2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)

試卷（五四學(xué)制）

考試注意事項(xiàng)：

1、考生須誠(chéng)信考試,遵守考場(chǎng)規(guī)則和考試紀(jì)律，并自覺(jué)服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等信息；考試中途考生不準(zhǔn)以

任何理由離開(kāi)考場(chǎng)；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答（作圖可使用鉛筆），不準(zhǔn)用規(guī)定以外的筆

答卷，不準(zhǔn)在答卷上作任何標(biāo)記?？忌鷷鴮懺诖痤}卡規(guī)定區(qū)域外的答案無(wú)效。

4,考試開(kāi)始信號(hào)發(fā)出后,考生方可開(kāi)始作答。

一、選擇題（每小題3分，共計(jì)30分）

1.如圖所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.方程V=3x的解是（）

A.x=3B.七=0,》2=3

C.X|=0,X2=-3D.xi=l,洶=3

3.已知函數(shù)、=（m-3）乂心7是二次函數(shù)，則機(jī)的值為（）

A.-3B.±3C.3D.±77

4.。。的半徑為5,同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P,且0尸=7,則P與。。的位置關(guān)系是（）

A.P在圓內(nèi)B.尸在圓上C.P在圓外D.無(wú)法確定

5.已知y=2%2的圖象是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單

位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（）

A.y=2（x-2）2+2B.y=2（x+2）2-2

C.y=2（x-2）2-2D.y=2（x+2）2+2

6.如圖，A、B、C在。。上，NOA8=22.5°,則NACB的度數(shù)是（）

A.11.5°B.112.5°C.122.5°D.135°

7.設(shè)A(-2,力)，8(1,”)C（2,力）是拋物線>=-（x+1）2+2上的三點(diǎn)，則yi，

>2，73的大小關(guān)系為（）

A.B.>'1>73>}?2C.)'3>)'2>為D.>3>月>)'2

8.如圖，以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn).若大圓

半徑為2,小圓半徑為1,則A8的長(zhǎng)為（）

C.娓D.2

9.Q0的半徑為5cm,弦AB//CD,且AB=^cm,CD=6cm,則AB與CD之間的距離為（）

A.1cmB.1cmC.3cm4cmD.1cm或

10.如圖，二次函數(shù)y=or2+〃x+c（QWO）的圖象與龍軸交于點(diǎn)A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

對(duì)稱軸為直線x=-1,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,0）,則下列結(jié)論：①A5=4；@b2-4ac>0；

③ab<0；@a2-ab-^ac<0,其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.已知關(guān)于尢的方程N(yùn)+3x+&2=0的一個(gè)根是-1,則攵=

12.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

13.如圖：P是。0的直徑8A延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交。。于點(diǎn)C,且PC=O￡>,如果/P=

24°,則.

14.如果二次函數(shù)y=N-8x+〃?-1的頂點(diǎn)在x軸上，那么〃2=.

15.如圖，已知一塊圓心角為270°的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽(接縫忽略不

計(jì))，圓錐底面圓的直徑是60c”，則這塊扇形鐵皮的半徑是cm.

16.一種藥品原價(jià)每盒25元，兩次降價(jià)后每盒16元.設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為居可列方

程.

17.如圖，已知。尸的半徑為2,圓心P在拋物線)，=/乂2-1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。尸與x軸相切

時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為.

18.如圖，已知直線>=邑-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C(0,1)為

4

圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB.則△處〃面積的最大值與最小值的差

為

三、解答題(19?24題每題6分，25?27題每題10分，共66分)

19.(6分)解方程：

(1)x2-8x-9=0；

(2)x2-x-1=0.

20.(6分)如圖，ZVIBC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).

(1)請(qǐng)回出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；

(2)請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△A2&Q,并寫出上的坐標(biāo).

21.(6分)如圖，已知二次函數(shù)ynr-Zr-B的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)

C.

(1)將y=N-2尤-3化成y—a(x-h)2+/?的形式；

(2)求點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)；

(3)觀察圖象直接寫出不等式9-益-？〉。的解集.

%

22.（6分）如圖，某漁船向正東方向以12海里時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東

60°方向，1小時(shí)后漁船航行到8處，測(cè)得島C在北偏東30°方向，已知該島C上有一

部信號(hào)發(fā)射塔，方圓20海里內(nèi)的船只能夠收到它發(fā)射的信號(hào).

