí)，不成立，故c錯(cuò)誤，

ab

當(dāng)a>620時(shí)，a|a|=a2,b\b\=Z?2,顯然a|a]>Z?同成立，

當(dāng)0?a6時(shí),則/〈〃，又44=-/3網(wǎng)=-/,故a時(shí)>萬網(wǎng)成立，

當(dāng)a>0>6時(shí)，a|tz|>0,b\b\<0,顯然a|a|>。網(wǎng)成立,

故時(shí)都有a|a|>A網(wǎng),故D正確,

故選：D

4.設(shè)集合A={x|x210,xeN*}.若8。A,且8中元素滿足：①任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相

同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9,則B中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.72B.78C.81D.90

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合描述列舉出集合A中的兩位數(shù)，由8。A及8中元素的性質(zhì)確定B中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù).

【詳解】行表示個(gè)位，列表示十位，集合A中的兩位數(shù)如下表所示

0123456789

110111213141516171819

220212223242526272829

330313233343536373839

440414243444546474849

550515253545556575859

660616263646566676869

770717273747576777879

880818283848586878889

990919293949596979899

由對(duì)于集合8中的兩位數(shù)元素,

任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同，排除11,22,33,44,55,66,77,88,99；

任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9,排除18,27,36,45,54,63,72,81,90；

共有90個(gè)兩位數(shù)，排除其中18個(gè)，所以B中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為72個(gè).

故選：A

5.用測(cè)量工具測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，需測(cè)量九次，得到〃個(gè)數(shù)據(jù)，?！?設(shè)函數(shù)/(x)=——，

ni=l

則當(dāng)取最小值時(shí)，X=()

A.Z(x-%)B.—X%C.D.Za；

i=lni=li=li=l

【答案】B

【解析】

【分析】理解求和符號(hào)，由“X)是二次函數(shù)，求解二次函數(shù)最值即可.

【詳解】/(x)=-^(x-a,)2

〃Z=1

222

=-r(x-^)+(X-<22)++(x-an)

nL-

——(—2〃]%+a；+—2a2%+a；++%?—2(1rlx+Q；)

nv7

=%2_2(q+出++%)x+J_(W+a；++a；Y

nn'7

當(dāng)x=%+/+—+/時(shí),/(x)取最小值，最小值為

n

]n

即x=一時(shí)，/（X）取最小值.

n,=i

故選：B

6.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,前幾項(xiàng)和為S",則“q=2”是“｛5“+4｝為等比數(shù)歹廣的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，由｛3+q｝為等比數(shù)列，解出4值，即可判斷.

【詳解】依題，“母+弓｝為等比數(shù)列“，所以（S2+%）2=（Si+%＞（S3+q）,

2+42+

得（2q+?2）=2al-（2q。3），化簡(jiǎn)得（2+4）2=2（2+q+/）,

解得q=2,貝/％=2"是“｛5"+6｝為等比數(shù)歹廣的充要條件.

故選：C

7.邊長(zhǎng)為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個(gè)正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積

的最小值為（）

A2A/3K4百兀

A.———

99

C.(8-4@兀D.(8-2A/3)7T

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,可求得此四棱錐的高為江石，根據(jù)外接球與正四棱錐的關(guān)系，利用勾股定

理可求出外接球半徑，再利用導(dǎo)數(shù)求得半徑的最小值即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)圍成的四棱柱為P-A3CD,

PE為正四棱錐P—A5CD高，作FELBC交BC于E，連接班，

設(shè)FE=x，則PE=1—%，在直角三角形PFE中由勾股定理得PF={PE?―茁=，

又因?yàn)檎睦忮F尸—A5CD的外接球球心在它的高尸尸上，

記球心為。，半徑為E,連接則/吆=0x，

則在直角三角形。EB中03?=O/2+必2=(抄—opy+EB?,

解得「―

即R2=(vi-2x-q+(衣

/4+1I??-4

令Jl—2x=f(。</<1),則R二二二Rf=-^r-

4f16t2

令R=0解得『=走,

所以R在0,上單調(diào)遞減，在,1上單調(diào)遞增,

3

所以當(dāng)產(chǎn)=#時(shí)尺取最小值，所以7?嘉=7+1]2=顯

~~9~,

所以該四棱錐外接球表面積的最小值為4兀穴丸=耳^

故選：B

8.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(0x+。)]<?>0,嗣若.若x=—三為函數(shù)/（x）的零點(diǎn)，x=三為函數(shù)“X）的圖象

兀兀

的對(duì)稱軸，且/（%）在區(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則。的最大值為（)

10?2

333960

A.—B.—C.—D.12

447

【答案】A

【解析】

兀7

——G+9=勺兀

【分析】直接利用《3,（勺，左26Z）,求出。和。的表達(dá)式，進(jìn)一步利用/（X）在區(qū)間

-CD~\-（p—女2兀+—

7171

上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，通過分類討論求出①的值，進(jìn)而可得最大值.

