模塊四三角形第六講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用知識梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)1：銳角三角形銳角三角形函數(shù)的定義在中，，，，的對邊分別為，，。的正弦：的余弦：的正切：互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系若則知識點(diǎn)2：特殊角的三角函數(shù)值圖表記憶三角函數(shù)圖形記憶30°45°60°1規(guī)律記憶30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，，；30°，45°，60°角的余弦值分別是60°，45°，30°角的正弦值。知識點(diǎn)3：解直角三角形的常用關(guān)系常見關(guān)系三邊關(guān)系（勾股定理）兩銳角間關(guān)系邊角關(guān)系面積關(guān)系解直角三角形時(shí)的原則：有角求角，無角求邊；有斜用弦，無斜用切；寧乘勿除，取原避中；化斜為直，方程相助。知識點(diǎn)4：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用概念定義圖形俯角、仰角在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.坡度（坡比）、坡角坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面與水平面的夾角α叫坡角,i=tan

α=.方向角一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角(一般指銳角),通常表達(dá)成北(南)偏東(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如圖,點(diǎn)A,B,C關(guān)于O點(diǎn)的方向角分別是北偏東30°、南偏東60°、北偏西45°(也稱西北方向).測量物體高度的常見三角形模型（1）利用水平距離測量物體的高度（）（2）測量底部可以到達(dá)的物體的高度（）（3）測量底部不可達(dá)到的物體的高度（）直擊中考勝券在握1．(2023·天津中考）的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)30°的正切值直接求解即可．【詳解】解：由題意可知，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查30°的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可．2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【答案】C【分析】由勾股定理求出斜邊AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出sinA、tanA、tanB、cosB即可．【詳解】Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，cosB＝＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．3．在Rt中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】因?yàn)锽C＜AC，所以BC不可能為斜邊．即分類討論①當(dāng)AB為斜邊時(shí)，求出AB的值，從而求出；②當(dāng)AC為斜邊時(shí)，也求出AB的值，從而求出．【詳解】當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)AB為斜邊，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴．∴；②當(dāng)AC為斜邊，∠B＝90°，由勾股定理得：，∴；綜上所述，的值等于或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義，理解定義是關(guān)鍵，并注意分類討論．4．在中，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，設(shè)AB=3x，BC=x，勾股定理求出AC，根據(jù)三角函數(shù)的定義求即可．【詳解】解：在中，，，設(shè)AB=3x，BC=x，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)值確定直角三角形三邊關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)的意義計(jì)算．5．(2023·安徽省中考）如圖，中，，點(diǎn)在上，．若，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)，求出AB=5，再根據(jù)勾股定理求出BC=3，然后根據(jù)，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．【詳解】∵∠C=90°，∴，∵，∴AB=5，根據(jù)勾股定理可得BC==3，∵，∴cos∠DBC=cosA=，∴cos∠DBC==，即=∴BD=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的長是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，，于，下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（）個(gè)①圖中有兩對相似三角形；②；③；④若，，則.A．0 B．l C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的有關(guān)性質(zhì)判斷即可；【詳解】根據(jù)，于，圖中相似三角形有△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB，△BDC∽△BCA三對三角形相似，故①錯(cuò)誤；∵，∴，所以，故②正確；∵△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB，∴，所以可得到，故③正確；根據(jù)可得，∵，∴，整理得：，解得：（舍）或，∴，∴，故④正確；故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn)，結(jié)合相似三角形、三角函數(shù)的知識點(diǎn)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．在△ABC中，若|cosA-|+（1-tanB）2=0，則∠C的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°D．105°【答案】【解析】試題分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C的度數(shù)．試題解析：由題意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故選：C．考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；三角形內(nèi)角和定理．【點(diǎn)睛】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對值、乘方、開方、二次根式相結(jié)合．此題考查了特殊角的三角形函數(shù)值及絕對值、偶次方的非負(fù)性，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟記一些特殊角的三角形函數(shù)值，也要注意運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理．8.如圖，在等腰中，，，是上一點(diǎn)，若，則的長為（）.A．2 B． C． D．1【答案】A【詳解】分析：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義建立關(guān)系式然后求解．解析：如圖，作DE⊥AB于E．∵tan∠DBA=

=

，∴BE=5DE．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6

，∴AE+BE=AE+5AE=6

，∴AE=

，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故選A.9．(2023·云南中考）在中，，若，則的長是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．(2023·桂林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作PM⊥x軸于點(diǎn)M，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．【詳解】解：作PM⊥x軸于點(diǎn)M，∵P（3，4），

∴PM=4，OM=3，

由勾股定理得：OP=5，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，一個(gè)角的正弦值等于它所在直角三角形的對邊與斜邊之比．11．(2023·金華中考）如圖是一架人字梯，已知米，AC與地面BC的夾角為，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余弦的定義即可，得到答案．【詳解】過點(diǎn)A作，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，明確等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(2023·宜昌中考）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)公式計(jì)算即可．【詳解】解：作AD⊥BC于D，由圖可知：AD=3，BD=3，在Rt△ABD中，，∴=，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查求角的余弦值，勾股定理求邊長，正確構(gòu)建直角三角形并熟記余弦值公式是解題的關(guān)鍵．13．(2023·福建中考）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測量儀器測得．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個(gè)銳角，求斜邊的長．【詳解】，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵．14.(2023·吉林長春中考）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為30米，，則纜車從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，上升的高度（BC的長）為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜邊AB，求∠BAC的對邊，選擇∠BAC的正弦，列出等式即可表示出來．【詳解】在Rt△ABC中，,即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是根據(jù)解三角函數(shù)的定義，列出方程．15．(2023·重慶A卷）如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離，在坡頂D點(diǎn)處測得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【答案】B【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計(jì)算出DE、EC、BE、DF、AF，進(jìn)而求出AB．【詳解】解：如圖，由題意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在RtDEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴＝＝，設(shè)DE＝4x，則EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在RtADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系是正確計(jì)算的前提．16．(2023·隨州中考）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為時(shí)，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)處，底端落在水平地面的點(diǎn)處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為，已知，則梯子頂端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【答案】C【分析】根據(jù)梯子長分別利用三角函數(shù)的正弦定義求出CD=CEsinβ與AD=ABsinα，兩線段作差即可．【詳解】解：如圖所示標(biāo)記字母，根據(jù)題意得AB=CE=10米，∵sinβ，在Rt△ECD中，sin，∴CD=，在Rt△ABD中，sin，∴，∴AC=CD-AD=8-6=2．故選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解直角三角形，掌握正弦與余弦的平方關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．17．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，則BD的長度為_____．【答案】【分析】在中，由三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函數(shù)求得BD．【詳解】解：，，，，，，故BD的長度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是解直角三角形．18．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是___________.【答案】2【分析】如圖，取格點(diǎn)H，連接AH，BH，證明∠AHB=90°，CD∥BH，可得∠APD=∠ABH，即可求出答案.【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)H，連接AH，BH，∵DH=CB，DH∥CB，∴四邊形DHBC是平行四邊形，∴CD∥BH，∴∠APD=∠ABH，∴tan∠APD=tan∠ABH；∵，，，∴，∴△ABH是直角三角形，且∠AHB=90°，∴tan∠ABH=，∴tan∠APD=2；故答案為：2.【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19．(2023·梧州中考）某市跨江大橋即將竣工，某學(xué)生做了一個(gè)平面示意圖（如圖），點(diǎn)A到橋的距離是40米，測得∠A＝83°，則大橋BC的長度是___米．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）【答案】326【分析】根據(jù)正切的定義即可求出BC．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，，∴（米）故答案為：326【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．20．(2023·湖北荊州中考）如圖1是一臺手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，，可分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，測量知，．當(dāng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，點(diǎn)到的距離為_____________cm．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】6.3【分析】作輔助線如圖，則四邊形CDGF是矩形，可得CD=FG，然后分別解直角△ABG和直角△BCF求出BG和BF的長即可．【詳解】解：如圖，作CD⊥AE于點(diǎn)D，作BG⊥AE于點(diǎn)G，作CF⊥BG于點(diǎn)F，則四邊形CDGF是矩形，∴CD=FG，在直角△ABG中，，，∴（cm），∠ABG=30°，∵，∴∠CBF=20°，∴∠BCF=70°，在直角△BCF中，，∠BCF=70°，∴（cm），∴CD=FG=（cm），即點(diǎn)到的距離為6.3cm；故答案為：6.3．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于常考題型，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形、掌握求解的方法是關(guān)鍵．21．(2023·湖南省邵陽市中考）如圖，在矩形中，，垂足為點(diǎn)．若，，則的長為______．

【答案】3【分析】在中，由正弦定義解得，再由勾股定理解得DE的長，根據(jù)同角的余角相等，得到，最后根據(jù)正弦定義解得CD的長即可解題．【詳解】解：在中，在矩形中，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、正弦、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．22．(2023·四川綿陽中考）在直角中，，，的角平分線交于點(diǎn)，且，斜邊的值是______．【答案】【分析】CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到，求出的值即可．【詳解】解：如圖，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∴DE＝DF，，又，∴四邊形CEDF為正方形，，，在中，，∵，，，，，，即，又，，∵在中，，∴，∵在中，，∴，，，，即（舍負(fù)），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．23．(2023·廣西百色中考）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為測量山頂電視塔的高度，在塔的橢圓平臺遙控?zé)o人機(jī)．當(dāng)無人機(jī)飛到點(diǎn)P處時(shí)，與平臺中心O點(diǎn)的水平距離為15米，測得塔頂A點(diǎn)的仰角為30°，塔底B點(diǎn)的俯角為60°，則電視塔的高度為_________米．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：，，，，然后分別在中在中，利用銳角三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，，，，在中，，在中，，∴，即電視塔的高度為米．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用特殊角銳角三角函數(shù)值解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值．24．(2023·遼寧阜新中考）如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為_________m（結(jié)果精確到1m，）．【答案】57【分析】根據(jù)題意畫出下圖：，，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，，，，，垂足為點(diǎn)，可得四邊形是矩形，繼而得到，在中，可求出，然后在中，求出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意畫出下圖：，，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，，，，，垂足為點(diǎn)，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，在中，，∴，即乙樓高度約為57．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合利用銳角三角函數(shù)解直角三角形．25．(2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若，則tan∠DEC的值是________．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，易證，從而可求出，，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，在與中，，，，，，tan∠ADB＝＝，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD?AE＝AB?AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．26．(2023·江蘇常州中考）如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別在、上，點(diǎn)F在內(nèi)．若四邊形是邊長為1的正方形，則________．

【答案】【分析】連接AF，CF，過點(diǎn)F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：連接AF，CF，過點(diǎn)F作FM⊥AB，

∵四邊形是邊長為1的正方形，∴∠C=90°，∴AB=，∵，∴，∴FM=1，∵BF=，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵．27．(2023·湖北黃石中考）如圖，直立于地面上的電線桿，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是、，測得米，米，，在處測得電線桿頂端的仰角為，則電線桿的高度約為______米．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）【答案】10.5

【分析】延長AD交BC的延長線于E，作DF⊥BE于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出DF、CF的長，根據(jù)正切的定義求出EF，得到BE的長，根據(jù)正切的定義解答即可．【詳解】解：延長AD交BC的延長線于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，

∴∠DCF=30°，又CD=4，

∴DF=2，CF=＝2，

由題意得∠E=45°，

∴EF=DF=2，

∴BE=BC+CF+EF=5+2+2=7+2，

∴AB=BE×tanE=（7+2）×1≈10.5米，

故答案為：10.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．28．(2023·遼寧本溪中考）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則________．

