高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2024屆高三上學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，等價于，解得或，故或，因為，所以，所以.故選：D2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，所以，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，該點在第三象限.故選：C.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，所以在向量上的投影向量為.故選：A.4.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：是等差數(shù)列.由，可設(shè)，則，于是依次為，所以，所以.故選：B5.高斯是德國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德?牛頓并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作，是指不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論?函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域.若函數(shù)，則當(dāng)時，的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，則的定義域為，當(dāng)時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的值域為，所以的值域為，故選：C.6.在正方體棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由題意得，設(shè)點到平面的距離為，則由等體積轉(zhuǎn)化法為，當(dāng)與重合時，最大，最大為，此時最小，為.故選：B.7.設(shè)實數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，即，因為，所以，即恒成立，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，所以，若時，不等式恒成立，則恒成立，若時，，恒成立，則也成立，所以當(dāng)時，恒成立，所以得，即，設(shè)當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以，即正實數(shù)的最小值為.故選：C.8.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：A.二?多選題9.下列結(jié)論中正確的有（）A.數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)為30B.已知隨機變量服從二項分布，若，則C.已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則D.若變量和之間的樣本相關(guān)系數(shù)為，則變量和之間的正相關(guān)性很小〖答案〗BC〖解析〗對于項，11個數(shù)的順序為，所以第75百分位數(shù)為27，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，所以，解得，故B項正確；對于C項，回歸直線必過樣本中心可得，解得，故C項正確；對于D項，為正值時，值越大，判斷“與之間的正相關(guān)”越強，故D項不正確.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）A.，函數(shù)的最小正周期為B.C.方程的解為、D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，因為，則，則，因為，則，，故A不正確；對于B選項，，則，所以，，故B正確；由，得，即，即，所以，或，因為，，所以，或，解得或，故C正確；對于D選項，因為，則，，，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，又因為，則，所以，，故D正確.故選：BCD.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于兩個不同的點，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時，B.C.若直線的傾斜角分別為，則D.若點關(guān)于軸的對稱點為點，則直線必恒過定點〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，.對于選項A：當(dāng)時，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為：，點.當(dāng)時，過點的直線方程為.聯(lián)立方程組，整理得：，則.所以由拋物線的定義可得：，故選項A正確；對于選項B：當(dāng)時，直線為軸，此時直線和拋物線只有一個交點，故選項B不正確；對于選項C：由可得：點，準(zhǔn)線方程為，點.則直線.聯(lián)立方程組，整理得：，則.因為，所以所以，故選項C正確；對于選項D：因為點關(guān)于軸的對稱點為點，，所以直線與的傾斜角相同，即三點共線.所以直線必恒過定點，故選項D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則方程有兩個不同的根，即有兩個不同的根，構(gòu)造函數(shù)，則.①若，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，取實數(shù)滿足且，則有，所以有兩個零點.②若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故，故不存在兩個零點，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，故，故不存在兩個零點，綜上得，故選：CD.三?填空題13.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，且的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗對于函數(shù)，且，令，則，則函數(shù)且的圖象恒過定點，則，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最小值為，故〖答案〗為;15.2023年9月23日，杭州第19屆亞運會開幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢?引導(dǎo)運動員入場?賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則共有種安排方案__________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗6名志愿者被安排三項工作，每項工作至少安排1人，則分組方式為或或；第一步先分組，分組方式共有種；第二步再分配，三個組三個任務(wù)，由排列的定義可知為全排列種分配方案；第三步根據(jù)分步乘法原理總計種按排方案.故〖答案〗為：.16.如圖所示，已知正方體的棱長為2，點在上，且，動點在正方形內(nèi)運動（含邊界），若，則當(dāng)取得最小值時，三棱錐外接球的半徑為__________.〖答案〗〖解析〗連接，則，所以點在正方形內(nèi)運動軌跡為以為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，連接，則，所以取得最小值時，只需取得最小值即可，連接交圓弧于點，此時取得最小值，則取得最小值，連接，則為等腰直角三角形，，又因為，所以三棱錐為四個面均為直角三角形的三棱錐，則球心為的中點，為直徑，則，所以外接球半徑.故〖答案〗為：.四?解答題17.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意得，①當(dāng)時，，②由①-②得，即，又時，，滿足上式，綜上，.（2）由（1）可得，故，設(shè)數(shù)列的前項和為，所以.18.在中，角的平分線與邊交于點，且滿足.（1）若，求角；（2）若，求證：.（1）解：……①由①式可得：……②對①化簡有：……③由③可以得：……④，而(舍去)……⑤由……⑥④代入⑥有：……⑦故.（2）證明：由第一問知可推得……⑧由⑧式知：……⑨由幾何關(guān)系得：即：……⑩⑨代入⑩得：.19.如圖1，已知正三角形邊長為4，其中，現(xiàn)沿著翻折，將點翻折到點處，使得平面平面為中點，如圖2.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取中點為的中點為，連接與，正三角形中，，所以，則四邊形為等腰梯形，故；由翻折性質(zhì)可得，,則≌，是的中點，，平面平面，平面平面平面，平面平面，以點為坐標(biāo)原點以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正的邊長為，則為正三角形，邊長為3，則，，連接，在中，由勾股定理得，，則，，異面直線所成角的取值范圍為，異面直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）得，，，易得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù)為常數(shù)，過曲線上一點處的切線與軸垂直.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對任意的，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，又，，則，令，在上單調(diào)遞增，又，所以不等式的解集為，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）若對任意的，使得恒成立，只需，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，為中的最大值，，令，則，在上是增函數(shù)，而，即，，對于，則，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，因為，所以的取值范圍為.21.已知橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點，若橢圓經(jīng)過兩點，且直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）點是直線上一動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為.①求證直線恒過定點，并求出此定點；②求面積的最小值.（1）解：若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點，若橢圓經(jīng)過兩點，可得，可得，設(shè)，且，則，因為，可得，所以，所以橢圓的方程為.（2）解：①由（1）知，橢圓的焦點，設(shè)，則切線的方程為，即，點在直線上，所以，即，因為，所以，因，所以，代入上式，可得所以，同理，所以直線恒過定點.②由（1）知直線恒過定點，令直線，代入橢圓方程，聯(lián)立方程組，可得，則，且，（i）當(dāng)時，點到直線的距離為，因為，所以，所以，所以，所以，又由弦長公式，可得，所以，令，所以，則，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以；（ii）當(dāng)時，，綜上可得，的最小值為.22.在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構(gòu)成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因