2022-2023學年浙江省杭州市良渚中學高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知F1（0，﹣1），F(xiàn)2（0，1）是橢圓的兩個焦點，過F1的直線l交橢圓于M，N兩點，若△MF2N的周長為8，則橢圓方程為（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題意可設橢圓的標準方程為：+=1（a＞b＞0）．△MF2N的周長為8，可得4a=8，又c=1，a2=b2+c2，聯(lián)立解出即可得出．【解答】解：由題意可設橢圓的標準方程為：+=1（a＞b＞0）．∵△MF2N的周長為8，∴4a=8，又c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．可得橢圓的標準方程為：+=1．故選：D．2.已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.設則p，q，r的大小關系為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.兩圓和的位置關系是（

）A

相離

B

相交

C

內切

D

外切參考答案：B5.已知實數(shù)x，y滿足不等式組，則z=3x﹣y的最大值為（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】首先畫出平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖：目標函數(shù)z=3x﹣y變形為y=3x﹣z，此直線在y軸截距最小時，z最大，由區(qū)域可知，直線經(jīng)過圖中A（0，2）時，z取最大值為﹣2；故選C6.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C7.下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．某校高二年級有10個班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推測各班人數(shù)都超過60人B．根據(jù)三角形的性質，可以推測空間四面體的性質C．平行四邊形對角線互相平分，矩形是平行四邊形，所以矩形的對角線互相平分D．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，n∈N*，計算a2，a3，由此歸納出{an}的通項公式參考答案：C【考點】演繹推理的基本方法．【分析】需逐個選項來驗證，B選項屬于類比推理，A選項和D選項都屬于歸納推理，只有C選項符合題意．【解答】解：A選項，某校高二年級有10個班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推測各班都超過50人，也屬于歸納推理，B選項，由三角形的性質，推測空間四面體性質，屬于類比推理；C選項，具有明顯的大前提，小前提，結論，屬于典型的演繹推理的三段論形式．D選項，在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，n∈N*，由此歸納出{an}的通項公式，屬于歸納推理；綜上，可知，只有C選項為演繹推理．故選C．8.隨機變量ξ～B(100，0.3)，則D(3ξ-5)等于

(

)A．62

B．84

C．184

D．189參考答案：D9.設隨機變量，若，則的值為()A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.實數(shù)x，y滿足不等式組，則ω=的取值范圍是（）A．[﹣，] B．[﹣1，] C．[﹣1，1） D．[﹣，1）參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域，分析表示的幾何意義，結合圖象即可給出的取值范圍．【解答】解：約束條件對應的平面區(qū)域如下圖示：表示可行域內的點（x，y）與點（﹣1，1）連線的斜率，由圖可知的取值范圍是，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調遞減區(qū)間

.

參考答案：

略12.已知“過圓上一點的切線方程是”,類比上述結論，則過橢圓上一點的切線方程為

.參考答案：13.橢圓中，以點M（-1，2）為中點的弦所在的直線斜率為

參考答案：略14.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內,過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為

.參考答案：1015.已知復數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則_____，______．參考答案：，

【分析】求復數(shù)的模，計算，由可化簡得值.【詳解】由題得，.16.洛書古稱龜書，是陰陽五行術數(shù)之源.在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有如圖所示圖案，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中.洛書中蘊含的規(guī)律奧妙無窮，比如：.據(jù)此你能得到類似等式是

．參考答案：

17.如圖所示，正方體中，分別是的中點，是

正方形的中心，則四邊形在該正方體的各個面的射影可能是下圖中的

參考答案：①②③;三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點為F（﹣c，0），離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c，|FM|=．（Ⅰ）求直線FM的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【專題】創(chuàng)新題型；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）通過離心率為，計算可得a2=3c2、b2=2c2，設直線FM的方程為y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，計算可得結論；（Ⅱ）通過聯(lián)立橢圓與直線FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=計算即可；（Ⅲ）設動點P的坐標為（x，y），分別聯(lián)立直線FP、直線OP與橢圓方程，分x∈（﹣，﹣1）與x∈（﹣1，0）兩種情況討論即可結論．【解答】解：（Ⅰ）∵離心率為，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，設直線FM的斜率為k（k＞0），則直線FM的方程為y=k（x+c），∵直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c，∴圓心（0，0）到直線FM的距離d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直線FM的斜率為；（Ⅱ）由（I）得橢圓方程為：+=1，直線FM的方程為y=（x+c），聯(lián)立兩個方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵點M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即橢圓的方程為+=1；（Ⅲ）設動點P的坐標為（x，y），直線FP的斜率為t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），聯(lián)立方程組，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直線FP的斜率大于，∴＞，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，設直線OP的斜率為m，得m=，即y=mx（x≠0），聯(lián)立方程組，消去y并整理，得m2=﹣．①當x∈（﹣，﹣1）時，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②當x∈（﹣1，0）時，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；綜上所述，直線OP的斜率的取值范圍是：（﹣∞，﹣）∪（，）．【點評】本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關系、一元二次不等式等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分13分）

設橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，離心率為，在x軸負半軸上有一點B，且＝2．

（I）若過A，B，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線x－y－3＝0相切，求橢圓C的方程；

（II）在（I）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在

x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果

存在，求出。的取值范圍；如果不存在，說明理由．

參考答案：解：（Ⅰ），.又，.，.

所以過、、三點的圓的圓心為，半徑為2c.由圓與直線相切，得.所以.所以.所以，所求橢圓方程為.………………（5分）（Ⅱ）設的方程為，代入橢圓方程，得.設，則，.，當能構成菱形時，，即，，即.，即.而.所以存在，使得為鄰邊的平行四邊形為菱形.

………（13分）20.已知以點C為圓心的圓經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（3，4），且圓心C在直線x+3y﹣15=0上．（1）求圓C的方程；（2）設點P在圓C上，求Rt△PAB的面積．參考答案：【考點】圓的標準方程．【專題】計算題；方程思想；數(shù)形結合法；直線與圓．【分析】（1）圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y﹣15的交點，解之可得C（﹣3，6），由距離公式可得半徑，進而可得所求圓C的方程；（2）求出|AB|，由題意可得角A或角B為直角，可知Rt△PAB的斜邊長為圓的直徑，由勾股定理求得另一直角邊長，則Rt△PAB的面積可求．【解答】解：（1）依題意所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y﹣15=0的交點，∵AB的中點為（1，2），斜率為=1，∴AB的垂直平分線的方程為y﹣2=﹣（x﹣1），即y=﹣x+3，聯(lián)立，解得，即圓心C（﹣3，6）．∴半徑r=．∴所求圓C的方程為（x+3）2+（y﹣6）2=40；（2）如圖，|AB|=，PA或PB為圓的直徑，等于，∴Rt△PAB的另一條直角邊為，∴Rt△PAB的面積為×4×8=32．【點評】本題考查圓的標準方程的求法，考查了直線與圓的性質，訓練了數(shù)形結合的解題思想方法，屬中檔題．21.某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項質量指標存在問題．該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲，乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測出它們的這一項質量指標值．若該項質量指標值落在根據(jù)圖1，估計乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質量指標值的中位數(shù)；（Ⅱ）若將頻率視為概率，某個月內甲，乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲，乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？（Ⅲ）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有85%的把握認為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲，乙兩條流水線的選擇有關”？

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品

不合格品

合計

附：（其中n=a+b+c+d為樣本容量）P（K2≥k）50.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估計乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質量指標值的中位數(shù)；（Ⅱ）求出甲，乙兩條流水線生產(chǎn)的不合格的概率，即可得出結論；（Ⅲ）計算可得K2的近似值，結合參考數(shù)值可得結論．【解答】解：（Ⅰ）設乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品的該項質量指標值的中位數(shù)為x，因為0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…則（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…解得．

…（Ⅱ）由甲，乙兩條流水線各抽取的50件產(chǎn)品可得，甲流水線生產(chǎn)的不合格品有15件，則甲流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率為，…乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率為，…于是，若某個月內甲，乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲，乙兩條流水線生產(chǎn)的不合格品件數(shù)分別為：．

…（Ⅲ）2×2列聯(lián)表：

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品354075不合格品151025合計5050100…則，…因為1.3＜2.072，所以沒有85%的把握認為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項質量指標值與甲，乙兩條流水線的選擇有關”．

…22.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）當a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為﹣2，求a的取值范圍；（3）若對于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，分別令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函數(shù)的單