【答案】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、求角的正切值，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．29．(2023·湖北天門中考）如圖，某活動(dòng)小組利用無人機(jī)航拍校園，已知無人機(jī)的飛行速度為，從A處沿水平方向飛行至B處需，同時(shí)在地面C處分別測得A處的仰角為，B處的仰角為．則這架無人機(jī)的飛行高度大約是_______（，結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】20【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作水平線的垂線，垂足為點(diǎn)，先解直角三角形求出的長，從而可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作水平線的垂線，垂足為點(diǎn)，

由題意得：，，，在中，，，在中，，，在中，，即這架無人機(jī)的飛行高度大約是，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．30．計(jì)算：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2tan45°；sin60°cos60°+sin45°cos45°﹣sin30°cos30°．（3）【答案】（1）；（2）（3）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．（3），=，=，=，=，=；【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值31．(2023·上海中考）已知在中，，，為邊上的中線．

（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求出AB，故可得到AC的長；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BD，利用中位線的性質(zhì)得到FG，CG，再根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）∵，∴∴AB=10∴=；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BD，∵為邊上的中線．∴F是AD中點(diǎn)∵FG⊥BD，∴∴FG是△ACD的中位線∴FG=3CG=∴在Rt△BFG中，=．

【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．32．(2023·四川省成都中考）越來越多太陽能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.6米，在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角，在與點(diǎn)A相距3.5米的測點(diǎn)D處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角（點(diǎn)A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度的長．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：）【答案】8米【分析】過E作EF⊥MN于F，連接EB，設(shè)MF=x米，可證四邊形FNDE，四邊形FNAB均是矩形，設(shè)MF=EF=x，可求FB=x+3.5，由tan∠MBF=，解得米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．【詳解】解：過E作EF⊥MN于F，連接EB，設(shè)MF=x米，∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，∴四邊形FNDE，四邊形FNAB均是矩形，∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，∴MF=EF=x,∴FB=FE+EB=x+3.5，∴tan∠MBF=，∴解得米，經(jīng)檢驗(yàn)米符合題意，∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．【點(diǎn)睛】本題考查矩形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，簡單方程，掌握矩形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，簡單方程是解題關(guān)鍵．33．(2023·甘肅省武威市中考）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．【答案】【分析】設(shè)，再利用銳角三角函數(shù)用含的代數(shù)式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)，在中，，在中，，，解得，．答：寶塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．34．(2023·天津市中考）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號．一艘救生船位于燈塔C的南偏東方向上，同時(shí)位于A處的北偏東方向上的B處，救生船接到求救信號后，立即前往救援．求的長（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，取1.73．

【答案】的長約為168海里．【分析】如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CA，垂足為H,解直角三角形即可【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CA，垂足為H．

根據(jù)題意，．∵在中，，，∴．∵在中，，∴．又，∴．可得．∴．答：的長約為168海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造高線構(gòu)造出直角三角形，并靈活解之是解題的關(guān)鍵．35．(2023·四川巴中中考）學(xué)校運(yùn)動(dòng)場的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）（1）求燈桿AB的高度；（2）求CD的長度．【答案】（1）12m；（2）25.6m【分析】（1）延長BA交CG于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正切的定義求出CE，再根據(jù)正切的定義求出BE，計(jì)算即可；（2）根據(jù)正切的定義求出DE，進(jìn)而求出CD．【詳解】解：（1）延長BA交CG于點(diǎn)E，則BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC?cosα=12×=（m），在Rt△BCE中，∠BCE=60°，∴BE=CE?tan∠BCE==18（m），∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，∴DE=≈36（m），∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．36．(2023·遼寧朝陽中考）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時(shí)測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點(diǎn)B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號）【答案】（9＋4）m【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝AH，再證△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由題意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan