3.3對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì)水平11.函數(shù)y=logax是對數(shù)函數(shù). ()2.函數(shù)y=2logax(a>0且a≠1)是對數(shù)函數(shù). ()3.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象與y=loQUOTEx(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱. ()4.對數(shù)式log0.24<log0.34<log24<log34. ()5.f(x)=log4(4x1)在R上為增函數(shù). ()【解析】1.提示:×.對數(shù)函數(shù)中a>0,且a≠1.2.提示:×.在解析式y(tǒng)=2logax(a>0且a≠1)中,logax的系數(shù)必須是1,所以錯誤.3.提示:×.在同一坐標系內(nèi),y=logax(a>0且a≠1)的圖象與y=loQUOTEx(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于x軸(即直線y=0)對稱.4.提示:×.在同一直角坐標系中,作出y=log2x,y=log3x,y=log0.2x,y=log0.3x的大致圖象如圖所示,作出直線x=4,可得log0.34<log0.24<log34<log24.5.提示:×.f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上遞增.·題組一對數(shù)函數(shù)的概念與圖象1.下列函數(shù)解析式中,是對數(shù)函數(shù)的有 ()①y=logx2;②y=log8x;③y=lnx;④y=logx(x+2);⑤y=2log4x;⑥y=log2(x+1).A.1個 B.2個C.3個 D.4個【解析】選B.由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上,所以①不是對數(shù)函數(shù);由于④⑥的真數(shù)分別為(x+2),(x+1),所以④⑥也不是對數(shù)函數(shù);由于⑤中l(wèi)og4x的系數(shù)為2,所以⑤也不是對數(shù)函數(shù).只有②③符合對數(shù)函數(shù)的定義.2.已知y=lgx的圖象如圖所示,由圖象作出y=lg|x|的圖象.根據(jù)圖象判斷函數(shù)y=lg|x| ()A.是偶函數(shù),在區(qū)間(∞,0)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù),在區(qū)間(∞,0)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減【解析】選B.作出y=lg|x|的圖象如圖所示,從圖可以看出,選項B正確.3.已知函數(shù)f(x)=(xa)(xb)(其中a>b)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=b+logax的圖象大致是 ()【解析】選D.由函數(shù)f(x)=(xa)(xb)(其中a>b)的圖象可知0<a<1,b<1.所以函數(shù)g(x)=b+logax是減函數(shù),因為b<1,所以函數(shù)g(x)=b+logax的圖象與x軸的交點位于(0,0)與(1,0)之間.故選D.4.若y=loga(3a1)有意義,則a的取值范圍是________.

【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義,得QUOTE解得a>QUOTE且a≠1.答案:QUOTE·題組二對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1.函數(shù)f(x)=QUOTE+ln(3x1)的定義域為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.要使函數(shù)f(x)=QUOTE+ln(3x1)成立,只需滿足QUOTE解得QUOTE<x≤QUOTE.2.已知函數(shù)f(x)=QUOTE且滿足[f(x1)f(x2)](x1x2)<0,則a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為[f(x1)f(x2)](x1x2)<0,所以函數(shù)在定義域上是減函數(shù),所以QUOTE解得0<a≤QUOTE.3.函數(shù)f(x)=lg(x2)+QUOTE的定義域是________.

【解析】要使函數(shù)有意義,需滿足QUOTE解得x>2且x≠3,所以函數(shù)的定義域為(2,3)∪(3,+∞).答案:(2,3)∪(3,+∞)4.函數(shù)f(x)=x+loga(x3)的圖象恒過定點A(其中a>0且a≠1),則A的坐標為________.

