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準考證號姓名

（在此卷上答題無效）

2023-2024學年高中畢業(yè)班第一學期期中考試

數(shù)學試題

2023.11

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.圖中的陰影部分表示的集合為（）.

A.AABACB.An3n（duC）

c.An（"）ncD.（duA）nBnc

2.若Z],Z?為復(fù)數(shù)，則“4一Z2是純虛數(shù)”是“4,Z?互為共輾復(fù)數(shù)”的（）.

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（）iT：cosx的部分圖象為（）?

3.函數(shù)/xU+e

4.故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群.故宮宮殿房檐設(shè)計恰好使北房在冬至前

后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75。，冬至前后正午太陽高度角

約為30。，圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐A3的長度

A.3B4D.3（G+1）

5,已知數(shù)列q滿足源i竽f,且念—1,若以16a8,則正整數(shù)人為（）.

A.13B.12C.11D.10

6.如圖，4B是圓。的一條直徑，且性卻-4.C,。是圓。上的任意兩點，|CD|-2.點P在線段8上,

則用:PB1勺取值范圍是（）.

B飛2］I1I-1

C.3,4D,1,0

4兀，、/711

x一丁是函數(shù)〃x）Tsinx-0,圖像相鄰的兩條對稱軸，將//X、的圖

3<（?）+6兒》〉）（）

兀

像向右平移丁個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖像.若g（x）在（辦叫上恰有三個不同的零點，則實數(shù)優(yōu)

6

的取值范圍為（）.

j7兀11717it13兀5兀13兀(5兀HKI

B.15

A-n'12|12D-T2IT|

8.已知a=e°」\csl.ll,則（）.

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)正實數(shù)a,6滿足。+6-2,則下列說法正確的是（）.

b2

A.-的最小值為3B.ab的最大值為1

ab

C.JZ+揚的最小值為2D.

a的最小值為2

函數(shù)/（X）-2sin（（.>x+G）］（o>，||工］（）

10.

2'的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與/x的圖象交于M,N

兩點，且M在y軸上，則（）.

A.函數(shù)〃x)在；-弁,-兀：上單調(diào)遞增

B.圓的半徑為孚

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點；,0；成中心對稱

V3/

門7*二c.、’.12021兀2023兀孑、由、￥、邛

D.函數(shù)/(%)在I?，］2上單調(diào)遞減

H.如圖，在長方體ABC。A4G。］,A?！?A5-2AA「4,E,尸分別是棱A。與6的中點，點尸

在側(cè)面\ADDX內(nèi)，且BP-說十'療住,y€R),則三棱錐P-BB.F外接球表面積的取值可能是

A.10兀B.20兀C.12兀D.44兀

12.已知數(shù)列；滿足的-1,a.J-2a,@na1,則下列說法正確的有().

乙a

3

A.-----B.Cl-dn—dn

的十。2n1

3〃1n

C.若〃」2,貝IJ—VTr-rr<1D.Zln(OT1)(2"-l)ln2

4ta'zu

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知sin；^.(1|Lg,且sJ'-,則sin一______.

16)3I44J13

14.已知非零向量°,萬滿足萬-(、月1),《葉三若(。-萬)1。，則向量。在向量少方向上的投影向

量的坐標為.

13?匚加姒刈a.、柏口]a.U

H；洞足一十r，L，fn{neN")n

222In‘.y、4n,若數(shù)列b4小、司、*皿的

-/.(an-1)n2n為單倜遞增數(shù)

列，則Z的取值范圍為.

16.法國的拿破侖提出過一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等

邊三角形的外接圓圓心恰好是一個等邊三角形的三個頂點.”在A3C中，A-600,以AB,BC,AC為邊向外

作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為O?,Q，貝上QAQ-；若。。203的面積為/，則

三角形中性卻，性。|的最大值為

四、解答題：共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

.—fjrJT

17.已知函數(shù)/(x)_V3sin(2x+<p)?cos(2x+tp)；^p|—()—

2I,將/x的圖象向左平移③個單位長度，所

得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程/(町-。在[/3兀]上恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知函數(shù)Inxax-.1(〃匚R).

(1)討論函數(shù)/(町的單調(diào)性；

(2)若。--2,是否存在整數(shù)相(機;N),都有/(X)Mm(x+l)恒成立，若存在求出實數(shù)機的最小值,

若不存在說明理由.

Z21

19.設(shè)數(shù)列[a“前〃項和，滿足S〃--------,n.：N,.

〃?n

i}

⑴證明：數(shù)歹Us”-------；為等比數(shù)列；

I〃+“

G、n11d'本級列I"[

(2)TE—=-----?-V~7—T------Tri的刖〃項和T-

bn〃+1{bn—1)(bn.1—1)[n

I，

20.如圖，在四棱錐PA3CD中，出。為等邊三角形，M為B4的中點，PDAB,平面以。平面

ABCD.

(1)證明：平面COM.平面B45；

(2)若ADHBC,AD-IBC4,A3-2,直線PB與平面MCD所成角的正弦值為"士，求三棱錐

34

P的體積.

21.如圖，在海岸線EE一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段尸GBC,該曲線段是函數(shù)

y=Asin((.>+(□)(>(>>；二(0,7i)),-4,0|的圖像，圖像的最高點為3(-1,2).邊界的中間部

xA0,0,

分為長1千米的直線段CD,且CDHEF,游樂場的后一部分邊界是以。為圓心的一段圓弧DE.

(1)求曲線段FGBC的函數(shù)表達式；

(2)曲線段FGBC上的入口G距海岸線所最近距離為1千米，現(xiàn)準備從入口G修一條筆直的景觀路到O,

求景觀路GO長；

(3)如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)。MP。，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在

半徑。。上，另外一個頂點P在圓弧。E上，且.POET，，求平行四邊形休閑區(qū)0Mp。面積的最大值及此

時H的值.

()二xsinx4cosx.

22.已知函數(shù)/x

(1)求/(X)在兀，兀］的單調(diào)區(qū)間與最值；

(2)當。時，若g(x)/,(%)-ax2,證明：g(x)有且僅有兩個零點.

2023年?2024學年高中畢業(yè)班第一學期期中考試

數(shù)學評分參考標準

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的

12345678

BDCCBDAA

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9101112

ABDCDBCDBCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

四、解答題：共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

()一/sin(2無+,口)+cos(2x+(p)-2sin|2x+<p?—

17，M：(1)fxI6

7T

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移，個單位長度后，

所得函數(shù)為丁一2sin12(x+4+e+q=2sin(2x+(p+-n,

3/6]I6)

??《p,—?！?/CTC,k?—Z,??ip—,kiL,k-Z

623

又卜卜-J./(X)-2sin'

兀5兀2兀

?XQ一,—兀>,.2%--.z1—,—

6126163

當即三?時，單調(diào)遞增；

O02O3

當2.2%-■—,即三.『笑()

263312時，/%單調(diào)遞減.

()=。在；色,史上恰有兩個實數(shù)根，

612

???方程八I

???5a，2,.?.實數(shù)a的取值范圍為［退,2).

18.解：(1)*/x>0,/,(%)---a,

當0,戶(町.0,/(x)在(0,j)

單調(diào)遞增，

當時，fx1aX,

1'11

'()><-f%0得%>-,

令于x0,得x°'()<°

(1\(jX

???在0,7；單調(diào)遞增，在丁+，1單調(diào)遞減.

綜上，aw0時，/x在0,

()(+工)

單調(diào)遞增；

當"0時，/⑴在［0,］單調(diào)遞增，在1,+，；單調(diào)遞減

(a)Ia/

(2)Va-2,/(x)-Inx-b2x?1,

Inx42x41

++4(+),???加之-------——，

Inx2x1mx1x4

10]

,、lnx+2x+l，、/

():------------()-------—,

令gXx+1,：.gX(-??)

X1

人、1C1,、11

令M(町—f2Inx,u(x)——-()(f/)

xxx0,：.ux在0,

22

VM(e)=J_+2-lne=4+2-2>0單調(diào)遞減.

ee

，八1a1

*2In?2—3.0,

工斗)￡(?2,吟使得)o,即L2Inxo-0,匕2一山沏,

0%0沏

當工€(0,期)，u\x)：.0,g'(x)：-0,g(x)單調(diào)遞增，

■(o廠，)，M(X)，0,g'(x)0,g(x)單調(diào)遞減，

當冗X,

11■zxM

,,、、In沏+/”0+1x2++11

.?g(x1=g5)---------^71—2^1r=2+三

0

23

Vx0€(e,e),上「(0』)，，加,3,.?.機的最小值為3.

