2024屆赤峰市高三數(shù)學(xué)（文）下學(xué)期開學(xué)檢測(cè)考試卷（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第I卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．2 D．3．某企業(yè)舉辦冬季趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(jī)(單位：個(gè))分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．C．

D．

5．已知函數(shù)有極值，則（

）A．1 B．2 C． D．36．已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．7．已知，則的概率為（）A． B． C． D．8．某班級(jí)舉行“變廢為寶”手工活動(dòng)，某學(xué)生用扇形紙殼裁成扇環(huán)(如圖1)后，制成了簡(jiǎn)易筆筒(如圖2)的側(cè)面，在它的軸截面中，，，則原扇形紙殼中扇形的圓心角為（

）A．B．C． D．9．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，，，則的外接圓半徑為（

）A． B． C． D．10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．111．已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．12．折紙既是一種玩具，也是一種藝術(shù)品，更是一種思維活動(dòng).如圖，有一張直徑為4的圓形紙片，圓心為，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，折疊紙片，使得圓周上某一點(diǎn)剛好與點(diǎn)重合，記此時(shí)的折痕為，點(diǎn)在上，則的最小值為（

）

A．5 B．4 C．3 D．2第II卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若，則．14．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為．15．已知單位向量滿足，則.16．已知函數(shù)的最小值為-1，則.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．某校為了解該校男生的身高情況，隨機(jī)抽取100名男生，測(cè)量他們的身高（單位：厘米），將測(cè)量結(jié)果按分成六組.得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該校男生身高的中位數(shù)；(2)若采用分層抽樣的方法從身高在和內(nèi)的男生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人的身高在內(nèi)的概率.19．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.(1)證明：平面.(2)若，求三棱錐的體積.21．已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是．(1)求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知，且．(1)證明：；(2)求的最小值．1．D【分析】先求出集合，再由交集定義求交集.【詳解】由題意可得，則.故選：D2．B【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算以及模的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.3．C【分析】將數(shù)據(jù)從小大大排列即可得解.【詳解】將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小大大排列為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故選：C.4．B【分析】由奇偶函數(shù)的定義可排除A，當(dāng)時(shí)函數(shù)值為負(fù)數(shù)排除選項(xiàng)CD，再利用導(dǎo)數(shù)法驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以函?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)CD，又，記，則，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.故選：B5．B【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)解方程即可.【詳解】由題目條件可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得.故選：B6．C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合“點(diǎn)差法”，即可直線的斜率，得到答案.【詳解】設(shè)，代入拋物線，可得，兩式相減得，所以直線的斜率為，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，可得，所以，即直線的斜率為.故選：C.7．C【分析】由題意解三角不等式得，結(jié)合幾何概型即可得概率.【詳解】由，得.因?yàn)?，所以，則所求的概率.故選：C.8．B【分析】易得圖1中小扇形和大扇形的弧長(zhǎng)設(shè)扇形的圓心角為，小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】由題意圖1中小扇形的弧長(zhǎng)為，大扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)扇形的圓心角為，小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，所以，解得，所以原扇形紙殼中扇形的圓心角為.故選：B.9．C【分析】先由余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以由余弦定理可得，所以，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，即.則的外接圓半徑為.故選：C10．C【分析】先得表達(dá)式，然后結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式即可求解.【詳解】由題意，令，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，且，若在上單調(diào)遞增，則，解得，即的最大值為.故選：C.11．C【分析】首先得，進(jìn)一步得焦距，由雙曲線定義結(jié)合得，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】由題意，所以，因?yàn)?，所以，而，所以，所以的面積為.故選：C.12．D【分析】利用對(duì)稱性，兩點(diǎn)之間，線段最短得到答案.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則在圓上，連接，，則有，故.

故選：D13．##【分析】利用二倍角的正切公式及兩角差的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.14．.【分析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再結(jié)合截距的幾何意義求解即可.【詳解】如圖所示，作出不等式的可行域?yàn)椋?lián)立，解得，即，由，得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：.15．【分析】由，兩邊平方得，計(jì)算即可.【詳解】單位向量，有，由，得，所以，則，故.故答案為：16．2【分析】由題意得出函數(shù)在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榈淖钚≈禐?1，所以函數(shù)在上取得最小值-1，則，解得.故答案為：2.17．(1)(2)【分析】（1）由之間的關(guān)系即，時(shí)，即可求解.（2）由裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.（2）由題意，所以.18．(1)155.625厘米(2)【分析】（1）首先判斷該校男生身高的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該校男生身高的中位數(shù)為，則，解得即可；（2）分別求出身高在、內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以該校男生身高的中位?shù)在內(nèi).設(shè)該校男生身高的中位數(shù)為，則，解得，即該校男生身高的中位數(shù)約為厘米.（2）由題意可知從身高在內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)為，記為，從身高在內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)為，記為，從這5人中隨機(jī)抽取2人的情況有共10種，其中符合條件的情況有共7種，故所求概率.19．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）若，則，，故，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）恒成立，即，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理先證出平面，再證得平面；（2）利用間接法，求體積.【詳解】（1）記.因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平?（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是3.因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為4的菱形，且，所以，則四棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，故三棱錐的體積.21．(1)(2)存在滿足【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)，從而得到定點(diǎn)與定值.【詳解】（1）由題意可得，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，代入得，設(shè)，，，則，，∴，若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點(diǎn)滿足.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．(1),(2)【分析】（1）由即可轉(zhuǎn)換求解；（2）先得圓的圓心半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線距離