（1）求8處離島C的距離；

（2）求該漁船在整個(gè)航行過(guò)程中收到島C發(fā)射信號(hào)的時(shí)間.

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時(shí)了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓周

角相等.如圖1,點(diǎn)A,B,C,。均為。。上的點(diǎn)，則有/C=/O.小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)

E在0。外，且與點(diǎn)。在直線A8同側(cè)，則有乙

請(qǐng)你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

問(wèn)題：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系X。），中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,

4）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）在圖2中作出aABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法），并求出此圓與

X軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,當(dāng)N4PB達(dá)到最大時(shí)，直接寫出

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

24.(6分)某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角

三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置，現(xiàn)將RtZ\AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

角a(0°<a<90"),如圖(2),AE與8c交于點(diǎn)M,AC與EF交于點(diǎn)N,BC與

EF交于點(diǎn)P.

(1)求證：AM=AN,

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說(shuō)明理由.

25.如圖，在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為。米的舊墻某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩

形菜園ABC。，其中AOWMN,已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

(1)若“=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長(zhǎng)；

(2)求矩形菜園ABC。面積的最大值.

'L////////，/，.，\

AD

BC

26.如圖，在aABC中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，以。為圓心，OA為半徑作O。，交BC于點(diǎn)

D,交A8于點(diǎn)E,弧ED與弧DC相等，點(diǎn)F在線段8E上，ZBAC=2ZBDF.

(1)求證：AB=AC；

(2)判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并加以證明；

(3)若。。的半徑為5,EB+DF^AO,求BQ的長(zhǎng).

c

\/0h

~/EFB

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB的解析式為y=-3+相，與x軸、y軸分別

4

交于點(diǎn)以點(diǎn)A,拋物線>=以2+云+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與直線AB交于點(diǎn)。，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

4,拋物線的對(duì)稱軸為x=g.

(1)求拋物線的解析式；

(2)動(dòng)點(diǎn)P在直線4c上方的拋物線上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為f,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交

4c于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交4c于點(diǎn)M當(dāng)AM=BN時(shí)，求f值；

(3)點(diǎn)。是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)Q沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，得到△40|8|,

點(diǎn)4、0、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)Ai、01、By.若△401B］的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,

請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)4的橫坐標(biāo).

備圖

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)

試卷（五四學(xué)制）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共計(jì)30分）

1.如圖所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

，?業(yè)

解：A.該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故A不符合題意；

B.該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故3符合題意；

C該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C不符合題意；

。.該圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故。不符合題意.

故選：B.

2.方程N(yùn)=3x的解是（）

A.x=3B.%i=0,工2=3

C.X]=0,X2=-3D.xj=l,X2=3

解：X2=3X,

x1-3x=0,

x（x-3）=0,

x=0,x-3=0,

x?=0,X2=3,

故選：B.

3.已知函數(shù)》=（次-3）X〃2-7是二次函數(shù)，則相的值為（）

A.-3B.±3C.3D.+^7

解：,函數(shù)y=（W-3）爐碓-7是二次函數(shù),

.jm-3產(chǎn)。

"lm2-7=2，

解得：m--3.

故選：A.

4.。。的半徑為5,同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P,且0P=7,則P與。。的位置關(guān)系是()

A.尸在圓內(nèi)B.尸在圓上C.P在圓外D.無(wú)法確定

解：；OP=7>5,

二點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.

故選：C.

5.已知y=*的圖象是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單

位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是()

A.y=2(x-2)2+2B,y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2

解：先將無(wú)軸、y軸的平移轉(zhuǎn)化為拋物線的平移，即可看作把拋物線沿x軸方向向左平移

2個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸方向向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，原拋物線的頂點(diǎn)為(0,0),向左平

移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為(-2,-2).可設(shè)新拋物

線的解析式為y=2(x-h)2+匕代入得：y=2(x+2)2-2.

故選：B.

6.如圖，4、B、C在。。上，/CMB=22.5°,則/AC8的度數(shù)是()

A.11.5°B.112.5°C.122.5°D.135°

解：-：OA=OB,

...NOAB=NO8A=22.5°,

AZAOB=]35°,

在優(yōu)弧AB上任取點(diǎn)E,連接AE、BE,

則N4EB=^N4O3=67.5°,

2

又；NAEB+/AC8=180°，

：.ZACB=\\2.5°,

故選：B.

