2023年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

γ_?

1.（4分）已知集合P={x∣∕0g2X>l},Q=（χ∣f?≤°}>則（CRP）∩Q=（）

A.[-2,2]B.（-2,2]C.[0,2]D.（0,2]

2.（4分）已知復(fù)數(shù)次-4+（a-2）i是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），貝IJa=（）

A.2或-2B.2C.-2D.0

11

3.（4分）若X,y為實數(shù)，則:VJ是"log2Λ>log2>,n的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（4分）如圖，梯形ABCO是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中NA8C=45°,AB

=AD=I9DC-LBC9則原圖形的面積為（）

A.1+~2^B.2+~2^C.2+V∑D.1+?[Z7

2%—y≥0

5.（4分）若實數(shù)x,y滿足y≥x,且z=3x+y的最大值為8,則實數(shù)m的值為（）

y≤-%+2m

A.0B.1C.2D.3

6.（4分）設(shè)山，幾是不同的直線，ɑ,β為不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若0（_1_3，α∏β=π,m.Ln,則〃?_La

B.若a∏β=",m//tι,m∕∕a9則相〃β

C.若〃ZUCG"ua,m∕∕β,n//β,則a”β

D.若〃?〃〃，ι∏.La,π±β,則a〃p

7.（4分）圖象為如圖的函數(shù)可能是（）

B.f(X)=sin(sirυc)

C.f(X)=CoS(Siar)D.f(X)=Cos(COSX)

%2y2

8.（4分）已知雙曲線國一Q=I（a>o,

b>0）的左、右焦點分別為F1,F2,過Fl且斜

率為-3√7的直線與雙曲線在第二象限的交點為A,若（Fj?+M）?Q=0,則此雙曲

線的漸近線為（）

?,47

A.y=±xB.y=±√2xC.y=±yXD.y=±√3x

9.（4分）若正實數(shù)X,y滿足孫（x+y）=4,則2x+y的最小值為（)

A.3B.2√2C.2√3D.3√2

10.（4分）如圖，棱長為4的正方體A6CZ）-AIBICIOI,點A在平面ɑ內(nèi),平面ABCD與

平面ɑ所成的二面角為30°,則頂點Ci到平面a的距離的最大值是（)

D.2(√2+l)

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

(2a-ly)x,x>l

11.(6分)己知〃∈R,函數(shù)/(%)=1,若對任意的制，X2∈(0，+8)

logax—?,0<x<1

且X1≠X2,都有Cn-X2)(/(Xl)--(X2))<0,則/(1)=,實數(shù)。的取值

范圍為-

12.(6分)已知a>b>l,若Iogab+logM=學(xué)，且/=/,則Q=；b=.

13.(6分)己知?！蔙(i=0,L…，10),若(x2+x-2)'=Qo+aιχ+a2x2+???+mθχ∣°,則0+a2+…

+?9=,a?=.

14?(6分)一個袋中共有10個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球，

27

得到黑球的概率是J從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是J,則白球的

個數(shù)為;從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為G則隨機變量孑的數(shù)學(xué)

期望&=.

15.(6分)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今己有IoOO多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)

工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放

在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離

為2,陽光照射抽紙傘在地面形成了一個橢圓形影子(春分時，北京的陽光與地面夾角為

60°),若傘柄底正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為

16.(6分)已知函數(shù)f(x)=Wl，點O為坐標(biāo)原點，點An(n,?(n))(∏≡N*),向量i=(0,

1),。"是向量。7n與i的夾角，則竺答+沼?+…+c°s?θ22的值為_______.

sιnθ1sιnθ2sιnθ2022

17.(6分)如圖，已知點O,A,B,C(順時針排列)在半徑為2的圓E上，將6?順時針

旋轉(zhuǎn)90。，得到小，則|力.亦|+|或＞辦|的最大值為

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.設(shè)448C內(nèi)角A,B,C的對邊分別為4,b,c,函數(shù)F(X)—2sin(X-A)COSX+sinA.

(1)若,f(0)=-?,α=3,b=l,求aABC的面積;

(2)當(dāng)X=瑞時，f(x)取最大值，求/(x)在(0,今上的值域.

19.如圖，四棱錐P-ABCO的底面ABeO是直角梯形，附，平面ABC。，ABlAD,AB//

CD,AB=AD^AP=^DC^1,點E為棱PC的中點.

(1)證明：BEYCD；

2

(2)若點F為棱尸C上一點，且AF與平面ABCD所成角的正弦值是求二面角F-AB

20.已知數(shù)列｛斯｝的前“項和S”滿足4斯-2SZI+"2-3"-4=0,n∈N*.數(shù)列出”｝滿足歷=1,

,

2‰+ι=anbn>H∈N?

(1)求證：數(shù)列｛〃,「"｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛金｝的通項公式；

(2)求證：兒+ι>兒》3-需，"∈N*.

21

21.已知0(0,0),￡(-1,0),F(1,0),圓。：x2+y2=4,拋物線C2：V=2pχ(p>

0),過尸的直線與拋物線C2交于A,B兩點，且&?0?=-p2.

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線AE與圓Cl交于M,N兩點，記aAOB面積為Si,AMON的面積為$2,求

Sι?S2的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=f+ajc+b,a,8eR的圖象記為曲線E.定義函數(shù)6(x)=于3+f'

(X).

(1)過點-|)作曲線E的切線，證明這樣的切線有且僅有兩條.

(I)求a+26的值；

(")若點A在曲線后上，對任意的x∈[0,1],求證：/(Λ)+k∕+3?+l∣+∣≥0.

(2)若，2/(x)-X3對x∈R恒成立，求αb的最大值.

2023年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(4分)已知集合P={xRog2%>l},Q={X?≤O},則(CRP)CQ=()

A.[-2,2]B.(-2,2]C.[0,2]D.(0,2]

【解答】解：由尸中不等式變形得：logκ>l=log22,

整理得：x>2,

.?.P=(2,+8),

.?.CRP={X∣ΛW2},

由。中不等式變形得：(χ-3)(x+2)WO且x+2N0,

解得：-2<xW3,即Q={x∣-2<xW3},

則(CRP)CQ=(-2,2],

故選：B.

2.(4分)已知復(fù)數(shù)Jr+(α-2)i是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，貝IJa=()

A.2或-2B.2C.-2D.0

【解答】解：?.?復(fù)數(shù)“2-4+(?-2)i是純虛數(shù)，

產(chǎn)\4=0,解得。=-2.

(Q-2≠0

故選：C.

3.(4分)若X,y為實數(shù)，則“一V一”是“l(fā)og?>log2y”的()

Xy

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11

【解答】解：當(dāng)一V-時，則yVχV0或x>y>0,當(dāng)yVxVO時，XV0,y>0,Iogzx無

Xy

意義，故充分性不成立，

11

當(dāng)log2x>log2y時，則x>y>0,則以VJ則必要性成立，

11

故"一〈一"是"k>g2X>lθg2)/'的必要不充分條件.

%y?

故選：B.

4.（4分）如圖，梯形ABef）是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中NABC=45°,AB

=AD=LOdBC,則原圖形的面積為（）

萬I?

A.1+B.2+C.2+V2D.1+V2

【解答】解：根據(jù)題意可得，因為乙4BC=45°,AB=AD=則8C=1+芋，

平面圖形直觀圖定義可得，原圖中A'B'LB'C',A'B'=2,Λ,D'=1,B'C

-√2

-11+T'

則原圖面積為（1+1+孝）×2×i=2+^,

故選：B.

2x-y≥0

5.（4分）若實數(shù)x,y滿足y≥x,且z=3x+y的最大值為8,則實數(shù)機的值為（）

.y≤—X+2m

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：作出不等式組對于的平面區(qū)域如圖:

?.?z=3x+y的最大值為8,即3x+y=8,

且y=-3x+z,則直線y=-3x+z的截距最大時，z也取得最大值,

則不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域在直線y=-3x+z的下方，

X

由募+y=8,解得

S∣JB（2,2）,

此時B也在直線y=-x+2m上，

即2=-2+2%,

解得m=2,

故選：C.

6.（4分）設(shè)m,〃是不同的直線，α,β為不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若aJ_p,a∩β=H,m.Ln,則加_La

B.若a∩β=%nι∕∕n,m∕∕af則加〃β

C.若mUa,〃ua,m//β,n//β,則a〃p

D.若m〃〃,mλ-CL,n±β,則（1〃B

【解答】解：對于A,若a,β,a∩β=小mVn,則m與a可能垂直，也可能不垂直,

故A錯誤，

對于8,若a∏B=",m//∏fnι∕∕at則根有可能在平面β內(nèi)，故8錯誤，

對于C,若加ua,n?a,機〃β,幾〃β,當(dāng)機〃〃時;不能得到a〃β,故C錯誤，

對于￡）,若加〃Zbm.La,則〃_La,又因為〃_L0,所以a“β,故。正確，

故選：D.

7.（4分）圖象為如圖的函數(shù)可能是（）

A.f(x)=Sin(COSX)B.f(X)=Sin(sin?)

C.f(X)=COS(SiIIr)D.f(X)=COS(COSX)

【解答】解：由已知圖象關(guān)于y軸對稱，可得該函數(shù)為偶函數(shù),

而f(x)=Sin(SinX)的定義域為R,滿足f(-χ)=sin(sin(-x))=sin(-sinx)=

-/(x),/(x)=sin(sinx)為奇函數(shù)，可排除選項8；

由/(x)=COS(SirLt),sinr∈[-1,1],可得/(x)=sin(CoSX)的值域為[cosl,1],不

滿足圖象，可排除選項C：

由/(x)=Cos(COS?),cosx∈[-L1],可得/(x)=cos(COSX)的值域為ICOSI,1],不

滿足圖象，可排除選項D

故選：A.

X2y2

8.(4分)己知雙曲線和-=l(α>0,b>0)的左、右焦點分別為F?,F,過Fl且斜

αzD7z72

率為一3√7的直線與雙曲線在第二象限的交點為A,若(Fj2+M)?F√1=O,則此雙曲

線的漸近線為()

A.y=+xB.y=±y∕2xC.y=+-??D.y=±V3x

【解答】解：因為點=Fl-FF2，

所以(FF2+M)-或=(F?+Q)(FZ-FF2)=IMI2-∣?l=O-

所以IFlAI=IFIF2∣=2C,IFMI=2α+∣F∣A∣=2α+2c,

設(shè)直線的傾斜角為α,則乙4F∣∕?=α,

所以卜a華=-3",解得c。Sa=

Ic>τ>^∕v-Lrr?-1O

MFlI2+∣FlF2/一|4尸2r_4c2+4c2-(2a+2c)2

則COS乙4&F2=

2μF1∣∣F1F2∣2?2c?2c

可得a=gc,

所以b=^c,

故2=?/?,

a

則漸近線方程為y=±√3x.

故選：D.

9.(4分)若正實數(shù)X,y滿足W(x+y)=4,則2x+y的最小值為()

A.3B.2√2C.2√3D.3√2

【解答】解：正實數(shù)X,y滿足沖(x+y)—4,

則(2x+y)2=y2+4x(x+y)=y2+y=y2+^+^≥3^y2-?-?=12,

當(dāng)且僅當(dāng)y=2時取等號，此時X=B-I,

所以2r+y≥2√3.

故選：C

10.（4分）如圖，棱長為4的正方體ABCO-AIBIClCl,點A在平面α內(nèi)，平面ABCZ）與

平面a所成的二面角為30°,則頂點Cl到平面a的距離的最大值是（）

【解答】解：如圖所示，過Cl作CIoJ_a,垂足為E,

則CIE為所求，NAoE=30°,

由題意，設(shè)CO=x,則AO=4√Σ-X,

CIo=√16+ΛΛOE=∣OA=2√2-?v,

ΛCiE=√16+x2+2√2-∣x,

令）,=√16+X2+2√2—??,

則y'—,x—?=0>可得X=金,

J16+X22B

.?.x=??,頂點Cl到平面a的距離的最大值是2（百+√Σ）.

故選：B.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

（2a—1）X∕x>l

11.（6分）已知a∈R,函數(shù)f（%）=1，若對任意的Xi,X2∈（O,+o°）

logax—w,0<x<1

且Xg2,都有（XLX2）"（XI）-f6））＜0,則/（1）實數(shù)。的取值范

1

圍為z

<-

xO,3

【解答】解：將X=I代入/(x)=IogflX-?,得到F(X)=IogflI-?=-?;

因為對任意的XI，X2∈(0,+8)且X]≠X2,都有(XL尢2)(/(??)-/(X2))<0,

所以/(x)在(0,+°o)上單調(diào)遞減，

'2Q-KO

只需IOvaVl,解得α∈(0,口，

13

-3≥(2。-1)X1

11

故答案為：—*(0,

?3

12.(6分)已知。>b>l,若Ioga從?logΛα=孚且CP=∕Λ則Q=_3√3-;b=_V3_.

【解答]解：?ɑ>?>l,得logqb∈(0,1),

令TOgab=f,由IOga/?+IOgM=學(xué)，得什"=學(xué)，

即3尸-10/+3=0,解得，=/或/=3(舍),

由t=?ogah=4，得h=Va,即α=ZA

ba3

代入a=bf得(/)b=膽,即?=3?,

Λ?2=3,得b=√3,a=(√3)3=3√3.

故答案為：?v?;v?.

13.(6分)已知"j∈R(i=O,1,…，10),若(x2+x-2)5="o+mχ+Q2Λ2+…+αιox∣°,則α1+c∣2+…

+?9=31,a?=80.

22

【解答】解：V(X+X-2)5=α)+α]χ+α2?v+???+4]0χi°,

令X=0,可得QO=-32,mo=Cj=I,

再令X=1,可得-32+α1+。2+…+々9+1=O'

，m+々2+…+〃9=31?

???。1為X的系數(shù)，故在(?-2)5Φ,有1個因式取X,其余的4個因式取-2；

Λαι=Cl?(-2)4=80,

故答案為：31；80.

14.（6分）一個袋中共有10個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球,

27

得到黑球的概率是g;從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是g,則白球的

個數(shù)為5；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為；，則隨機變量；的數(shù)學(xué)期

3

望2—,

【解答】解：設(shè)白球的個數(shù)為y,

7

又從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是K

9

,∣cy+cycιθ-y7z≡<

則tπ----?--------=解ft得2y=5,

cιo9

所以白球的個數(shù)為5；

由題意可知，W的可能取值為0,1,2,3,

3

所以尸G=O)=導(dǎo)=*,

cIO

r

P(Al)=^=4，

cIO

P(A2)=警=務(wù)

cIO

p9=M=各

cIO

則隨機變量m的分布列為：

ξ0123

P1551

12121212

貝IJE(ξ)=OX?j~2+?X-∣2+2x~γ2+3x

故答案為：5；|.

15.（6分）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有IOOO多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)

工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放

在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離

為2,陽光照射抽紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為

60°）,若傘柄底正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為_^-V3_.

【解答】解：如圖:

傘柄底正好位于該橢圓的左焦點，且左焦點到右頂點的距離為2√Σ即α+c=2√∑,

2a4

在BC中，由正弦定理得

sin(60o+45o)sin60o'

2乂(竽＞＜竽+*X竽)_3＞∕Σ+乃

.?.e=2√2-=冬也，.?.該橢圓的離心率為e=^==2-√3.

a3√2E+√l6

故答案為：2—Λ∕3.

16.（6分）已知函數(shù)/（x）=SP點。為坐標(biāo)原點，點A〃（m/（〃））（∕ι∈N*）,向量i=（0,

2022

1）,?！ㄊ窍蛄俊ｊ膳c，的夾角,則普+普+…+駕絲的值為

-2023-

sιnθ1sιnθ2sιnθ2022

【解答】解：由題意可得90。-?！ㄊ侵本€04的傾斜角,

.cosθsin(90o-θ)

........-n=---------------n--=tan(90

sιnθncos(9Q°-θn)

一/5)=1=1__L

nn(n+l)nn+l,

.COSθCOSθCOSθQ22

??1+2+…+2

sinθ1sinθ2sinθ2022

=1-1+1_1+*二___________1_

~l2^r2可十…十20222023

1_2022

1-2023=2023'

2022

故答案為:

2023

（順時針排列）在半徑為的圓上，將而順時針

17.（6分）如圖，已知點。，A,B,C2E

旋轉(zhuǎn)90°,得到后，則|方40P?+?0C-辦I的最大值為16

【解答】解：過4作AF交直線OP于點F,過C作C。交直線。尸于點。,

貝而?0P∣=∣(0F+FA)-0P?=?0F-OP+FA-0P?=?0F??0P?,

?0C?0P?=?(0D+DC)-0P?=?0D-OP+DC-0P?=?0D??0P?,

由已知可得∣t?∣=I晶I≤4,當(dāng)且僅當(dāng)OB為直徑時取等號，

X∣0F∣+∣0D∣≤4,當(dāng)且僅當(dāng)AC為直徑且hIlb時取等號，

則|后-OP?+?OC-0P?=(∣0F∣+∣0?∣)X?0B?≤4×4=16,

BP∣OΛ-OP?+?OC?辦I的最大值為16,

故答案為：16.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.設(shè)AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,函數(shù)/(x)=2sin(X-A)cosx+sinA.

1

(1)若(O)=—右a=3,h=?,求AABC的面積；

(2)當(dāng)X=卷寸，/(x)取最大值，求/⑴在(0,舒上的值域.

【解答】解：(1)因為/(x)=2sin(X-A)cosx÷sinA,

1

所以7(0)=-2sinA÷sinA=-SilIA=一3

所以sinA=?,

由A為三角形內(nèi)角可得A=尚或空，

66

當(dāng)A=看時，由正弦定理可得SinB=駕且=?∣J

所以cosB=」當(dāng)，

O

=sinBcosA+sinAcosB=基繆+梟√3+√351

所以SinC=Sin(A+B)-,

ZoZ―6×2

此時AABC的面積S=?sinC=∣×1×3×竺座×1=”座;

ZZOZo

當(dāng)A=爭寸，由正弦定理可得SinB=變學(xué)='=去

所以cosB=

o

=SinBCOSA+SiMcosB=*

所以SinC=Sin(A+B)

此時BC的面積S=?sinC=∣×1×3×=立駿3

ZZ塔IZt一O

(2)因為/(x)=2sin(X-A)cosx+sinA=2sin(.χ-A)COSX+sin[X-(X-A)]=2sin(X

-A)cosx+siavcosCχ-A)-Sin(X-A)CoSX=Sin(X-A)cosx+siaxcos(X-A)=sin

(2χ-A),

當(dāng)X=需時，∕∞取最大值，

所以2x—A=?+2fcττ,k6Z,

所以A--2kττ+^?,?∈Z,

由A為三角形內(nèi)角得A=3，f(?)=Sin(Zr-E),

由x∈(0,今)可得—號＜2x—mV號，

所以一亨VS?ι(2%—?)≤1,即函數(shù)的值域為(―??1].

19.如圖，四棱錐P-A5C。的底面A5C。是直角梯形，陰，平面43。。，ABLAD,AB//

1

CD,AB=AD=AP=^DC=If點E為棱PC的中點.

(1)證明：BE-LCD；

2

(2)若點尸為棱PC上一點，且AE與平面ABa)所成角的正弦值是9求二面角產(chǎn)-AB

-P的余弦值.

P

E

B

【解答】解：(1)證明：：外，平面48CD,ΛB?T?fflABCD,ADU平面ABC￡),

：.APLAB,AP±AD,?'AB±AD,：.AP,AB,AO兩兩垂直，

以A為原點，A3為X軸，Ao為y軸，4尸為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

11

A(0,0,0),S(1,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),ΛE(1,一,-),

22

→11→

：.BE=(0,-,-),CD=(-2,0,0),

22

.".BE-CD=0,.?BE±CD.

(2)解：由已知，設(shè)B=>l(?,(OW入〈1),設(shè)F(x,y,z),

由(1)知，CF=(x-2,y-1,z),CP=(-2,-1,1),AB=(1,0,0),

"：CF=λCP,：.(χ-2,y-l,z)=(-2λ,-λ,λ),

解得x=2-2入，y=l-入，Z=入，：.F(2-2λ,I-入，入)，

：.AF=(2-2入，I-λ,人)，

?.?Λ4J"平面A8Cf>,：.AP=(0,0,1)是平面ABC。的一個法向量,

設(shè)4尸與平面ABCD所成角為。，

∣.?AF-AP??λ?2

則mιsin。ω=?;~√-=7S=可，

?AF?-?AP?J(2-2Λ)2+(1-Λ)2+Λ2

?→212

解得入=J或入=2(舍)，?"F=(-，-),

3333

設(shè)平面以B的法向量7=(x,y,z),

∕→T

n?AB=X=OT

則rιlT→212，取rrz=l,得ZI=I九=(0,-2,1),

n?AF=2x÷÷?z=0

???AOJ_平面ABP,???平面ABPr法向量蔡=(0,1,0),

設(shè)二面角F-AB-P的平面角為θ,

則二面角F-AB-P的余弦值為：

20.已知數(shù)列｛斯｝的前"項和S"滿足4斯-2SZI+"2-3”-4=0,n∈N*.數(shù)列｛瓦｝滿足4=1,

2,nbn+↑=Clnb∏yTlGN.