【解析】因為函數(shù)f(x)=x+loga(x3)的圖象恒過定點A(其中a>0且a≠1),所以只需loga(x3)=0,則x3=1,即x=4,所以f(4)=4,因此A的坐標為(4,4).答案:(4,4)·題組三對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)問題1.函數(shù)y=loQUOTE(x2+2x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(1,1] B.(∞,1)C.[1,3) D.(1,+∞)【解析】選C.由題意,要使函數(shù)y=loQUOTE(x2+2x+3)有意義,則滿足x2+2x+3>0,即x22x3=(x3)(x+1)<0,解得1<x<3,即函數(shù)的定義域為(1,3).令g(x)=x2+2x+3,則函數(shù)g(x)表示開口向下,對稱軸方程為x=1的拋物線,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,3)上單調(diào)遞減,又由函數(shù)y=loQUOTEx在定義域上是遞減函數(shù),結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可得函數(shù)y=loQUOTE(x2+2x+3)的遞增區(qū)間為[1,3).2.若函數(shù)f(x)=log3(x2+ax+a+5),f(x)在區(qū)間(∞,1)上是遞減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.[3,2] B.[3,2)C.(∞,2] D.(∞,2)【解析】選A.由題意知,f(x)在區(qū)間(∞,1)上是遞減函數(shù),設(shè)f(x)=log3u,在定義域上為增函數(shù),函數(shù)為u=h(x)=x2+ax+a+5,要使f(x)在區(qū)間(∞,1)上是遞減函數(shù),則u=h(x)在區(qū)間(∞,1)上必須是遞減函數(shù),同時須保證最大值h(1)≥0,所以QUOTE解得3≤a≤2.3.(多選)已知函數(shù)f(x)=ln(x2)+ln(6x),則 ()A.f(x)在(2,6)上單調(diào)遞減B.f(x)在(2,6)上的最大值為2ln2C.f(x)在(2,6)上無最小值D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱【解析】選BCD.f(x)=ln(x2)+ln(6x)=ln[(x2)(6x)],由QUOTE得,函數(shù)的定義域為(2,6).令t=(x2)(6x),則y=lnt,二次函數(shù)t=(x2)(6x)=x2+8x12開口向下,其對稱軸為直線x=4,所以t=(x2)(6x)在(2,4)上單調(diào)遞增,在(4,6)上單調(diào)遞減,所以t=(x2)(6x)∈(0,4],又函數(shù)y=lnt在t∈(0,4]上單調(diào)遞增;由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得f(x)在(2,4)上單調(diào)遞增,在(4,6)上單調(diào)遞減,故A錯;因為當t∈(0,4]時,y=lnt∈(∞,2ln2],即f(x)∈(∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值為2ln2,無最小值,故BC正確;因為f(4x)=ln(4x2)+ln(64+x)=ln(2x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x2)+ln(64x)=ln(2+x)+ln(2x),即f(4x)=f(4+x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱,故D正確.易錯點一忽視對參數(shù)進行分類討論若1<logaQUOTE<1(a>0且a≠1),則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】因為1<logaQUOTE<1,所以logaQUOTE<logaQUOTE<logaa.當a>1時,QUOTE<QUOTE<a,則a>QUOTE;當0<a<1時,QUOTE>QUOTE>a,則0<a<QUOTE.故實數(shù)a的取值范圍是QUOTE∪QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE【易錯誤區(qū)】當?shù)讛?shù)a與1大小不確定時,一定要討論a與1的大小關(guān)系.易錯點二解不等式時忽略定義域出錯已知log0.3(3x)<log0.3(x+1),則x的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為函數(shù)y=log0.3x是(0,+∞)上的減函數(shù),所以原不等式等價于QUOTE解得x>QUOTE.【易錯誤區(qū)】忽略原函數(shù)的定義域3x>0且x+1>0.水平1、2限時30分鐘分值60分戰(zhàn)報得分____一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(多選題)下列條件能使loga3<logb3成立的有 ()A.b>a>0 B.1>a>b>0C.b>QUOTE>1 D.1>QUOTE>QUOTE>0【解析】選BC.對于A,若a=QUOTE,b=QUOTE,則loga3=QUOTE,logb3=1,知loga3>logb3,A錯誤;對于B,當1>a>b>0時,0>log3a>log3b,則QUOTE<QUOTE,所以loga3<logb3,B正確;對于C,當b>QUOTE>1時,b>1>a>0,所以log3b>0>log3a,則QUOTE<QUOTE,所以loga3<logb3,C正確;對于D,當1>QUOTE>QUOTE>0時,b>a>1,所以log3b>log3a,則QUOTE>QUOTE,所以loga3>logb3,D錯誤.【變式備選】(多選)若0<a<b<1,則 ()A.ab<baB.aabb>abbaC.loga(1a)<logb(1b)D.loga(1+b)>logb(1+a)【解析】選ABC.A選項中,因為0<a<b<1,所以指數(shù)函數(shù)y=ax是單調(diào)遞減函數(shù),因此ab<aa;又冪函數(shù)y=xa是單調(diào)遞增函數(shù),所以aa<ba,因此ab<aa<ba,故A正確;B選項中,因為0<a<b<1,所以QUOTE>1,ba>0,因此y=QUOTE是增函數(shù),所以QUOTE>QUOTE=1,則aabb>abba,所以B正確;C選項中,因為0<a<b<1,所以0<1a<1,因此y=log(1a)x是減函數(shù),所以log(1a)a>log(1a)b,即QUOTE>QUOTE,則loga(1a)<logb(1a),又0<1b<1a<1,0<b<1,所以logb(1b)>logb(1a),則loga(1a)<logb(1b),所以C正確;D選項中,取a=QUOTE,b=QUOTE,則loga(1+b)=loQUOTE=loQUOTE,logb(1+a)=loQUOTE,又QUOTE=QUOTE>QUOTE>1,故loga(1+b)=loQUOTE<logb(1+a)=loQUOTE,所以D不正確.2.已知函數(shù)f(x)=log2xQUOTE,則不等式f(x)<0的解集是 ()A.(0,1)∪(1,2) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,+∞)【解析】選A.當0<x<1時,log2x<0,QUOTE>1,所以f(x)=log2xQUOTE<0成立;當x>1時,函數(shù)f(x)=log2xQUOTE=log2xQUOTE在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=log22QUOTE=0,若f(x)<0,則1<x<2,綜上,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(1,2).3.(金榜原創(chuàng)題)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=x3 B.y=ln|x|C.y=QUOTE D.y=x22x【解析】選B.因為y=x3為奇函數(shù),函數(shù)y=QUOTE和函數(shù)y=x22x不具有奇偶性,故排除A,C,D,又y=ln|x|為偶函數(shù)且在(0,+∞)上遞增,故B符合條件.4.(金榜原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log3x,直線y=a(a<0)與這三個函數(shù)的交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是 ()A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1【解析】選A.分別作出三個函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,x2<x3<x1.5.(練拓展)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當x∈[1,1)時,f(x)=x2,若函數(shù)g(x)=loga|x+1|的圖象與f(x)的圖象恰有10個不同的公共點,則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.(4,+∞) B.(6,+∞)C.(1,4) D.(4,6)【解析】選D.因為函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),又函數(shù)g(x)=loga|x+1|的圖象是由函數(shù)y=loga|x|的圖象向左平移一個單位長度得到的,所以函數(shù)g(x)=loga|x+1|的圖象的對稱軸為x=1,當x∈[1,1)時,f(x)=x2,所以函數(shù)f(x)的圖象也關(guān)于x=1對稱,在平面直角坐標系中作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x=1右側(cè)的圖象,由數(shù)形結(jié)合可得,若函數(shù)g(x)=loga|x+1|的圖象與f(x)的圖象恰有10個不同的公共點,則由函數(shù)圖象的對稱性可得,兩圖象在x=1右側(cè)有5個交點,則QUOTE解得a∈(4,6).6.已知函數(shù)f(x)=|log4x|,正實數(shù)m,n滿足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在區(qū)間[m2,n]上的最大值為2,則m,n的值分別為 ()A.QUOTE,2 B.QUOTE,4C.QUOTE,2 D.QUOTE,4【解析】選B.因為f(x)=|log4x|=QUOTE所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,由于正實數(shù)m,n滿足m<n,且f(m)=f(n),則必有0<m<1<n,且|log4m|=|log4n|,則log4m=log4n,所以,mn=1,可得m=QUOTE,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[m2,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,n]上單調(diào)遞增,因為f(m2)=fQUOTE=QUOTE=2log4n,f(n)=|log4n|=log4n,所以,f(m2)>f(n),當x∈[m2,n]時,f(x)max=f(m2)=2log4n=2,解得n=4,因此,m=QUOTE,n=4.二、填空題(每小題5分,共20分)7.函數(shù)f(x)=ln(x24)的遞增區(qū)間是________.

【解析】函數(shù)f(x)=ln(x24)的定義域為(∞,2)∪(2,+∞),因為函數(shù)y=x24在(∞,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,又函數(shù)y=lnt單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)=ln(x24)在(∞,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.答案:(2,+∞)8.(練情境)已知函數(shù)f(x)=QUOTE,函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】因為函數(shù)f(x)=QUOTE是R上的單調(diào)函數(shù),所以QUOTE解得QUOTE≤a≤QUOTE.答案:QUOTE≤a≤QUOTE9.已知0<x≤3,函數(shù)f(x)=loQUOTEx·loQUOTE的最小值為________.

【解析】函數(shù)f(x)=loQUOTEx·loQUOTE=loQUOTEx(loQUOTExloQUOTE4)=loQUOTEx(loQUOTEx+2),0<x≤3,令t=loQUOTEx∈[loQUOTE3,+∞),則h(t)=t(t+2)=(t+1)21,t∈[loQUOTE3,+∞),所以當t=1即x=2時,函數(shù)h(t)的最小值為1,所以函數(shù)f(x)的最小值為1.答案:110.函數(shù)y=loQUOTE的值域為________,單調(diào)遞增區(qū)間為________.

【解析】令32xx2>0,即x2+2x3<0,解得:3<x<1,所以函數(shù)的定義域為{x|3<x<1},y=loQUOTE是由y=loQUOTEg(x)和g(x)=QUOTE復(fù)合而成,因為y=loQUOTEg(x)為減函數(shù),要求y=loQUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間即為求g(x)=QUOTE的單調(diào)遞減區(qū)間,因為g(x)=QUOTE=QUOTE的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1),所以y=loQUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1),因為0<g(x)=QUOTE=QUOTE≤2,所以y=loQUOTE≥loQUOTE2=1,所以原函數(shù)的值域為[1,+∞).答案:[1,+∞)(1,1)三、解答題11.(10分)已知函數(shù)f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù).(1)求k的值;(2)已知函數(shù)g(x)=2f(x)+x+m·2x,x∈[0,1],若g(x)的最小值為1,求實數(shù)m的值.【解析】(1)顯然f(x)的定義域為R,因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(x),對?x∈R恒成立,即log2(4x+1)kx=log2(4x+1)+kx對任意x∈R恒成立,所以2kx=log2(4x+1)log2(4x+1)=log2QUOTE=log24x=2x,所以k=1.(2)由(1)知g(x)=4x+m·2x+1,x∈[0,1],令2x=t,則t∈[1,2],原函數(shù)變?yōu)閔(t)=t2+mt+1,t∈[1,2].①當QUOTE<1,即m>2時,h(t)min=g(1)=2+m=1,所以m=1符合題意;②當1≤QUOTE≤2,即4≤m≤2時,h(t)min=gQUOTE