E

7.設(shè)A(-2,%),B(1,m)，C(2,為)是拋物線丫=-(x+1)?+2上的三點(diǎn)，則力，

丫2，丫3的大小關(guān)系為()

A.>1>先>”B.乃>為>先C.>3>)'2>力D.為>以>丫2

解：

VA(-2,%),B(1,九)，C(2,為)是拋物線丫=-(x+1)2+2上的三點(diǎn)，

：.y1=-(-2+1)2+2=1,>2=-(1+1)2+2=-2,乃=-(2+1)2+2=-7,

Vl>-2>-7,

???)'1>丫2>>3，

故選：A.

8.如圖，以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn).若大圓

半徑為2,小圓半徑為1,則A8的長(zhǎng)為()

解：如圖：連接。P,A0

B

是OO切線

J.OPLAB,

：.AP^PB^—AB

2

在RtzXAP。中，^=VAO2-OP2=V3

；.4B=2料

故選：A.

9.QO的半徑為5cm,弦AB//CD,且AB=ScmfCD=6cm9則AB與CD之間的距離為（

A.1cmB.7cmC.3CT?I或4CMD.Ic，%或7。%

解：①當(dāng)弦4和。。在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過(guò)點(diǎn)。作。FJ_CQ,垂足為R交AB于點(diǎn)E,連接OA,OC,

VAB/7CD,

???OE_LAB,

\*AB=8cm,CD—6cm,

AE=4cm,CF=3cm,

**OA=OC=5cm,

EO=3cm,OF=4cm,

：.EF=OF-OE=\cm；

②當(dāng)弦A和。。在圓心異側(cè)時(shí)，如圖②，

過(guò)點(diǎn)。作OEL45于點(diǎn)E,反向延長(zhǎng)OE交A。于點(diǎn)F,連接OA,OC

U：AB//CD,

：.OFA.CD,

AB=8cm,CD=6cm,

.\AE=4cmfCF=3cm,

,：OA=OC=5cmf

EO=3cm,OF=4cm,

/.EF=OF+OE=lcm.

故選：D.

圖①

10.如圖，二次函數(shù)y=or2+bx+c(aNO)的圖象與X軸交于點(diǎn)A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

對(duì)稱軸為直線工=-1,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論：①A8=4；②從

2

③abVO；@a-ab+ac<Ot其中正確的結(jié)論有()

A?1個(gè)B,2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解：???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0),

???A(-3,0),

：.AB=\-(-3)=4,所以①正確；

??,拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

△=b2-4ac>0,所以②正確；

??,拋物線開(kāi)口向下，

：.a>09

拋物線的對(duì)稱軸為直線》=-￡=-1,

2a

：.b=2a>0,

：.ab>Q,所以③錯(cuò)誤;

Vx=-1時(shí)，y<0,

.\a-b+c<09

而a>0,

:.a（a-b+c）<0,所以④正確.

故選：C.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.已知關(guān)于X的方程/+3X+N=0的一個(gè)根是-1,則k=士、萬(wàn).

解：把x=-1代入方程7+3萬(wàn)+%2=0可得1-3+3=0,解得廬=2,.?.憶=±，萬(wàn).

故本題答案為&=±&.

12.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1,-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,2）.

解：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，

二點(diǎn)（1,-2）關(guān)于原點(diǎn)過(guò)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,2）.

故答案為：（7,2）.

13.如圖：P是的直徑BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，尸。交。。于點(diǎn)C,且PC=O。，如果NP=

24°,則72°.

D

"：PC=OD,

而OC=OD,

:.PC=CO,

AZ1=ZP=24°,

AZ2=2ZP=48°,

而OD=OC,

???NO=N2=48°,

:?/DOB=/P+/D=T2°.

故答案為720.

D

14.如果二次函數(shù))，=？-8x+〃z-1的頂點(diǎn)在x軸上，那么m=17.

解：?.?二次函數(shù)》=大2-Sx+m-1的頂點(diǎn)在x軸上，

...4ac-b2=4(m-l)-(-8)2=o,即4w-68=0,

4a4

.".ni—17.

故答案為：17.

15.如圖，已知一塊圓心角為270°的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽(接縫忽略不

計(jì))，圓錐底面圓的直徑是60c%,則這塊扇形鐵皮的半徑是405?.

解：?圓錐的底面直徑為60c/n,

圓錐的底面周長(zhǎng)為60-nc/n,

，扇形的弧長(zhǎng)為60,irc/n,

設(shè)扇形的半徑為r,

則270兀r=6(斤,

180

解得：r—40cm,

故答案為40.

16.一種藥品原價(jià)每盒25元，兩次降價(jià)后每盒16元.設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x,可列方

程25(1->)2=16.

解：設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為先根據(jù)題意，得

25(1-%)2=16.

故答案為:25(1-%)2=16.

17.如圖，已知OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=/x2-1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。尸與x軸相切

時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為_(kāi)瓜,2),(-、樂(lè)，2).

解：當(dāng)OP與X軸相切時(shí).，尸點(diǎn)縱坐標(biāo)為±2；

當(dāng)y=2時(shí)，^x2-1=2,

解得x=土泥；

當(dāng)尸-2時(shí)，奈-1=-2,

X無(wú)解；

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(娓,2)或(-&，2).

18.如圖，已知直線y=gx-3與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是以C(0,1)為

4

圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB.則△PAB面積的最大值與最小值的差為

解：；直線尸gx-3與x軸、)，軸分別交于A、B兩點(diǎn),

4

???A(4,0),B(0,-3),

???OA=4,OB=3,

由勾股定理可得，48=加2皿2=3+32=5,

過(guò)點(diǎn)C作CM_LAB于點(diǎn)連接AC,

則由等面積法可得，^-AB-CM=^-BC*OA,

22

；.5XCM=4X(3+1),

,?.CM=-1-6-,

5

.?.圓C上的點(diǎn)到直線），=gx-3的最大距離為學(xué)+1="，最小距離為孕-1=圣，

45555

...△E48面積的最大值為￡x5X等=絲，△PAB面積的最小值為［?X5X^=卒,

面積的最大值與最小值之差為：段-普=5,

22

三、解答題(19?24題每題6分，25?27題每題10分，共66分)

19.(6分)解方程：

(1)N-8元-9=0；

(2)/-X-i=o.

W：(1)x2-8x-9=0,

(x-9)(x+1)=0,

.\x-9=0或x+1=0,

.?.修=9,X2=-1；

(2)x2-x-1=0,

這里。=1,b=-1,c=-1,

/.△=b2-4qc=l+5=5>0,

.rl±V5l±V5

2X12

.r_1W51-V5

2x22

20.(6分)如圖，ZVIBC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).

（1）請(qǐng)畫出AABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△AiBiG；

（2）請(qǐng)畫出aABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2&C2，并寫出A2的坐標(biāo).

(2)如圖，AAzB2c2即為所求，乙的坐標(biāo)(-2,2).

-2%-3的圖象與x軸交于點(diǎn)4、B,與y軸交于點(diǎn)

C.

(1)將y—x2-2x-3化成y—a(x-h)2+h的形式；

(2)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(3)觀察圖象直接寫出不等式『-2x-3>0的解集.

=（X-1）2-4,

即y—(x-1)2-4；

(2)令x=0,則y=-3,即該拋物線與y軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)是(0,-3),

令y=0,則X2-2X-3=0,

(x-3)(x+1)=0,

解得知=-1,M=3,

所以該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A(-1,0)、B(3,0).

(3)由拋物線y=N-2r-3開(kāi)口向上，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是4(-1,0)、B(3,0)

可知，

當(dāng)x<-l或x>3時(shí)，y>0,

，不等式W-2x-3>0的解集為-1或x>3.

22.(6分)如圖，某漁船向正東方向以12海里時(shí)的速度航行，在4處測(cè)得島C在北偏東

60°方向，1小時(shí)后漁船航行到8處，測(cè)得島C在北偏東30°方向，已知該島C上有一

部信號(hào)發(fā)射塔，方圓20海里內(nèi)的船只能夠收到它發(fā)射的信號(hào).

(1)求8處離島C的距離；

(2)求該漁船在整個(gè)航行過(guò)程中收到島C發(fā)射信號(hào)的時(shí)間.

C

解：(1)過(guò)C作COJ_AB于。，則C。為漁船向東航行到C道最短距離，

?.?在A處測(cè)得島C在北偏東的60°,

：.ZCAB=3QQ,

又處測(cè)得島C在北偏東30°,

.,.ZCBO=60°,ZABC=l20°,

AZACB=ZCAB=30a,

；.A8=BC=12X1=12(海里)(等邊對(duì)等角)；

(2)以點(diǎn)C為圓心，20海里為半徑作圓，與直線48交點(diǎn)E、F,連接CE,

根據(jù)垂徑定理得：EF—2EO,

在Rtz^BCO中，NCBO=60°,NCOB=90°,BC=12海里，30=6海里,

根據(jù)勾股定理得：co=VBC2-BO2~（海里），

在Rt^ECO中，CE=20海里,C0=6百海里，

根據(jù)勾股定理得：EO=y/CE2_C02=2^（海里），

：.EF=2EO=4^73（海里），

該漁船在整個(gè)航行過(guò)程中收到島C發(fā)射信號(hào)的時(shí)間為4/+12=運(yùn)（時(shí)）.

3

23.（6分）先閱讀材料，再解答問(wèn)題：

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時(shí)了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓周

角相等.如圖1,點(diǎn)A,B,C,。均為。0上的點(diǎn)，則有/C=NQ.小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)

E在。0外，且與點(diǎn)。在直線A8同側(cè)，則有乙0>/￡

圖1圖2

請(qǐng)你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

問(wèn)題：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,

4）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）在圖2中作出aABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法），并求出此圓與

X軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,當(dāng)NAP8達(dá)到最大時(shí)，直接寫出

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：（1）如圖，作AB的垂直平分線，再作BC的垂直平分線，兩線相交于點(diǎn)G,以點(diǎn)

G為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，則G為所作的△ABC的外接圓；

\.

K

_H_7X

過(guò)圓心G作G〃，OC垂足為〃，連接GB、GC,

?；GN_LAB,G”_LAC,AOLOC,

???四邊形GHON為矩形,

：?OH=GN,GN=OH.

丁點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,4),

???QA=10,。8=4,

：.AB=6.

■:GNLAB,

:,BN=AN=3,

：.ON=BN+OB=7,

：.GH=ON=1,

?：GB2^BN2+GN2,GC2=CH2+GH2,GB=GC,

：.Bl^+GN2=Clf+GH2,

?.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),

OC=2.

設(shè)CH長(zhǎng)為x,則GN=OH=x+2,

.\32+(x+2)2=9+72,

，x=9,

?.CH=9,

?：GHA_CK,

：.CH=HK=—CK

2

，CK=18,

；.OK=OC+CK=20,

：.K(20,0),

此圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,0)；

(2)作。。經(jīng)過(guò)4B兩點(diǎn)，與x軸相切于點(diǎn)。，如圖,

???點(diǎn)尸為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

由閱讀材料可得：ZAPB^ZAQB,點(diǎn)尸在切點(diǎn)時(shí)取等號(hào),

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，/APB達(dá)到最大.

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,4),

，。4=10,。8=4,

：.AB=f>.

連接力Q,DA,過(guò)點(diǎn)。作OELA8于點(diǎn)E,則AE=BE=3,

：.OE=1.

*/與x軸相切，

：.DQ±OP.

'：DErAB,AB±OP,

二四邊形QQOE為矩形，

:.DQ=OE=7,OQ=DE.

：.DA=1,

?>-D￡=VDA2-AE2=V72-32=2^10,

。。=2310.

???p(2Vio,o).

...當(dāng)/APB達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2痂，0).

24.(6分)某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角

三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置，現(xiàn)將RtaAE尸繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

角a(0°<a<90°),如圖(2),AE與BC交于點(diǎn)M,AC與EF交于點(diǎn)、N,BC與

EF交于點(diǎn)P.

(1)求證：AM=AN；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角。=30°時(shí)，四邊形A8P廠是什么樣的特殊四邊形？并說(shuō)明理由.

【解答】(1)證明：???用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AbE按如圖

(1)所示位置放置放置，現(xiàn)將RtZXAE/繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a(00<a<90°),

:.AB=AF9/BAM=NFAN,

在△A3M和△ARV中，

<ZBAM=ZFAN

<AB=AF，

ZB=ZF

:.(ASA),

：.AM=AN；

(2)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，四邊形A8P尸是菱形.

理由：連接AP,

VZa=30°,

：.ZFAN=30°,

：.ZFAB=}20o,

VZB=60°,

???NB+NTA3=180°，

J.AF//BP,

AZF=ZFPC=60°,

AZFPC=ZB=60°,

：.AB//FP,

四邊形ABPF是平行四邊形,

'：AB=AF,

,平行四邊形48P尸是菱形.

25.如圖，在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為。米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩

形菜園A8C￡>,其中AOWMN,已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

(1)若。=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻4。的長(zhǎng)；

(2)求矩形菜園A8C。面積的最大值.

//，/，，//

AD

BC

解：(1)設(shè)AB="小貝l」8C=(100-2f)m,

根據(jù)題意得r(100-2f)=450,解得白=5,々=45,

當(dāng)，=5時(shí)，100-2/=90>20,不合題意舍去：

當(dāng)f=45時(shí)，100-2/=10,

答：AD的長(zhǎng)為10m；

(2)設(shè)AO=;i7M,矩形菜園A8CD面積為5,

S=—x(100-x)=-—(x-50)2+1250,

22

當(dāng)a250時(shí)，則尤=50時(shí)，S的最大值為1250；

當(dāng)0<。<50時(shí)，則當(dāng)OVxW。時(shí)，S隨x的增大而增大，當(dāng)工=〃時(shí)，S的最大值為50a

綜上所述，當(dāng)a250時(shí)，矩形菜園ABC。面積的最大值為1250序；當(dāng)0＜。＜50時(shí)，矩

形菜園48CD面積的最大值為(50a--^a2)m2.

26.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，以。為圓心，0A為半徑作。。，交BC于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E,弧EQ與弧0c相等，點(diǎn)尸在線段BE上，NBAC=2NBDF.

(1)求證：AB=ACt

(2)判斷。F與的位置關(guān)系，并加以證明；

(3)若的半徑為5,EB+DF=AO,求8。的長(zhǎng).

.?.NAOC=408=90°,

ZACD+ZDAC=90°=ZABD+ZDAB,

VED=CD-

：.ZDAC=ZDAB,

：.ZACD^ZABD,

：.AB=AC；

(2)解：OF是OO的切線；證明如下:

連接AD,OD,如圖：

：

.ZBAC=2ZDACf

?：NBAC=2NBDF,

:?/DAC=/BDF,

9

：0A=0Df

：.ZDAC=ZODA,

???NODA=NBDF,

VZADB=90°,即,

：.ZODA+ZADF=90°,即NO。尸=90°,

:.OD1,DF,

???。。是G)O的半徑，

???0尸是0。的切線；

(3)解：連接A。，DE,如圖：

c

由（1）（）知，。尸是。的切線，

20AB=ACf

???/04/=/七。尸（弦切角定理），

VZADC=90°,AB=AC,

:?BD=CD,

7CD=ED-

:.CD=ED,

:.BD=ED,

'：ZBDF=—ZBAC=ND4F,

2

???NBDF=/EDF,

：.BF=EF,NDFB=NDFE=90°,

設(shè)BF=DF=x,DF=y,則Ab=A8-8/=10-x,

■:BE+DF=OA=5,

.?.2x+y=5,

.\y=5-2xf

?：/EDF=NDAF,NEFD=NDFA,

:.△EDFs/\DAF,

.\y1=x*(10-x),

把y=5-2x代入得：(5-2x)2=x9(10-x),

解得x=l或x=5(此時(shí)y為負(fù)，舍去)，

/.BF=1,DF=y=5-2x=3,

BD=VBF2+DF2=Vl2+32=；

的長(zhǎng)為百5.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB的解析式為y=-m+m，與x軸、y軸分別

交于點(diǎn)8、點(diǎn)A，拋物線丫=以2+法+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與直線A8交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

4,拋物線的對(duì)稱軸為x=?.

(1)求拋物線的解析式；

(2)動(dòng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3過(guò)點(diǎn)尸作x軸的平行線交

AC于點(diǎn)M