(1)求證：數(shù)列｛“??〃｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)求證：b,∣+ι>b會3-等,"∈N*.

【解答】(1)證明：當(dāng)〃=1時，4aι-2Sι+l2-3-4=0,即αι=3,

22

當(dāng)〃22時，4an-2Sn+n-3n-4=0,4αn.ι-2Sn-ι+(π-D-3(n-1)-4=0,"∈N*,

所以4-斯-1)-2a∏+2n-4=0,整理得an=2an-1^π+2,

所以斯-九=2[即-I-(/7-1)],

又0-l=2W0,

故Qn~

w

所以｛〃“-〃｝為首項是2,公比是2的等比數(shù)列，所以如F=2〃,BPaw=2+n.

(2)證明：由題意得匠+1=(1+共)bn，所以力〃+1與為同號，

又因為Zη=l>O,所以加>0,

即bn+?-bn-云/>0,即bn+?>bn,

所以數(shù)列｛。〃｝為遞增數(shù)列，所以氏2bι=l,

即MH-〃〃=去方〃≥去，累加得:bn-bl≥,+蓑+.?.+

?r1.2H-I

令r刀尸/修+…+Tjrp

IT1.2..n-l

5"=7+/+…+丁’

兩式相減：-‰=I++P+.??+

所以TjJ=2—￡號,所以b”，3—∏所以b∏+ι>bn23-:

2〃一?2“?2〃?

21.已知O(0,0),￡(-1,0),F(1,0),圓Ci：x2+√=4,拋物線C2：y2=2px(p>

0),過尸的直線與拋物線C2交于A，B兩點,且扇?0?=-p2.

(1)求拋物線的方程;

(2)若直線AE與圓Cl交于M,N兩點，記AAOB面積為Si,Z?MON的面積為S2,求

S1?S2的取值范圍.

【解答】解：(1)設(shè)A(X”yι),B(X2，”)，直線AB的方程為X=,町+1,

聯(lián)立1%2,消去X,整理得>2-20ny-2p=0,所以yι+)2=2p∕n,yιγ2=-2p,

Iy=?px

2

因為。A?OB—X1X2+y1y2—(U2)2+y1y2=1_2P=—p,

解得P=L

所以拋物線的方程為：√-2Λ;

(2)由y?+y2=2pm,y?yι=-Ip,

AA_______________________

2

所以Sl=2×?0A?×∣yi-y2∣=2×J(%+及)2—4y,2=√2+m,

設(shè)直線AE的方程為x=〃y-1,即χ-"y+l=O,則原點到直線AE的距離d=下^

J1+∏2

∣4n2+31......,√4n2+3

所以IMNl=2√4-d2=2×:>?7ΓSc2=2X∣MN∣xd=?^-,

n+m

聯(lián)立憶黑;，則“一號1,所以(二一)2=2X時%

2kn-τnyn—m

y=------

/1n—m

貝!|“2-,”2=2,∕Z2,

RitWcCΓ~z4?n2+3n2(4n2+3)

所以SI?S2=√∏2???=/24、2,

Q(n+1)Q(*+1)

令〃2+ι=r,f》3,O<|≤?,

所以S],S2—一.+4∈[-l^-,2)1

綜上可知，Si?S2的取值范圍為[孚，2).

22.已知函數(shù)/(x)=xi+ax+h,a,昵R的圖象記為曲線E.定義函數(shù)〃(x)=/(x)+f'

(X).

(1)過點-$作曲線E的切線，證明這樣的切線有且僅有兩條.

(Z)求a+2b的值;

1

(z7)若點A在曲線E上，對任意的x∈［0,1］,求證：f(x)+∣tz+3?+l∣+i≥O.

(2)若，2∕(x)-?對x∈R恒成立，求出?的最大值.

【解答】解：(1)(i)V/(x)=xi+ax+b,Cb?∈R,

:?f(x)=3x2+α

設(shè)切點為(X0，卻)，