河北省衡水市陽光中學2023年高二數(shù)學理第三次調(diào)研

考試含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.方程2x'-5x+2=0的兩個根可分別作為（）的離心率。

A.橢圓和雙曲線B.兩條拋物線C.橢圓和拋物線D.兩個橢圓

參考答案：

A

2.設。是平行四邊形A5CD對角線的交點，給出下列向量組:①而與歷；

②15冢5；

③百無；④辦歷.其中，可作為基底的是（）

A.①③B.②④C.①②

D.③④

參考答案：

A

3.在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的

種數(shù)是（）

123

A.B.C6C”C.C100-

333

OD.A13—Aa

參考答案：

C

4已知a=03\"1』6clogJO則()

A.c>a>bB.a>c>bc.b>c>aD.a>b>c

參考答案：

c

【分析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：a<l,整理也c可得：b=l+lo&2,C=1}lqgs2,再利用

1叫2>1%2即可判斷6>￡；>%問題得解.

【詳解】0=03*<0^=1

8=1嗚6=log.3?ktg32=14g2>1

c=logj。=logs5<10^2=14lags2>l

>lQBj2>log52所以b>c>a.

故選：C

【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了對數(shù)的運算及性質(zhì)，考查計算能力及

轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。

22a-+%.

5.已知等比數(shù)列g(shù)j的各項都是正數(shù)，且“'三與成等差數(shù)列，則占一與().

(A)y/2(B)3-2我(C)3+2&(D)力

參考答案：

C

略

6.利用反證法證明：若而+6'=0,則a=8-0,應假設()

A.a,b不都為0B.a,b都不為0

C.a,。不都為0,且D.a,b至少一個為0

參考答案：

A

【分析】

ab0表示都是0”，其否定是不都是伊.

【詳解】反證法是先假設結(jié)論不成立,

?;結(jié)論a=8:0表示都是0”，

二結(jié)論的否定為：“0》不都是0".

【點睛】在簡易邏輯中，“都是”的否定為“不都是”；“全是”的否定為“不全是”，而不能把

它們的否定誤認為是“都不是”、“全不是

7.若直線11：y=k（x-4）與直線12關(guān)于點（2,1）對稱，則直線12恒過定點（）

A.（0,4）B.（0,2）C.（-2,4）D.（4,-2）

參考答案：

B

【考點】恒過定點的直線；與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程.

【分析】先找出直線h恒過定點（4,0）,其關(guān)于點（2,1）對稱點（0,2）在直線12

上，可得直線12恒過定點.

【解答】解：由于直線11：y=k（x-4）恒過定點（4,0）,其關(guān)于點（2,1）對稱的點

為（0,2）,

又由于直線h：y=k（x-4）與直線L關(guān)于點（2,1）對稱，直線b恒過定點（0,

2）.

故選B

【點評】本題考查直線過定點問題，由于直線h和直線b關(guān)于點（2,1）對稱，故有直線

h上的定點關(guān)于點（2,1）對稱點

一定在直線12上.

8.已知長方體ABCDA出CLDI中，&=班=4，AD-1,則異面直線31c和CQ所

成角的余弦值為（）

在在也遮

A.4B.3C.6D.6

參考答案：

A

【分析】

依據(jù)題意作出長方體圖形，連接網(wǎng)/c,由長方體性質(zhì)可得：乙斗7就是異面直線

8r和所成角（或補角），再利用余弦定理計算即可。

【詳解】依據(jù)題意作出長方體圖形如下，連接

由長方體性質(zhì)可得：4〃oq

所以//總就是異面直線3和S所成角（或補角）,

由已知可得：*=柄k=2&=病彳可=*

^C=^）+l5=2

…-AC16.4-4遍

所以lAJ^&C2x^x24

故選：A

【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的概念，還考查了余弦定理知識，屬于基礎題。

x'+/

9.橢圓M：廠斤=1（a〉6>0）的左、右焦點分別為E、F2,P為橢圓M上任一

點，且忸川I阿I的最大值的取值范圍是［2°2,3c4,其中c=〃-b'.則橢圓M的

離心率e的取值范圍是（）.

參考答案：

A

10.在AABC中，若a=2isinZ,則B等于()

A.30?；?0°B.45?；?0°C.60?；?20°D.30?；?50°

參考答案：

D

【分析】

利用正弦定理直接計算得到答案.

【詳解】在A4C中，若a=2*sind

根據(jù)正弦定理：

sin/=20如ind

anil0)

A=30°或150P

故答案選D

【點睛】本題考查了正弦定理，屬于簡單題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.如果把個位數(shù)是1,且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由

1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有個.

參考答案：

12

略

(x-a)(x--)>0

12.若。<a<l,則不等式-a的解集是o

參考答案：

(-oo.a)U(---KO)

13.已知數(shù)列LJ前*項和為邑，4二二冬?J二31，則八二.

參考答案：

[1（?=1）

3x4i（心2）

14.如圖，長方體48CQ-4與GA中，幺5c。是邊長為1的正方形，46與平面松C。

所成的角為45二則棱網(wǎng)的長為；二面角7的大小為.

氏45*

15.經(jīng)調(diào)查顯示某地年收入x（單位：萬元）與年飲食支出y（單位：萬元）具有線

性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程y=0.278x+0.826.由回歸直

線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加萬元。

參考答案：

0278

16.每次試驗的成功率為0（O<p<l）,重復進行5次試驗，其中前3次都未成功，后2次都

成功的概率為.

參考答案：

P'（】-P）'

17.給出以下結(jié)論：

①命題“若j?-3x-4-0,則x-4”的逆否命題為“若x*4,貝|/-3工-4H0”；

②“x=4”是“/-3x-4=0”的充分條件；

③命題“若"》>o,則方程7+工一"》=0有實根”的逆命題為真命題；

④命題“若+/=0,則E=o且”=0”的否命題是真命題.

則其中錯誤的是.(填序號)

參考答案：

③

【分析】

直接寫出命題的逆否命題判斷①；由充分必要條件的判定方法判斷②；舉例說明③錯誤；

寫出命題的否命題判斷④；

【詳解】①命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題為“若田,則X2-3x-4加”,故①

正確；

②為=4?/一3元一4=0；x2-3x-4=0,解得：尤=-1或無=4.

，、二個是“%2-3x-4=0”的充分條件，故②正確；

③命題“若m>0,則方程Ax-m=0有實根”的逆命題為“若方程好+x-m=0有實根，則

是假命題，如："=0時，方程無-，*=0有實根；

④命題“若m2+n2=0,則772=0且〃=0”的否命題是“若m2+n2#0.則m#0或*0”,是真命

題故④正確；

故答案為：③.

【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查了命題的否命題和逆否命題，訓練了充分

必要條件的判定方法，屬中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本題滿分14分)

已知復數(shù)z=3+加俗eR),且Q+制z為純虛數(shù).

(1)求復數(shù)z；

_Z

(2)若二，求復數(shù)w的模M.

參考答案:

解：(1)(1+攵)(3+機)=(3-兌),〔9+%：.................4分

???(1+攵)z是純虛數(shù)

—3一弘=0,且9+上30.......................................................................6分

b=\,.z-3+i.......................................................................7分

_3+i_(3+i)(2-i)_7-i_7_1

(2)W=2+?=C2+i)(2-J)=3-=5-51..................................................12分

Y55......................................................14

19.已知m=(coscox+sincox,coscox),n=(coscox—

sin①x,2sins),其中。＞0,設函數(shù)八%)=的〃，且函數(shù)/(x)的周期為兀.

(1)求。的值；

(2)在AABC中，a,b,c分別是角A,B,。的對邊，且a,b,c成等差數(shù)列.當

冊)=1時，判斷"BC的形狀.

參考答案：

(l)vm=(cos(y.r+sincox,cosa)x),

〃=(cos。％—sincox,2sinaa)((y〉0)

???JO)=m*n=CGSsin①x+2cosctasin①x

=cos2co%+sin2①x.

?-fix)=2sin(2①x+).

丫函數(shù)/(x)的周期為兀，???T==*?G=L

(2)在△ABC中,娜)=1,???2sin(23+)=l.

.,.sin(2B+)=.

又vQ<B<7i，:?<2B+<71.

???25+=.；.B=.

?：a,b,c成等差數(shù)列，.?.2Z;=Q+C

???cos5--cos■—,

???QC=Q2+C2—?

化簡得a=c.又.,.△ABC為正三角形.

20.在一次考試中某班級50名學生的成績統(tǒng)計如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75

分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.

分697374757778798082838587899395合

數(shù)計

人24423463344523150

數(shù)

經(jīng)計算樣本的平均值"=81,標準差862為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一

人，記其成績?yōu)閄，并根據(jù)以下不等式進行評判

①尸〃-o<X<n+o)>0.6828；

@P(/i-2(T<X<//+2(7)>0.9544；

③尸〃一3c<X<〃+3c)>0.9974

評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，

則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.

(1)試判斷該份試卷被評為哪種等級；

(2)按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨

機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量&表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量自

的分布列和數(shù)學期望.

參考答案：

(1)該份試卷應被評為合格試卷；(2)見解析

【分析】

(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，計算,“-<7?一“-山，-"?一"-<

""--的值，由此判斷出“該份試卷應被評為合格試卷(2)利用超

幾何分布分布列計算公式，計算出分布列，并求得數(shù)學期望.

［詳解］(1)."-(J\"?<TI=11<71.S-\"S7.=—=II.r>K''O.c-

P(“-2<T<Xc〃*2。)2P(6^.6<X<93.4)-zr=0.98>0.9544

L/(T?\“?S?->F.；?〃?川“J:,：i.?。籌,

因為考生成績滿足兩個不等式，所以該份試卷應被評為合格試卷.

(2)50人中成績一般、良好及優(yōu)秀的比例為；,所以所抽出的10人中，成績優(yōu)秀的

有3人，所以？的取值可能為0,1,2,3

,4…d33I,aKCfci：03!

/1?!l.-???;-I-I?-,-?

,djCM6331fd—CMTI

P(12)=-r=-,1'=?二-P-(?…i92I'?=

所以隨機變的(分布列為

40123

C

P1

id30

【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布的概念，考查頻率的計算，考查超幾何分布的分布列以

及數(shù)學期望的計算，屬于中檔題.

21.已知AABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設向量nF(a，b),

n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).

(1)若ir〃n,求證：AABC為等腰三角形;

71

(2)若邊長c=2,角C=3,求AABC的面積.

參考答案:

【考點】平面向量共線(平行)的坐標表示.

【分析】(1)利用向量平行的條件，寫出向量平行坐標形式的條件，得到關(guān)于三角形的

邊和角之間的關(guān)系，利用余弦定理變形得到三角形是等腰三角形.

(2)利用向量垂直數(shù)量積為零，寫出三角形邊之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理得到求三角形

面積所需的兩邊的乘積的值，求出三角形的面積.

【解答】證明：(1)Vm/7n

/.asinA=bsinB

ab

即a?2R=b?2R.其中R為△ABC外接圓半徑.

a=b

/.△ABC為等腰三角形.

(2)由題意，m?p=O

Aa(b-2)+b(a-2)=0

/.a+b=ab

n

由余弦定理4=a2+b2-2ab?cos3

/.4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab

???(ab)2-3ab-4=0

/.ab=4或ab=-1(舍去)

1

/.SAABC=2absinC

1n

=2X4Xsin3=73

22.已知函數(shù)/