第九章拉普拉斯變換

上一章介紹的傅立葉變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用，特別是在信號處理領(lǐng)域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號分析本質(zhì)上即是傅氏分析（譜分析）．但是任何東西都有它的局限性，傅氏變換也是如此．因而人們針對傅氏變換一些不足進行了各種各樣的改進．這些改進大體分為兩個方面，其一是提高它對問題的刻畫能力；其二是擴大它本身的適用范圍．本章介紹的是后面這種情況．

2024/3/151第七章拉普拉斯變換

7.1

拉普拉斯變換的概念

7.2拉氏變換的性質(zhì)7.3拉普拉斯逆變換7.4拉氏變換的應(yīng)用及綜合舉例2024/3/152第一節(jié)拉普拉斯變換的概念

1．拉普拉斯變換的定義

2024/3/153例1．解：1/s的拉氏逆變換為哪個？？？2024/3/154例2．解：由上式可得：2024/3/155第二節(jié)拉氏變換的性質(zhì)1．線性性質(zhì)一、線性與相似性質(zhì)

2024/3/156例1．解：

w偶函數(shù)

w奇函數(shù)2024/3/157例2．解：2．相似性質(zhì)2024/3/158二、微分性質(zhì)

1．導數(shù)的象函數(shù)推廣：此性質(zhì)使我們有可能將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程，因此它對分析線性系統(tǒng)有重要的作用．2024/3/159例3．解：利用線性性質(zhì)及微分性質(zhì)，有:代入初值:有前面結(jié)果，可以得到：對方程兩邊取拉氏變換，有:利用線性性質(zhì)，有:解得:2024/3/15102．象函數(shù)的導數(shù)一般地有例4．解：同理例5．2024/3/1511三、積分性質(zhì)

1．積分的象函數(shù)推廣：２．象函數(shù)的積分推廣：2024/3/1512例5．解：2024/3/1513四、延遲與位移性質(zhì)

1．位移性質(zhì)若則有證明：這個性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)其象函數(shù)做位移的拉氏變換等于2024/3/1514例6．設(shè)求解：令則據(jù)積分性質(zhì)得：所以2024/3/15152．延遲性質(zhì)若或證明：由定義2024/3/1516例7．求函數(shù)的拉氏變換．解：已知由延遲性知例8．求函數(shù)的拉氏變換．解：因為所以2024/3/1517五、周期函數(shù)的拉氏變換

設(shè)逐段光滑，則證明：由定義有2024/3/1518幾個常用函數(shù)的拉氏變換2024/3/1519六、卷積與卷積定理

1．卷積的概念前面討論兩函數(shù)傅氏卷積為則記作：2024/3/1520例1．解：2．卷積的性質(zhì)2024/3/15213．卷積定理或證明：2024/3/1522推論：則這性質(zhì)說明：函數(shù)卷積的拉氏變換等于其象函數(shù)的乘積．例2．求下列卷積的拉氏變換解：2024/3/1523第三節(jié)拉普拉斯逆變換一、反演積分公式

構(gòu)成一對互逆的積分變換公式，拉氏變換對．2024/3/1524二、利用留數(shù)計算反演積分

定理2：

即：計算復變函數(shù)積分通常比較困難，可以利用留數(shù)方法拉計算這個反演積分．2024/3/1525例1．解：法一利用部分分式求解解：法二利用卷積求解2024/3/1526根據(jù)卷積定理有：解：法二利用留數(shù)求解及留數(shù)計算法則有：2024/3/1527第四節(jié)拉普拉斯變換的應(yīng)用及綜合題

對于一個系統(tǒng)，無論是機械的，電的，要想真正了解、分析與研究，就應(yīng)該對該系統(tǒng)建立描述系統(tǒng)數(shù)量特性的數(shù)學模型或把面放窄一點來考慮就要建立該系統(tǒng)的微分方程，尤其在一些線性電路上，因為這一類線性電路是滿足疊加定原理的系統(tǒng)，它們在自動控制中占有很重要的地位，本節(jié)著重是對建立的微分方程，通過用拉氏變換的一套方法來解微分方程．

2024/3/1528例1．解：方程兩邊取拉氏變換，得：由拉氏變換的性質(zhì)及初始條件得：取逆變換，得：20