2022年福建省莆田市私立實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若向量與的夾角為，，，則

（）A．

B．4 C．6

D．12參考答案：C2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.一個(gè)直棱柱被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.9

B.10

C.11

D.參考答案：C4.已知定義在上的函數(shù)，為其導(dǎo)數(shù)，且恒成立，則（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】通過，可以聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的除法，這樣可以構(gòu)造新函數(shù)，，這樣就可以判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，把四個(gè)選項(xiàng)變形，利用單調(diào)性判斷出是否正確.【詳解】通過,這個(gè)結(jié)構(gòu)形式，可以構(gòu)造新函數(shù)，，而，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，現(xiàn)對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷：選項(xiàng)A.,可以判斷是否正確，也就是判斷是否正確，即判斷是否成立，因?yàn)?，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B.，也就是判斷是否正確，即判斷是否成立，即判斷是否成立，因?yàn)?，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，故選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C.，也就是判斷是否正確，即判斷是否成立，即判斷是否成立，因?yàn)?，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，故選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D.，也就是判斷，是否成立，即判斷是否成立，因?yàn)?，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，因此選項(xiàng)D不正確，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)給定的已知不等式，聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的除法運(yùn)算法則，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，對四個(gè)選項(xiàng)中不等式是否成立作出判斷.重點(diǎn)考查了構(gòu)造思想.關(guān)鍵是熟練掌握一些基本的模型結(jié)構(gòu)特征.

5.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則此幾何體的直觀圖是(

)A

B

C

D參考答案：D6.小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則（

）A. B. C. D.參考答案：A分析：由條件概率公式計(jì)算即可.詳解：，，，則.故選：A.7.將7個(gè)座位連成一排，安排4個(gè)人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有（

）A.240

B.480

C.720

D.960參考答案：B8.函數(shù)的大致圖象是（

）A. B.C. D.參考答案：A∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)，故排除D．又，故排除B,C．選A．點(diǎn)睛：已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象的形狀時(shí)，主要是按照排除法進(jìn)行求解，可按照以下步驟進(jìn)行：（1）求出函數(shù)的定義域，對圖象進(jìn)行排除；（2）判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，對圖象進(jìn)行排除；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢判斷；（4）當(dāng)以上方法還不能判斷出圖象時(shí)，再選取一些特殊點(diǎn)，根據(jù)特殊點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷．9.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0，a2=﹣，則{an}的前10項(xiàng)和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由已知可知，數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知可求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：∵3an+1+an=0∴∴數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列∵∴a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故選C【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題10.雙曲線：﹣=1的離心率為m，記函數(shù)y=x2與y=mx的圖象所圍成的陰影部分的面積為S（如圖所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出離心率m，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合積分的應(yīng)用求出陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由﹣=1得a2=4，b2=12，則c2=4+12=16，即a=2，c=4，則離心率為m===2，則直線y=mx=2x代入y=x2，得x2=2x，則x=0或x=2，則陰影部分的面積S=∫（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=4﹣=，∵x∈[0，2]，y∈[0，4]，∴對應(yīng)矩形的面積S=2×4=8，則則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P==，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠DPA=450，∠DPB=600，則∠DPC=__________參考答案：答案：600

點(diǎn)評：以PD為對角線構(gòu)造長方體，問題轉(zhuǎn)化為對角線PD與棱PC的夾角，利用cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，構(gòu)造模型問題能力弱。12.已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)P、Q滿足，，.若，則

．參考答案：2或-113.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是

.參考答案：14.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為______________。參考答案：38略15.設(shè)，則__________．參考答案：11016.已知某個(gè)幾何體的三視圖如左圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是

.參考答案：17.已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M－m＝_____

___.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（）．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）易求f（x﹣1）+f（x+3）=，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可求f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集；（Ⅱ）利用分析法，要證f（ab）＞|a|f（），只需證證（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，再作差證明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x﹣1）+f（x+3）=|x﹣2|+|x+2|=，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，由﹣2x≥6，解得x≤﹣3；當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，f（x）=4≥6不成立；當(dāng)x＞2時(shí)，由2x≥6，解得x≥3．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集為{x|x≤﹣3，或x≥3}．

（Ⅱ）證明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，∴要證f（ab）＞|a|f（），只需證|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需證（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，b2﹣1）＞0顯然成立，19.（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，平面為的中點(diǎn)。（1）求證：平面；

（2）求證：平面；（3）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面垂直?

若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由。參考答案：證明：如圖，連接與相交于，則為的中點(diǎn)。連結(jié)，又為的中點(diǎn)，，又平面，平面。（Ⅱ），∴四邊形為正方形，。又面，面，。又在直棱柱中，，平面。（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面。、分別為、的中點(diǎn)，。平面，平面。又平面，∴平面平面。20.（本小題滿分16分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別A、B，橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作PH⊥軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q，且PQ=HP，過點(diǎn)B作直線軸，連結(jié)AQ并延長交直線于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系。參考答案：解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0，1），所以，又橢圓的離心率得，

即，由得，所以，

故所求橢圓方程為。（6分）

（2）設(shè)，則，設(shè)，∵HP=PQ，∴

即，將代入得，

所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上。

又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，

又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴，，

∴

，∴，∴直線QN與圓O相切。（16分）21.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(Ⅰ)求圓C的極坐標(biāo)方程．(Ⅱ)直線l的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）線段的長為2．試題分析：（Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程，首先得知道圓的普通方程，由圓的參數(shù)方程為參數(shù)），可得圓的普通方程是，由公式，，，可得圓的極坐標(biāo)方程，值得注意的是，參數(shù)方程化極坐標(biāo)方程，必須轉(zhuǎn)化為普通方程；（Ⅱ）求線段的長，此問題處理方法有兩種，一轉(zhuǎn)化為普通方程，利用普通方程求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，有兩點(diǎn)距離公式可求得線段的長，二利用極坐標(biāo)方程求出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，由于，所以，所以線段的長為2．試題解析：(Ⅰ)圓的普通方程是，又;所以圓的極坐標(biāo)方程是.(Ⅱ)設(shè)為點(diǎn)的極坐標(biāo)，則有解得，設(shè)為點(diǎn)的極坐標(biāo)，則有解得，由于，所以，所以線段的長為2.考點(diǎn)：參數(shù)方程，普通方程，極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力及運(yùn)算能力．22.已知直線l經(jīng)過兩條直線2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交點(diǎn)，且與直線2x﹣2y﹣5=0平行．（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）求點(diǎn)P（2，2）到直線l的距離．參考答案：【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離；點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程