第25練空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用1[2020新高考Ⅰ卷·4,5分,難度★☆☆☆☆]日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A.20° B.40° C.50° D.90° 【解析】1.B

過球心O、點(diǎn)A以及晷針的軸截面如圖所示,其中CD為晷面,GF為晷針?biāo)谥本€,EF為點(diǎn)A處的水平面,GF⊥CD,CD∥OB,∠AOB=40°,∠OAE=∠OAF=90°,所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.故選B.2[2022浙江卷·8,4分,難度★★★☆☆]如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分別是棱BC,A1C1上的點(diǎn).記EF與AA1所成的角為α,EF與平面ABC所成的角為β,二面角F-BC-A的平面角為γ,則A.α≤β≤γ B.β≤α≤γC.β≤γ≤α D.α≤γ≤β

圖1

圖2

4[多選][2022新高考Ⅰ卷·9,5分,難度★★☆☆☆]已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

【解析】6.【參考答案】

(1)第1步:作輔助線,證DE⊥BC,AE⊥BC如圖,連接DE,AE,因?yàn)镈C=DB,且E為BC的中點(diǎn),所以DE⊥BC.因?yàn)椤螦DB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,所以△ADB≌△ADC(SAS).可得AC=AB,故AE⊥BC.第2步:證BC⊥平面ADE因?yàn)镈E∩AE=E,DE,AE?平面ADE,所以BC⊥平面ADE.第3步:證BC⊥DA又DA?平面ADE,所以BC⊥DA.

8[2021新高考Ⅰ卷·20,12分,難度★★★☆☆]如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點(diǎn).(1)證明:OA⊥CD;(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

9[2022新高考Ⅱ卷·20,12分,難度★★★☆☆]如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E為PB的中點(diǎn).(1)證明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.【解析】9.【參考答案】

(1)如圖,取AB的中點(diǎn)D,連接DP,DO,DE.因?yàn)锳P=PB,所以PD⊥AB.因?yàn)镻O為三棱錐P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,因?yàn)锳B?平面ABC,所以PO⊥AB.又PO,PD?平面POD,且PO∩PD=P,所以AB⊥平面POD.因?yàn)镺D?平面POD,所以AB⊥OD,又AB⊥AC,所以O(shè)D∥AC,因?yàn)镺D?平面PAC,AC?平面PAC,所以O(shè)D∥平面PAC.因?yàn)镈,E分別為BA,BP的中點(diǎn),所以DE∥PA,因?yàn)镈E?平面PAC,PA?平面PAC,所以DE∥平面PAC.

又OD,DE?平面ODE,OD∩DE=D,所以平面ODE∥平面PAC.又OE?平面ODE,所以O(shè)E∥平面PAC.

10[2021全國(guó)甲卷·19,12分,難度★★★☆☆]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

13[2020全國(guó)Ⅱ卷·20,12分,難度★★★☆☆]如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN