第13講線性回歸分析【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量間的關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這個(gè)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．3、線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．4、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為，對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化處理”處理，，分別除和（和分別為，和的均值），得，為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為，則變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下：．5、一元線性回歸模型我們稱為關(guān)于的一元線性回歸模型，其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；和為模型的末知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差．6、線性回歸方程與最小二乘法回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估計(jì)（leastsquaresestimate），其中7、殘差的概念對(duì)于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．8、刻畫回歸效果的方式（1）殘差圖法作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．（2）殘差平方和法殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．【典型例題】題型一：相關(guān)關(guān)系的理解【例1】（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）下列兩個(gè)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系 B．學(xué)生的成績和身高C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質(zhì)量【變式1-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列兩個(gè)變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．正方體的棱長與體積 B．角的度數(shù)與它的正切值C．單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積與糧食總產(chǎn)量 D．日照時(shí)間與水稻的單位產(chǎn)量【變式1-2】（2024·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法：①回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)沒有什么區(qū)別；②回歸分析是對(duì)兩個(gè)變量準(zhǔn)確關(guān)系的分析，而獨(dú)立性檢驗(yàn)是分析兩個(gè)變量之間的不確定性關(guān)系；③回歸分析是研究兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有某種關(guān)系的一種檢驗(yàn)；④獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系．其中正確的是（

）A．①② B．③ C．③④ D．①②③④題型二：散點(diǎn)圖與相關(guān)性【例2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在下列所示的四個(gè)圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（）A．

B．

C．

D．

【變式2-1】（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖（如圖），將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，正確的有（

）

A． B．C． D．【變式2-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）

A． B． C． D．題型三：散點(diǎn)圖及其應(yīng)用【例3】（2024·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖給出了某種豆類生長枝數(shù)y（枝）與時(shí)間t（月）的散點(diǎn)圖，那么此種豆類生長枝數(shù)與時(shí)間的關(guān)系用下列函數(shù)模型近似刻畫最好的是（）

A． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為．則（

）

A． B．C． D．【變式3-2】（2024·河南南陽·高二唐河縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2003年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學(xué)記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者數(shù)據(jù)，以及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點(diǎn)圖日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人數(shù)100109115118121134141152168175186203下列說法：①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．以上都不對(duì)題型四：線性相關(guān)性的檢驗(yàn)【例4】（2024·新疆和田·高二校考期末）對(duì)于變量，有以下四個(gè)散點(diǎn)圖，由這四個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷變量與成負(fù)相關(guān)的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（2024·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）關(guān)于的一組樣本數(shù)據(jù)，的散點(diǎn)圖中，所有樣本點(diǎn)均在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（

）A． B．0 C．1 D．【變式4-2】（2024·河南南陽·高二唐河縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）相關(guān)變量的樣本數(shù)據(jù)如下表，x1234567y2.93.33.64.44.8a5.9經(jīng)回歸分析可得y與x線性相關(guān)，并由最小二乘法求得回歸直線方程為，下列說法正確的是（

）A．x增加1時(shí)，y一定增加2.3 B．變量x與y負(fù)相關(guān)C．當(dāng)y為6.3時(shí)，x一定是8 D．a(chǎn)=5.2題型五：判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱【例5】（2024·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某人統(tǒng)計(jì)了近5年某網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年份20182019202020212022年份代碼x12345交易額y/百億元912172126(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用樣本相關(guān)系數(shù)r說明y與x的線性相關(guān)程度，樣本線性相關(guān)系數(shù)保留三位小數(shù)；（統(tǒng)計(jì)中用樣本相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱．若相應(yīng)于變量x的取值，變量y的觀測值為，則兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為．統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，對(duì)于變量x，y，如果，那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；如果，那么正相關(guān)很強(qiáng)；如果或，那么相關(guān)性一般；如果，那么相關(guān)性較弱）(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2023年該網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額．附：參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：．【變式5-1】（2024·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年女足世界杯于7月20日至8月20日在新西蘭和澳大利亞兩國9個(gè)城市舉辦，有32支球隊(duì)參賽，規(guī)?？涨?，其中中國隊(duì)被分在組．某公司專門為該賽事設(shè)計(jì)了一款產(chǎn)品并進(jìn)行試銷售，統(tǒng)計(jì)了不同的售價(jià)（單位：元）與銷量（單位：千枚）的5組數(shù)據(jù)：，，，，．以此來作為正式銷售時(shí)的售價(jià)參考．(1)請(qǐng)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的值，判斷售價(jià)與銷量的線性相關(guān)強(qiáng)弱程度（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；(2)建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測當(dāng)售價(jià)為13元時(shí)，銷量為多少千枚．參考公式：，，．參考數(shù)據(jù)：．【變式5-2】（2024·陜西榆林·高二?？计谥校h的二十大報(bào)告提出：“必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力，深入實(shí)施科教興國戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢(shì).”某數(shù)字化公司為加快推進(jìn)企業(yè)數(shù)字化進(jìn)程，決定對(duì)其核心系統(tǒng)DAP，采取逐年增加研發(fā)人員的辦法以提升企業(yè)整體研發(fā)和創(chuàng)新能力.現(xiàn)對(duì)2018～2022年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)（年份代碼1～5分別對(duì)應(yīng)2018～2022年）如下折線圖:

(1)根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；(2)試求出關(guān)于的線性回歸方程.參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)，當(dāng)時(shí)認(rèn)為兩個(gè)向量間的相關(guān)性較強(qiáng)，回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為題型六：求回歸直線方程【例6】（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個(gè)）與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度481018微生物數(shù)量（個(gè)）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為個(gè).【變式6-1】（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x/萬元1.82.235銷售額y/萬元t71416根據(jù)上表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為，則．【變式6-2】（2024·新疆喀什·高二?？计谀┳兞縳，y的數(shù)據(jù)如下所示：x54321y21.5110.5回歸直線恒過點(diǎn)．題型七：利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)【例7】（2024·遼寧沈陽·高二?？计谀┠嘲嗌鐣?huì)實(shí)踐小組在寒假去書店體驗(yàn)圖書銷售員工作，并對(duì)某圖書定價(jià)x(元)與當(dāng)天銷量y(本/天)之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查，得到了一組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)變量大致呈線性關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示定價(jià)x（元）681012銷量y（本/天）141187參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸方程中斜率的最小二乘估計(jì)值公式為(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸直線方程，預(yù)測當(dāng)該圖書每天的銷量為4本時(shí)，該圖書的定價(jià)是多少元？【變式7-1】（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）某汽車的使用年數(shù)與所支出的維修總費(fèi)用的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：使用年數(shù)（年）12345維修總費(fèi)用（萬元）0.51.22.23.34.5根據(jù)上表可得關(guān)于的線性回歸方程(1)求回歸直線方程(2)據(jù)此回歸模型可以預(yù)測，使用年數(shù)為7年時(shí)，維修總費(fèi)用為多少萬元？【變式7-2】（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校?015年春晚過后，為了研究演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注的關(guān)系，某網(wǎng)站對(duì)其中一位經(jīng)常上春晚的演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：上春晚次數(shù)x（單位：次）12468粉絲數(shù)量y（單位：萬人）510204080(1)若該演員的粉絲數(shù)量y與上春晚次數(shù)x滿足線性回歸方程，試求回歸方程（精確到整數(shù)）；(2)試根據(jù)此方程預(yù)測該演員上春晚10次時(shí)的粉絲數(shù)；，．【變式7-3】（2024·江西鷹潭·二模）某公司為了對(duì)某種商品進(jìn)行合理定價(jià)，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價(jià)（單位：元/件）之間的關(guān)系，對(duì)近6個(gè)月的月銷售量和月銷售單價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：月銷售單價(jià)（單位：元/件）456789月銷售量（萬件）898382797467(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的，并說明理由；(2)已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（1）中的計(jì)算正確的結(jié)果回答問題：當(dāng)月銷售單價(jià)為何值時(shí)，啇品的月銷值額預(yù)報(bào)值最大，并求出其最大值.題型八：線性回歸分析【例8】（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是某市2016年至2022年農(nóng)村居民人均可支配收入（單位：萬元）的折線圖.(1)根據(jù)圖表的折線圖數(shù)據(jù)，計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)，并判斷與是否具有較高的線性相關(guān)程度（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，精確到0.01）；(2)是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，若可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測到哪年該市農(nóng)村居民人均可支配收入超過2萬元，若不可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)在回歸方程中，斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：）【變式8-1】（2024·青?！じ咭唤y(tǒng)考期末）某企業(yè)投資兩個(gè)新型項(xiàng)目，投資新型項(xiàng)目的投資額（單位：十萬元）與純利潤（單位：萬元）的關(guān)系式為，投資新型項(xiàng)目的投資額（單位：十萬元）與純利潤（單位：萬元）的散點(diǎn)圖如圖所示．（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若該企業(yè)有一筆資金（萬元）用于投資兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)，為了收益最大化，應(yīng)如何設(shè)計(jì)投資方案？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【變式8-2】（2024·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為，，…．其樣本中心點(diǎn)為，且由統(tǒng)計(jì)知，，樣本相關(guān)系數(shù)．(1)求；(2)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)以及下面所附公式，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．附：，，．【變式8-3】（2024·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，，其中，該市政府對(duì)甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1400元，求p的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.題型九：非線性回歸分析【例9】（2024·四川成都·高三石室中學(xué)校考期末）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)理的值．（表中，）697.900.21600.1414.1226.13(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：①建立關(guān)于的回歸方程；②樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其線性相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．【變式9-1】（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）為了加快實(shí)現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【變式9-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．參考數(shù)據(jù)：17500.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；(，用分?jǐn)?shù)表示)(2)小明和小紅玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·四川綿陽·高二綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┯幸簧Ⅻc(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，給出下列說法：①相關(guān)系數(shù)r變大；②相關(guān)指數(shù)變大；③殘差平方和變小；④變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）下列有關(guān)回歸分析的說法正確的是（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)越大，則兩變量的相關(guān)性就越強(qiáng).B．回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線.C．回歸直線方程不一定過樣本中心點(diǎn).D．回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)，則兩變量是負(fù)相關(guān)關(guān)系.3．（2024·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習(xí)）為了預(yù)測某地的經(jīng)濟(jì)增長情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1月至6月的GDP數(shù)據(jù)（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的線性回歸方程為，其中自變量指的是從2023年1月起每個(gè)月的編號(hào)，如2023年1月編號(hào)為1，2023年6月編號(hào)為6，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：時(shí)間2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月編號(hào)123456/百億元11.107參考數(shù)據(jù)：，．則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線經(jīng)過點(diǎn)B．C．根據(jù)該模型，該地2023年7月的GDP的預(yù)測值為12.47百億元D．2023年4月，該模型預(yù)測的GDP的數(shù)據(jù)比實(shí)際值低了0.1034．（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)中y關(guān)于x的一元非線性回歸方程，已知，則（

）A． B．1 C． D．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)某型號(hào)水龍頭，成功率和每噸銅成本（元）之間的回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．與成負(fù)相關(guān)關(guān)系 B．成功率每增加，銅成本每噸增加2元C．成功率每減少，銅成本每噸增加2元 D．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心6．（2024·全國·高二專題練習(xí)）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B． C．70 D．357．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二校考期末）下列兩個(gè)變量中能夠具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高C．正方體的體積與棱長 D．某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績8．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）華為在過去幾年面臨了來自美國政府的封鎖和限制，但華為并沒有放棄，在自主研發(fā)和國內(nèi)供應(yīng)鏈的支持下，成功突破了封鎖，實(shí)現(xiàn)了5G功能.某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月華為手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：時(shí)間（月）12345銷售量（萬部）0.50.81.01.21.5若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）A．樣本中心點(diǎn)為B．由表中數(shù)據(jù)可知，變量與呈正相關(guān)C．D．預(yù)測時(shí)華為手機(jī)銷量約為1.86（萬部）二、多選題9．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，其中滿足關(guān)系式：，則（

）A．B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為C．若數(shù)據(jù)，則D．若，數(shù)據(jù)不全相等，則樣本點(diǎn)的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為10．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率x（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫y（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測人員根據(jù)下表的觀測數(shù)據(jù)，建立了y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列說法正確的是（

）x（單位：次數(shù)/分鐘）2030405060y（單位：℃）2527.52932.536A．k的值是20B．變量x，y呈正相關(guān)關(guān)系C．若x的值增加1，則y的值約增加0.25D．當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)測值為33.5℃11．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為．經(jīng)過分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，以下結(jié)論中，正確的是（）

A． B．C． D．12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)某大學(xué)的女生體重Y（單位：kg）與身高X（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kgB．回歸直線過點(diǎn)C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．兩變量Y與X正相關(guān)三、填空題13．（2024·河北石家莊·高二河北師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠震生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如表所示：若線性相關(guān)，線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，的預(yù)測值為萬盒．（月份）12345（萬盒）5656814．（2024·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x（單位：）與水生植物的株數(shù)y（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合x與y的關(guān)系，設(shè)，x與z的數(shù)據(jù)如表格所示：x3467z22.54.57得到x與z的線性回歸方程，則.15．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到了下表：x4681012ya2bc6并由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為，若a，b，c成等差數(shù)列，則．16．（2024·河南南陽·高二唐河縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則與的大小關(guān)系是.四、解答題17．（2024·新疆哈密·高二?？计谀┠耻囬g為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表：零件的個(gè)數(shù)x（個(gè)）2345加工的時(shí)間y（小時(shí)）2.5344.5

參考公式：，(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出關(guān)于的線性回歸方程；(3)預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？18．（2024·新疆喀什·高二?？计谀┠硞€(gè)體服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)每天獲純利（元）與該周每天銷售這種服裝件數(shù)之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系如下表所示．345678966697381899091已知：，，(1)求，；(2)求純利與每天銷售件數(shù)之間的回歸直線方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(3)若該周內(nèi)某天銷售服裝20件，估計(jì)可獲純利多少元．（精確到1元）注：，．19．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎呷硨W(xué)生為了迎接高考，參加了學(xué)校的5次模擬考試，其中5次的模擬考試成績?nèi)绫硭?，次?shù)（x）12345考試成績（y）498499497501505設(shè)變量x，y滿足回歸直線方程．(1)假如高考也符合上述的模擬考試的回歸直線方程，高考看作第10次模擬考試，預(yù)測2024年的高考的成績；(2)從上面的5次考試成績