Xo

〃-1

證明:

19.(1)Sn+an-------=~(2

〃2+”,且a,SnSn.in2

71

2Sn-SnI~———2

"1-〃(2)

、—1

?*-2(S?\=S--(?>2),—卑2

"+U"1nS.」」=2(>

n

令〃-1,可得S]-0,S]———,

22

所以數(shù)列|是首項為L,公比為1的等比數(shù)列.

“+1J22

1

⑵由⑴可得S,--1j1.

〃+12(2㈤

.bn2"11

?.（”」）（〃.I」）-（2"-1）（2""-1）-E2J1'

b

.Tfin/in（ii）,（ii）1i

"U3）137）1715）<2，!-1

20.廨析】（1）取中點為N,連接PN,

因為抬。為等邊三角形，所以PN一AD,

且平面平面ABCZ）,平面RlDpl平面ABCDAD,PN面E4Q

所以PN上平面ABCD,

又A3平面ABC。所以PNAB,

又因為PDAB,PNC\PDP,PN,PD平面出。，

所以AB一平面PAD,

又因為DM平面以⑦，所以AB.DM,

因為M為AP中點，所以且RinAB-A,PA,PB平面B4。,

所以DM1平面B42,且DM平面C￡）M

所以平面CDM平面E48.

(2)由⑴可知，PNA3且PDAB,PNCPDP,

所以A3平面且AD平面B4D,所以A3AD,

以A為坐標原點，分別以A5AO所在直線為羽y軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

設(shè)AD=2。(。=2),則可得

A(0,0,0),3(2,0,0),P(0,a,6),MO,*—()

2

I\,C2,a,0D0,2^,0

(3r\

即產(chǎn)3(2,—。,一般?)DC(2,-(2,0\DM0,-a.~^aj,

設(shè)平面MCD的法向量為nL,y,z),

DCn2x-ay-Q

貝時36

?DMn=——ay+——az=0

I22

a

I，〉

則可得，「,?。?2,則x=a,z=2小,

卜島

所以平面MCD的一個法向量為n-(a,2,2出)

設(shè)直線PB與平面MCD所成角為(),

7g

所以sin。|cos/P^,rz\|h"［二函,

?'/I網(wǎng)為］“7”.麗丁V34

解得下一16,或/;I,即a4（舍去）或1,

所以AD-2,VpMCD-—SPMDJAB|-"于1*百,.：2-

21.解：⑴由已知條件，得A—2,

T2兀.兀

X?—3,/-——-12,??(?)—

4(!)6

2兀

又：當x=1時，有y-2sin|-巴2,?二

I6)T

兀2兀\

???曲線段FBC的解析式為y-2sin|-x,—

I63J

,c?|'兀2n+(ip4k

⑵由y―2sl從工門二，]得％-6左1*

163)_(wZ),

又Xf[4,0]].'.k0,x--3,/.G(3,1),OG-l^/~

景觀路G。長為麗千米.

(3)如圖，0c&CDA,：.OD2,.COD

6

作元軸于4點,在中,P^-OPsino-2sin0,

在△OMP中，°P————，

sin1200sin(60￡)

OM—yyrj~'(4小———-^=-(H)-2cosQ-^^-sin

(

加麗L73sin603

(r\\

S平行四邊形OMPOOMPP12costl——sinllj2sin()

…、4g.2cC?C2』c2出

4sin(tcosh------sin().2sm3)------cos2()------

333

4A/3.;7i,243,n71-

--------sin20+-------,I*.0,—

3I6)3(3)

當2D-巴-乙時，即H-四時，平行四邊形面積最大值為止.

6263

22.解：⑴???r⑴一sin%十無?cosx-sinx-x-cos冗一0,

解得X-1或0或g,

22

.../（X）與尸（x）的分布列如下:

;兀1兀兀

X兀)0兀

~22：p0；