1092

兀7

——CD+(p=勺兀

【詳解】由已知得〈3,(人,左2。),,

兀7兀'

——/兀+—

3(2左+1)

60=---------

4

則,,(k,k'eZ),

k'nTi

(P=------1——

24

其中k—k2—k],k—k]+k?~2k?—k,

因?yàn)楦絍、,

JT

當(dāng)左'二-時(shí)，夕=—

1z，4=2Z:2+1,k2eZ

jr

當(dāng)上'=o時(shí)，(p=—,k=2k2,k2eZ,

因?yàn)?(%)在區(qū)間［三，］］上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，

所以工-M=&W2T=回，

2105co

解得0v10,

即?！础璘10,

4

137

所以—<kG—,

26

39ir3971(49兀41兀、

當(dāng)上=6時(shí),0=不夕=,止匕時(shí)此時(shí)有兩個(gè)極大值點(diǎn),舍去;

當(dāng)』時(shí)，。丁，展》止匕時(shí)下一￥［胃，三;此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)，成立;

所以0的最大值為一.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過條件將。和9都用整數(shù)表示出來，然后對(duì)。的值由大到小討論找

到符合條件的結(jié)果.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在正六邊形ABCD防中，()

A.AC-AE=BFB.AC+AE=3AD

C.ADAB=\AB|2D.A。在AC上的投影向量為AC

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解AB,根據(jù)數(shù)量積的定義求解C,根據(jù)垂直關(guān)系，即可由投影向量的

定義求解D.

【詳解】AC—AE=EC=加，故A錯(cuò)誤，

連接AD,CE相交于M,AD,BF相交于N,則M,N為EC,月產(chǎn)的中點(diǎn),

由于AN=MD=,

22

所以Ad+AE=2AV=6聞7=』公。,故8錯(cuò)誤，

2

AZ>-AB=|AD|-|AB|COS60=2k月HA月卜g=|AB|2,故C正確,

ion_ion

由于NBCO=120,NAC3=^^=30,故NACD=N3C?！狽AC3=120-30=90,故

2

ACLCD,

所以AD在A（j上的投影向量為A。，D正確,

211

A.—+一的最小值為4B.片+從的最小值為一

ab5

C.log：+10g1的最小值為3D.2"+4〃的最小值為2后

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷A；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；利用

基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷C；利用基本不等式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可判斷D.

【詳解】由題意可得2+工=（。+2?[2+』]=竺+8+422」被?9+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=26=，時(shí),

ab\ab）ab\ab2

等號(hào)成立，則A錯(cuò)誤;

1

Q+2b=1,/.a1+/(1-2Z?)2+Z?2=5b2-4b+l=5+-,

5

a>0,b>0,a+2Z?=l,.\Q<b<—,

2

21

當(dāng)b=§時(shí)，+。2的最小值為二，則B正確；

因?yàn)?。?,Z?＞。，且。+2》=1,所以2,2a。W1，所以a人4工，

8

logi+log/=logia621ogi石=3,當(dāng)且僅當(dāng)。=2。=工時(shí)，等號(hào)成立，則C正確；

5555y2

2"+4"=2"+2?"22后"3匯=2"國'=20，當(dāng)且僅當(dāng)。=26=；時(shí)，等號(hào)成立，則D正確；

故選：BCD.

11.已知正三棱柱ABC-4與。1的各條棱長(zhǎng)都是2,D,E分別是AG，4片的中點(diǎn)，則（）

A.43〃平面。。與

B.平面8月與平面A與G夾角的余弦值為g

C.三棱錐與一43C的體積是三棱柱ABC-4男。1體積的g

D.若正三棱柱ABC-A與G的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。上，則球。的表面積為g兀

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；判斷出NCDG即為平面CDB］與平面夾角，即可判斷；

C,應(yīng)用等積法％「ABC=匕一4期即可判斷；D,判斷出球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)，解直接三角

形即可得.

【詳解】A,連接Bq,*K。,交于點(diǎn)尸，連接。尸，則尸為的中點(diǎn)，故止為△GA5的中位線，

則DE//A3,七方匚平面^^臺(tái)「^臺(tái)a平面叁為口故^^”平面⑺片，A正確；

B,依題得，CG，平面A4G，,DB］U平面4月￡,則D31JLCG，

DB1

又DB11DG，CD,CC[u平面A41GC，則\平面A41G0，

又CDu平面4&GC，則。g_LCD,

1_V5

則平面CDB與平面4用。］夾角為NCDG，貝UcosZCDQ=B正確;

｝者一1~

C,取A5中點(diǎn)G,連接CG,則CGLAB，又出，平面ABC,

CGu平面ABC,則M，CG,從仆人⑶匚平面叫耳6，則CG,平面的片呂

VV?叫CG1

則「網(wǎng)

VBABC=VjA=號(hào)---------------=-,C正確;

IBC匕ABcl3

K—AMGcs—1；ABCGBBi

D,取上下底面的中心"i，”,則球心。為"i的中點(diǎn)，R=OA,

又AH=：6,OH=\,則R=04=JM+M=叵,

33

28

則球的表面積為一兀，D錯(cuò)誤.

3

B

12.已知過原點(diǎn)。的一條直線與函數(shù)y=log”的圖象交于A,8兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A,6作y軸的平行線與函

數(shù)的y=log2尤的圖象交于C,。兩點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)A,。和原點(diǎn)。在同一條直線上

B.點(diǎn)C,。和原點(diǎn)。在同一條直線上

C.當(dāng)5c平行于無軸時(shí)，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為百

D.當(dāng)3c平行于x軸時(shí)，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為310g2也

【答案】BC

【解析】

【分析】由y=iog8%與y=iog2》圖象數(shù)形結(jié)合可判斷A項(xiàng)；由三點(diǎn)共線得斜率等式化簡(jiǎn)可得

也生=理"，可判斷B項(xiàng)；再由5c平行于無軸得logs%=log2%,聯(lián)立等式幽五=g監(jiān)，解方

X]x2X]x2

程組即可判斷CD項(xiàng).

【詳解】設(shè)4（%,1088再）,5（%2，1。88々），苔>0且%2>0且％271，不妨設(shè)％2〉玉〉1，

則由題意得。（國,log2^）,D（x2,log2尤2）.

選項(xiàng)A,由題意知，三點(diǎn)共線，BDLx軸，

且B在函數(shù)y=log8X的圖象上，而D在函數(shù)y=log2》的圖象上,

可知點(diǎn)。不在直線A3上，即A項(xiàng)錯(cuò)誤;

則由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得電％=3皿|,%々=3bg2々

%Xx2x2

則有

再x2

所以自c=koo,即O,C。三點(diǎn)共線，故B項(xiàng)正確；

選項(xiàng)C,當(dāng)5c平行于無軸時(shí)，則logs%=log?%，

13

化I同得log2%=jlog2^2,log2%=log2%，

則x：=z，代入山=X,得U=

七工2萬片

化簡(jiǎn)得了：=3再，又x>0,解得%=石，

代入y=log8X得，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)以=(1。82、石，

故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在［6+g］的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

【答案】15

【解析】

6-3r

【分析】由二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)有=c；x=，可知常數(shù)項(xiàng)的值；

6-r16-3r

r

【詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為4+1=C：”(-)=C；x~，

x

當(dāng)廠=2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)刀=。：=15,

故答案為：15

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題；

14.已知.=&,忖=1,°與人的夾角為45°,則|2。+,=.

【答案】V13

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，求得小。=1，結(jié)合'+小兒。片+4￡2，即可求解.

【詳解】由向量忖=J5,W=l,a與人的夾角為45°,可得a0=,Mcos45°=后xlx曰=l，

所以|2a+0="(2a+6)2=J4/+b'+4a-b=J8+1+4=713.

故答案為：加.

15.已知a是三角形的內(nèi)角，若cos?。=cos2tz—sin2a，則tancz=.

【答案】—2

【解析】

【分析】分析可知，sina>0,利用二倍角的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)可得出tancz的值.

【詳解】因?yàn)?。是三角形的?nèi)角，則sino>0,

且cos2a=cos2a-sin2a，即cos2a=cos2a-sin2a—2sinacosa，

所以，sin2a=-2sinacosa，可得sina=-2cosa>0,故tana=-2.

故答案為：-2.

22

16.設(shè)拋物線V=4x的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/.若/與雙曲線二-斗=1（。>0,6>0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)

ab

A和點(diǎn)8,且卻=2|。同（。為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率等于.

【答案】V2

【解析】

【分析】求出表達(dá)式和O尸長(zhǎng)，利用二者之間的關(guān)系求出a*的關(guān)系，進(jìn)而求出c,即可得出雙曲線的

離心率.

xvb

在雙曲線二一斗~=1（?！?8〉0）中，漸近線：y=±-x,

aba

拋物線準(zhǔn)線/與雙曲線交于A6兩點(diǎn)，

=2b

xA=xB-1,|A@二—，

?：\AB\=2\OF\,

2bA,

—=2x1,解得：a-b,

a

??c—J4)+、2—y/2a，

:.離心率e=±=?~=6,

aa

故答案為：&.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知四邊形A3CD內(nèi)接于10,若A6=l,BC=3,CD^DA=2.

(1)求線段3D的長(zhǎng).

(2)若/BPD=60°,求PB+PD的取值范圍.

【答案】(1)BD=/j

⑵布〈PB+PDW2近.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)余弦定理即可求解，

(2)根據(jù)余弦定理得BD2=(PB+PD)2—3PB-P。，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.

【小問1詳解】

由題知，A+C=180°,所以cosA=-cosC,

根據(jù)余弦定理BD1=AB2+AD1-2ABADcosA，BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC，

即3￡>2=5-4cosA，BD2=13-12cosC.

所以5—4cosA=13-12cosC,所以cosC=L

2

所以BD=Jj.

【小問2詳解】

因?yàn)锽D?=PB?+PD?—2PB-PDcosA=(PB+PD￥—3PB?PD

“PB+PD.3.(PB+PD)2JPB+PD)2

44

所以(PB+PD)2428,所以PB+PDW2后(當(dāng)且僅當(dāng)PB=PE>時(shí)取等號(hào))

又BD<PB+PD,

所以冊(cè)〈PB+PDW2用.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=*v(aw0,x>0),滿足：①/(1)=！；②對(duì)任意尤>0,=恒成立.

b+x-2\x)

(1)求函數(shù)的解析式.

⑵設(shè)矩形A3CD的一邊A3在x軸上，頂點(diǎn)C,D在函數(shù)/(%)的圖象上.設(shè)矩形A3CD的面積為S,

求證：0<S<l.

X

【答案】(1)/(%)=-7；

1+X

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，結(jié)合題設(shè)條件即可得解；

(2)先利用導(dǎo)數(shù)判斷了(力的圖象性質(zhì)，從而利用矩形面積公式得到S關(guān)于《0<1)的表達(dá)式，從而得

證.

【小問1詳解】

njr

因?yàn)?(%)=;—7(^^0,x>0),

b+x

由/(1)=L，得—=工，則2a=>+l；

2b+12

a1

由/(%)=/(，］，得7■竺y=——『，(x>0)恒成立，

\x)b+x7,1

即6+%2=區(qū)2+］恒成立，所以6=1,所以［=1,

Y

所以/Xx)=^~T；

【小問2詳解】

(1-x)(l+x)

因?yàn)?"(x)=

令D>o,得o<x<i；令ra)<o,得光>1；

所以/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，(l,y)單調(diào)遞減.

由=知^Q,0

不妨設(shè)A(/,0),?e(0,l),

那勾明|皿=品;

故s/Lt,2

---二11+，

1+rt+\

因?yàn)閒e(O,l),所以0<S<l.

19.在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ZBAD=90°,AD//BC,AB=BC=a,

AD=b[b>a),且P4_L底面A8CZ)，P￡>與底面ABCZ)成30°角，且p￡)=4PE.

(1)求證：BE1.PD-,

(2)當(dāng)直線PC與平面ABE所成角的正弦值為?時(shí)，求￡的值.

4b

【答案】(1)證明見解析

a1

(2)—=—.

b2

【解析】

【分析】(1)應(yīng)用空間向量法證明線線垂直；

(2)應(yīng)用空間向量法求線面角正弦計(jì)算即可得出邊長(zhǎng)關(guān)系.

【小問1詳解】

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為無軸，直線AD為V軸建立坐標(biāo)系.

那么P0,0,二，D(0,ZJ,0),C(a,a,0),E0,-,^—,B(a,0,0).

\73)l44J

故BE=[。，4,4[=1°，

因?yàn)锽EP￡)=0，

所以BE_LP￡)，即

【小問2詳解】

因?yàn)锳B=(a,0,0),

所以ABPD=0，故AB_L?D，所以？。，平面ABE，

b)

故平面配的法向量〃0,}

設(shè)直線PC與平面AB石所成角為巴則：

￡

ab+

T

sin。=|cos<PC,n>\=■；

好R—4

整理得b=2a,即色=1.

b2

20.第19屆亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營(yíng)造全民參與亞運(yùn)、服務(wù)亞運(yùn)、奉

獻(xiàn)亞運(yùn)的濃厚氛圍舉辦“心心相融?愛答亞運(yùn)”知識(shí)挑戰(zhàn)賽.挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂

者輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝.若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每

次答對(duì)問題的概率都是0.5,且每次答題互不影響.

(1)若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？

(2)在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？

(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨(dú)立，當(dāng)戰(zhàn)勝至少三分

之二以上的守擂者時(shí)，則稱該挑戰(zhàn)者勝利.若再增加1位守擂者時(shí)，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?

并說明理由.

【答案】⑴0.25

⑵工

3

(3)沒有增加，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可；

(2)設(shè)P為先答題者獲勝的概率，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式列出方程，進(jìn)而求解；

(3)分別求出增加1位守擂者前后挑戰(zhàn)者勝利的概率，進(jìn)行比較即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)事件A為挑戰(zhàn)者獲勝，事件8為不多于兩次答題比賽結(jié)束.

P(A15)=0.5x0.5=0.25.

【小問2詳解】

設(shè)P為先答題者獲勝的概率，則尸=0.5x(0.5+0.5P),解得尸=；,

所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是』.

3

【小問3詳解】

設(shè)隨機(jī)變量X為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，A為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率;

F為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，6為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率.

—里/咱如陪t

9

￡=P(X27)=C；

顯然，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加.

PX>P2,

21.設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=1,前”項(xiàng)和S“滿足：k[Sn+2an)=+3k(k>0,?>2,weN).

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為〃女),數(shù)列也｝滿足：仇=1,-=m-1)(n>2,neN).求

貼2b也3她6也+1

【答案】21.證明見解析

-1〃(〃+3),("為偶數(shù))

22.

2"+6n+75為奇數(shù))

9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可；

(2)分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)，分別應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即可.

【小問1詳解】

由S]=%=1；令九=2,得左位2+2a2)=3S]+34，

24+3%_2左+3

故％

3kq3k

因?yàn)樽?邑+2a“)=3S“_i+3左，其中左>0,n>2,neN.

所以當(dāng)〃23時(shí)，上(S“T+24_i)=3sA2+3k,

兩式相減得：k(3an-2a._])=34T，

42左+3

整理得：工二—~，(^>3).

4T3k

綜上，數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為一笠士的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

2〃+3

由題意得：f(k)=-------伏>0),

3k

—=f(b)=2%+312

〃八13%廠+下”=1'

un-\)

12n+l

故廠=

b”3

當(dāng),為偶數(shù)時(shí),

]_、

-------------------------1------------------1--+------------———-----------------I-----------------------------J_Q__

她2她她她+i%"Jb4[b3b5)b.1b-i%,

(52〃+1)〃

4(111)4[J32

—十—++一-------X=--n(n+3)

33&bn)32

1____1111

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí),+(-l)K+1

他2b力3b3b4她什1

2

=二(〃—1)(〃+2)+&±L2n+6n+7

9339

2/、

一§i+3)，e為偶數(shù)）

1____111

綜上:1+(-l)"+1

l

他2b2b3地她+12n+6n+7（“為奇數(shù)）

9'

22.已知aeR,函數(shù)/（x）=q+lnx,g（x）=ar-lnx-2.