五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編19-平面解

析幾何（直線(xiàn)與方程）（含解析）

一、單選題

22

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）橢圓C:,+W=l（a>%>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均

在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直線(xiàn)ARA。的斜率之積為!，則C的離心率為（）

A.在B.—C.?D.-

2223

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，瓦Ce是

桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中力A,cq,BB∣,AA是舉，ORQG,CB/A是相等的步，相鄰桁的舉步之比分

別為等L=05會(huì)=配粵=右，普=%?已知K，自人成公差為0」的等差數(shù)列，且

C√Z√lZ√C1Cr>∣OA1

直線(xiàn)OA的斜率為0.725,則/=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2021.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）拋物線(xiàn)V=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線(xiàn)y=X+1的距離為血，

貝"（）

A.IB.2C.2√2D.4

4.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）點(diǎn)（0,-1）到直線(xiàn)y=%（x+l）距離的最大值為（）

A.1B.√2C.√3D.2

5.（2020.浙江?統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)O（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足

?PA?-?PB?=2,且P為函數(shù)產(chǎn)344-國(guó)圖像上的點(diǎn),則IoPl=（）

A.叵B.C.√7D.√10

25

6.(2020.山東.統(tǒng)考高考真題)直線(xiàn)2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(-1,2)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是()

A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0

C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0

7.(2020?山東?統(tǒng)考高考真題)己知直線(xiàn)/：y=xsin夕+cos，的圖像如圖所示，則角〃是

()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

7?

8.(2018?全國(guó)?高考真題)已知雙曲線(xiàn)C：?__2_=l(4>0,。>0)的離心率為正，則點(diǎn)

a2b2

(4,0)到C的漸近線(xiàn)的距離為

A.√2B.2D.2√2

9.(2018.北京?高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，記"為點(diǎn)P(COSo,sin6)到直線(xiàn)

x-∕wy-2=0的距離，當(dāng)6?、m變化時(shí)，"的最大值為

A.1B.2

C.3D.4

1°?(2。及北京?高考真題)己知直線(xiàn)’的參數(shù)方程為丁2+〃C為參數(shù)),則點(diǎn)(W

到直線(xiàn)/的距離是

二、多選題

11.(2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C：=2px(p>0)焦點(diǎn)尸

的直線(xiàn)與C交于A,B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(P,0),若IAFHAM則()

A.直線(xiàn)AB的斜率為2指B.I<9B∣=∣OF∣

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

C.∣AB∣>41<9F∣D.ZOAM+ZOBM<??>0o

三、填空題

12.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),5(0M),若直線(xiàn)AB關(guān)于>="對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)

與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則α的取值范圍是.

13.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)點(diǎn)M在直線(xiàn)2x+y-l=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在M

上，則"的方程為.

22

14.(2021.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)雙曲線(xiàn)工r-匕v=1的右焦點(diǎn)到直線(xiàn)x+2y-8=0的距離

45

為.

15.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=H-Il,再<0,9>°，函數(shù)f(x)的圖象

在點(diǎn)AaJ(XJ)和點(diǎn)B(WJ(X2))的兩條切線(xiàn)互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn),

則需取值范圍是.

4

16.(2019?江蘇?高考真題)在平面直角坐標(biāo)系XO)，中，P是曲線(xiàn)J=X+—(x>0)上的一

X

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)X+)=O的距離的最小值是.

四、解答題

17.(2018?全國(guó)?高考真題)設(shè)橢圓c[+k=ι的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線(xiàn)/與C交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)40的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：NOMA=NOMB.

18.(2018?全國(guó).高考真題)設(shè)拋物線(xiàn)C：V=2x,點(diǎn)A(2,O),8(-2,0),過(guò)點(diǎn)4的直

線(xiàn)/與C交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

(2)證明：ZABM=ZABN.

19.(2019.江蘇.高考真題)如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)

型公路/,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路/上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建

兩段直線(xiàn)型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線(xiàn)段P8、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距離均不少丁

河。的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線(xiàn)/的距離分別為AC和Bc(C、。為垂足)，測(cè)得AB=10,

AC=6,BD=12（單位:百米）.

（1）若道路P8與橋AB垂直，求道路P3的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和。中能否有一個(gè)點(diǎn)選在。處？并說(shuō)明理由；

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為“（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，A

。兩點(diǎn)間的距離.

五、雙空題

20.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線(xiàn)C:工-E=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

63

;C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.A

2I

【分析】設(shè)P(XQJ,則Q(Tl,yj,根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得2=:，再根據(jù)

—X∣÷Cl4

?+?=l,將X用玉表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

ab

【詳解】［方法一］:設(shè)而不求

設(shè)Pa,M),則Q(T?,yj

則由原./A。=；得：^?^e=———=

4xl+a-xl+a-x1+a4

?χ↑2,y∣2_］得2(a^-x∣)

由部+層J,得y二一下一'

昨X)一

所以一藍(lán)—_1,即勺=L,

------2---ar4

-x1+a^4

所以橢圓C的離心率e=￡=、「5=立，故選A.

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點(diǎn)為B,連接PB,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：%=-%位

故lcAP-ZAC=k4-%----

由橢圓第三定義得：kPA-kAQ=-^,

..b21

?>Γ—=—

a24

所以橢圓C的離心率e=￡=、叵=走，故選A.

a?a~2

2.D

【分析】設(shè)。A=。G=C4=3=1,則可得關(guān)于右的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)ODl=DG=CBI=BAI=1,則CG=K，BHI=k2，例=%，

DD?+CG+BBl÷AzA

依題意，有%一0?2=K,勺一。-1=%2,且l=0.725,

OD1+DC1+CB1+BAi

所以"千絲=0.725,故.。.9,

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

故選：D

3.B

【分析】首先確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得P的值.

【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0；

￡-0+1

其到直線(xiàn)χ-y+ι=0的距離：d=2______=夜，

√Γ+T—

解得：P=2(p=-6舍去).

故選：B.

4.B

【分析】首先根據(jù)直線(xiàn)方程判斷出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(T,0),設(shè)A(0,T),當(dāng)直線(xiàn)y=Z(X+1)與AP

垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線(xiàn)y=A(χ+l)距離最大，即可求得結(jié)果.

【詳解】由y=A(χ+D可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(T0),設(shè)A(O,-1),

當(dāng)直線(xiàn)y=%(χ+D與AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線(xiàn)y=k(x+1)距離最大，

即為IAPI=√L

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，利用

幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)P既在雙曲線(xiàn)的一支上，又在函數(shù)y=3"≡∕的圖象上，即可

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，得到IOH的值.

【詳解】因?yàn)镮PAlTP8∣=2<4,所以點(diǎn)P在以4,8為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4的雙曲

線(xiàn)的右支上，由c=2,α=l可得，b2=c2-/="1=3,即雙曲線(xiàn)的右支方程為==](χ>o),

而點(diǎn)尸還在函數(shù)y=的圖象上,所以，

y=3?∣4-X2X=??

即吁耳？=阮

由<y2,解得《廣，

X2-?-=l(x>O)?,_?v?

故選：D.

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用，以及二次曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)

生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【分析】設(shè)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）,則其關(guān)于點(diǎn)（-1,2）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

（-2-x,4-y）,代入已知直線(xiàn)即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（X，y）,

則其關(guān)于點(diǎn)（-1,2）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2-x,4-y）,

因?yàn)辄c(diǎn)（-2-x,4-y）在直線(xiàn)2x+3y-6=0上，

所以2(—2-x)+3(4->)—6=0即2x+3y-2=0.

故選：D.

7.D

【分析】本題可根據(jù)直線(xiàn)的斜率和截距得出Sine<0、CoSe>0,即可得出結(jié)果.

【詳解】結(jié)合圖像易知，SineC0,COSe>0,

則角。是第四象限角，

故選：D.

8.D

【詳解】分析：由離心率計(jì)算出，，得到漸近線(xiàn)方程，再由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算即可.

所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為χ±y=0

4

所以點(diǎn)（4,0）到漸近線(xiàn)的距離d==2√2

√F+T

故選D

點(diǎn)睛：本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，漸近線(xiàn)和點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，屬于中檔題.

9.C

【分析】P為單位圓上一點(diǎn)，而直線(xiàn)X-緲-2=0過(guò)點(diǎn)A（2,0）,則根據(jù)幾何意義得d的最大

值為OA+1.

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】QCOS20+sin2e=l,.?.P為單位圓上一點(diǎn)，而直線(xiàn)X-緲-2=0過(guò)點(diǎn)A(2,0),

所以d的最大值為。4+1=2+1=3,選C.

【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距

離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類(lèi)問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題

轉(zhuǎn)化.

?θ.D

【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解距離即可.

【詳解】直線(xiàn)/的普通方程為4(x-l)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)/的距離

∣4-0÷2∣6,人

'7=^>TF'l≡D?

【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知

識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.

11.ACD

【分析】,再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表

示出直線(xiàn)Ag的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)求得，即可求出IoBl判斷B選項(xiàng)；由拋物線(xiàn)

的定義求出∣A8∣即可判斷C選項(xiàng)；由。VO3<0,M4?Λ∕B<0求得NAO8,ZAMB為

鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,易得F(?^,0),由IAH=I可得點(diǎn)A在f河的垂直平分線(xiàn)上，則A點(diǎn)橫

P

坐標(biāo)為2+PD=3p,

2-T

限P

代入拋物線(xiàn)可得>2=20-學(xué)=102,則2

,則直線(xiàn)AB的斜率為τ-—=2√6,

3￡_￡

42

A正確;

-1p

對(duì)于B,由斜率為2指r可得直線(xiàn)AB的方程為X=￡6)'+：，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得

I,

y2--^py-p'n,

設(shè)B(X”必)，則逅0+%=逅〃，則X=-圓,代入拋物線(xiàn)得

=2p?X],解得

263

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

T貝U8(g—當(dāng))，

則∣05∣=J"+［粵J=卒≠∣OF∣q,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由拋物線(xiàn)定義知：∣4B∣=^+5+p=著＞2p=4∣。尸C正確；

對(duì)于D,。4。B=號(hào),季)哼,-季)=￥《+冬’警卜-乎＜。，則4。5為

鈍角,

又MA?MB=（/坐）.（等一用=MT卜孚‘券＞考＜0,則ZAMB

為鈍角，

）LΛAOB+ZAMB+ZOAM+Z.OBM=360,貝IJNQ4M+NOBM＜180,D正確.

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于丁=。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，的坐標(biāo)，即可得到直線(xiàn)/的方程，根據(jù)圓心到直線(xiàn)

的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：A(-2,3)關(guān)于y=α對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-2,2α-3),WOM)在直線(xiàn)V=。上，

所以48所在直線(xiàn)即為直線(xiàn)/,所以直線(xiàn)/為y=±(x+0,即(α-3)x+2y-24=0:

圓C:(x+3)2+(y÷2)2=1,圓心。(一3,-2),半徑〃=1,

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

∣-3(α-3)-4-2a∣

依題意圓心到直線(xiàn)/的距離”≤1

Js-3)2+22

1Q1?

即(5-5”)~≤(4-3)一+2?,解得3≤α4j,即

^13一

故答案為：-.∣

13.(x-l)2+(y+l)2=5

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在，M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方

程.

【詳解】［方法一］：三點(diǎn)共圓

Y點(diǎn)M在直線(xiàn)2x+y-l=0上，

??.設(shè)點(diǎn)加為3,1-24),又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在M上，

.?.點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

222

λ∕(Λ-3)+(l-2tz)=Qa2+(-2a)=R，

a2-6a+9+4a2-4α+l=5α2.解得α=l,

ΛM(l,-l),R=yβ,

M的方程為(X-+(y+1)?=5.

故答案為：(X-D2+(>'+1)2=5

［方法二］:圓的幾何性質(zhì)

由題可知，M是以(3,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)y=3x-4與直線(xiàn)2x+y-1=0

的交點(diǎn)(7,-“?R=百,M的方程為(X-I)2+(y+l)2=5.

故答案為：(X-I)°+(y+1)?=5

14.√5

【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解.

【詳解】由已知，c=√7/=7^7=3,所以雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為(3,0),

∣3+2×0-8∣5/T

所以右焦點(diǎn)(3,0)到直線(xiàn)x+2y-8=O的距離為《包=而=".

故答案為：?∣5

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

15.(0,1)

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得%+X2=O,結(jié)合直線(xiàn)方程及兩點(diǎn)間距離公式可得

AM=y∣l+e2x'BN=y∣↑+e2^化簡(jiǎn)即可得解.

???∣x1∣,???∣x2∣,

?-ex,x<0、—，,X<0

【詳解】由題意，/(χ)=Pv-ι∣eT,x≥0'則/(X)=

e?x>O

x

所以點(diǎn)A(xv?-e')和點(diǎn)β(x2,^-l

所以一e~?e的=-l,x1+x2=O,

xrv,x

所以AM:y-l+e'=-^'(x-x1),Λ√(θ,ex1-e'+1),

所以+卜"+那?㈤,

IAM=J%j2μXj=

同理忸+e2x2

M=VT?∣x2∣,

|AA/|_√l+e2x'?∣x,∣_叵三=∕l÷g2r'

所以網(wǎng)-樂(lè)Fi丁歸kVr小=ex'∈(0,l).

故答案為：(0,1)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件再+乙=0,消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得

解.

16.4.

【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)與直線(xiàn)之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點(diǎn)坐標(biāo)可得最小距

離

4

【詳解】當(dāng)直線(xiàn)χ+y=O平移到與曲線(xiàn)y=χ+2相切位置時(shí),切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P至IJ直線(xiàn)χ+y=O

X

的距離最小.

由y'=l—γ=-l,得X=V∑(-λ∕Σ舍)，y=3>∕Σ,

X

即切點(diǎn)Q(√∑,3√Σ),

則切點(diǎn)Q到直線(xiàn)X+y=O的距離為悍+3閩=4,

√i77F

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到已知直線(xiàn)的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

17.(1)40的方程為y=-乎x+&或y=［x-√5:(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)/與X軸垂直，且過(guò)點(diǎn)尸(1,0),求得直線(xiàn)/的方程為尸1,代入橢圓方程求

得點(diǎn)A的坐標(biāo)為L(zhǎng),利用兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)AM的方程;

(2)方法一：分直線(xiàn)/與X軸重合、/與X軸垂直、/與X軸不重合也不垂直三種情況證明,

特殊情況比較簡(jiǎn)單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過(guò)直線(xiàn)的斜率的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，從

而證得結(jié)果.

【詳解】(1)由已知得尸(1,0),/的方程為X=L

由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，

所以AM的方程為y=_坐^+應(yīng)或y=.

(2)［方法一］：【通性通法】分類(lèi)+常規(guī)聯(lián)立

當(dāng)/與X軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=OO.

當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，QM為AB的垂直平分線(xiàn)，所以NQM4=NOMB.

當(dāng)/與X軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=I)(AHO),A(0χ),8(x2,%),

則Xl<√5,Λ?<C,直線(xiàn)M4、MB的斜率之和為ZMA+&?=出｝+黃豆.

2kx.x7-3k(x.+X7)+4?

由％=例-%,%=也一%得+kMB=-----(X—2)(.—2)----

2

將,=%(》_1)代入++,2=］得(26+1卜2_4&2》+2&2_2=0.

4?2Ik1-2

所以，

x1+x2=2/+1'*々=2公+1

4?3-4Λ-12?3+8?3+4?

則2kxx-3?(x+x)+4?==0.

l2l22?2+l

從而％MA+%ME=0,故M4、MB的傾斜角互補(bǔ)，所以NoM4=∕OM3.

綜上，20MA=N0MB.

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

［方法二］:角平分線(xiàn)定義的應(yīng)用

當(dāng)直線(xiàn)/與X軸重合或垂直時(shí)，顯然有NOM4=NQ3.當(dāng)直線(xiàn)/與X軸不垂直也不重合時(shí),

設(shè)直線(xiàn)/的方程為X=Wy+1,交橢圓于A(XI,乂)，β(?,y2).

V2_

由<2+^v+2)y2+2zwy-l=0.

x=∕ny+1

由韋達(dá)定理得y+%=-?^,yly2=-?-.

m+2/n+2

點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Na,-X),則直線(xiàn)BN的方程為(y+y∣)(?x2-Xl)=(X+%)(*-玉).

2T2m

2叫∣%+(M+)'2)="療+2-療+2=則

令)，=O,X=)1(——*)+百=+%+>』2

>?l+J2-^~2m-，

M+%X+J2

rrr+2

直線(xiàn)BN過(guò)點(diǎn)M,NOMA=NOMB.

［方法三］：直線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用

x=l+rcosa

設(shè)直線(xiàn)/的參數(shù)方程為G為參數(shù)).(*)

y=fsinα

將(*)式代入橢圓方程］+V=l中，整理得(l+sin%)∕+2COSM-1=0.

則'M=-'2cosa

t+t=-

i21÷sin2a

XA(l÷r1cosa√1sinσ),β(l+12cosa,t2Sina),則kMA+kMB=

∕1sinasina_4sina(t2sina

1+tlcosa-2l÷∕2cosa-2tlcos(2-lqCOSa-I

∕1sina(r2cosa-l)+r2sina(z1cos_2rlr2sinacosσ-(r1+q)sin0

(r1cosa-l)(^cosa-1)億cosa-l)(r2cosa-1)

-2sinacosa2sinacosa

----------------?-----------1----------------?—

1+sinα1+sinα

(rlCoSa-1)(∕2COSa-1)

即KWA=一《仍.所以NOM4=NQM5.

［方法四］:【最優(yōu)解】橢圓第二定義的應(yīng)用

當(dāng)直線(xiàn)/與X軸重合時(shí)，NOMA=NOMB=0。.

當(dāng)直線(xiàn)/與X軸不重合時(shí)，如圖6,過(guò)點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)，垂足分別為C,D,

則有AC〃80〃X軸.

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

1

x

圖6

由橢圓的第二定義,有評(píng),≡=e,瞎瑞即需瑞

由?，軸，有盟瑞，嚅榴，于是就假，且

ZACM=NBDM=90。.可得NAMC=ZβMf>,即有NAMo=NBMO.

［方法五］：角平分線(xiàn)定理逆定理+極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

龍21

橢圓U］→y2=i以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正方向?yàn)闃O軸，得P=①.cos,

設(shè)4（/［,8）,3（02，。+%）.

222

IAM|=p1+l-2p1cos0,∣BM∣=p?÷l+2p2cos0.

IBMI_J0；+1+202COSe

=?/?-cos2θ.

所以*?產(chǎn)E，=tt

-

LTBF|^p2

由角平分線(xiàn)定理的逆定理可知，命題得證.

［方法六］：角平分線(xiàn)定理的逆定理的應(yīng)用

設(shè)點(diǎn)0（也可選點(diǎn)尸）到直線(xiàn)MAMB的距離分別為4,4,根據(jù)角平分線(xiàn)定理的逆定理，要

證∕0M4=N0Λffi,只需證4=W.

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率為。時(shí)，易得4=4=0.

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不為O時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/的方程為：x="∕+l,A（%,y）,B（Λ2,%）?由方程組

X2_

21

2+)T得M+2)/+2ZWy-I=O,A>0恒成立，y+%=_?yly2=-^2+9

x=my+?,

l?,I

直線(xiàn)MA的方程為：XX-α-2)y-2必=0,4=/2J….

QyI+(χ∣-2)

故4=

因?yàn)辄c(diǎn)A在直線(xiàn)/上，所以Xl=WM+12

y∣(m+l)yf-2myt+l

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

2

閂抻d∣^l/屋二4(%一%)[(y+%)—2mxy21

2,

y∣^m+1)}2^2∕πγ2+1'~[(M+1)y：—2tny]÷1][(M+1)￡-2ιny2+1]

2zz?2?

因?yàn)?x+y,)-2機(jī)“必=一/^+手；=0,所以d；-芯=0,即《=4.

m+2m^+2

綜上，NOMA=NOMB.

[方法七]：【通性通法】分類(lèi)+常規(guī)聯(lián)立

當(dāng)直線(xiàn)/與X軸重合或垂直時(shí)，顯然有NoMA=NOMB.

當(dāng)直線(xiàn)/與X軸不垂直也不重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=my+l,交橢圓于Aa,乂)，

8(Λ2,%)?

得(>+2)V+2my-1=0.

x=tny+1

-2m-1

由韋達(dá)定理得y+%=，%％=

∕n2+2m2+2

為yI%2,孫必-(>1+必)O

所以+XI

王一2X)-*2/Myl-1my2-1(myl-1)(,佻-1)

故M4、MC的傾斜角互補(bǔ)，所以NoM4=NOMb

[方法八]：定比點(diǎn)差法

設(shè)AF=4F8(2xO,±l),A(X,χ),3(X2，%)，

l+λ

所以，

y+4%

O=

1÷Λ

2

xl2

y+Jι=l

χ∣+MXXiX2+X+，上XX-Zy2

由，作差可得,，所以,

1221÷A2(1-2)1+ΛI(xiàn)-A

竽+彳W2

所以，3=；(3-兀)，々,

x∣—λx-,=2(1—2),又x∣+λ,x2=1+2,

ZZ?AJ

k+k_)1I)」_一會(huì)I乃=O

ma

故M"MB再_2X2-2_!(]+4_J(I+1)，`MB的傾斜角互補(bǔ)，所以

ZOMA=ZOMB.

當(dāng);1=1時(shí)，/與X軸垂直，QM為AB的垂直平分線(xiàn)，所以NQM4=NOΛ∕B.

ΛOMA=ZOMB.

答案第Il頁(yè)，共17頁(yè)

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：通過(guò)分類(lèi)以及常規(guī)聯(lián)立，把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零，再通過(guò)韋

達(dá)定理即可實(shí)現(xiàn)，是解決該類(lèi)問(wèn)題的通性通法；

方法二：根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可知，利用點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N在直線(xiàn)匕證直線(xiàn)AN

過(guò)點(diǎn)M即可；

方法三：利用直線(xiàn)的參數(shù)方程證明斜率互為相反數(shù)；

方法四：根據(jù)點(diǎn)例是橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)x=2與X軸的交點(diǎn)，用橢圓的第二定義結(jié)合平面幾何知

識(shí)證明，運(yùn)算量極小，是該題的最優(yōu)解；

方法五：利用橢圓的極坐標(biāo)方程以及角平分線(xiàn)定理的逆定理的應(yīng)用，也是不錯(cuò)的方法選擇；

方法六：類(lèi)比方法五，角平分線(xiàn)定理的逆定理的應(yīng)用：

方法七：常規(guī)聯(lián)立，同方法一，只是設(shè)直線(xiàn)的方程形式不一樣；

方法八：定比點(diǎn)差法的應(yīng)用.

18.（1）y=gx+l或y=-；X-1；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題意可得直線(xiàn)/的方程為x=2,從而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,2）或（2,-2）,

利用兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)8M的方程；

（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=）+2,點(diǎn)"（A,,%）、NaM,將直線(xiàn)/的方程與拋

物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由斜率公式并結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出直線(xiàn)8M、BN的斜率

之和為零，從而得出所證結(jié)論成立.

【詳解】（1）當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，/的方程為x=2,可得〃的坐標(biāo)為（2,2）或（2,-2）.

所以直線(xiàn)的方程為y=；x+i或y=-gχ-i；

（2）［方法一］：【通性通法】韋達(dá)定理+斜率公式

設(shè)/的方程為x="+2,"&，%）、N（Λ?,%）,

x=<y+2

由^/-2ry-4=0可知為+%=2f,yy=-4,

y2=2xl2

直線(xiàn)3M、8N的斜率之和為

1(w+2)y∣+α+2)%(。+4))+(。|+4)必

kRM+kRN=■?-÷-?-■

BMBN再+2W+2(Xl+2)(w+2)(XI+2)(々+2)

=2*),2+4(y+乃)=2rχ(-4)+4χ2f=θ

(X,+2)(X2+2)^(?+2)(X2+2)^'

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

所以&aw+&，v=O，可知8M、BN的傾斜角互補(bǔ)，所以NABΛ∕=NABN.

［方法2］：【最優(yōu)解】斜率公式+三點(diǎn)共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

因?yàn)镸,N在拋物線(xiàn)上，可設(shè)N(2g,2q),故AM=(2f-2,2。，

AN=(2tl-2,2t2).而A,M,N共線(xiàn)，^AM∕∕AN,即(2片—2)2—(2f一2).2%=0,化

簡(jiǎn)得4(伍+1)&Tj=O.而M,N是不同的點(diǎn)，故可得斡+I=。.這樣

.,2t,2t,(∕lr,+l)(rl+r,)八

%'+L=而+訴=G+I)優(yōu)+1)=0.故,M=WM

【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：通過(guò)聯(lián)立方程得出根與系數(shù)的關(guān)系，再直接使用斜率公式化簡(jiǎn)即

可證出，是此題問(wèn)題的通性通法；

方法二：通過(guò)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)的坐標(biāo)表示尋找關(guān)系，再利用斜率公式化簡(jiǎn)證出，省略了

聯(lián)立過(guò)程，適當(dāng)降低了運(yùn)算量，是此類(lèi)問(wèn)題的最優(yōu)解.

19.(1)15(百米)；

(2)見(jiàn)解析；

(3)∣7+3√21(百米).

【分析】解：解法一：

(1)過(guò)A作AE_LM，垂足為E利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng)；

(2)分類(lèi)討論P(yáng)和。中能否有一個(gè)點(diǎn)選在。處即可.

(3)先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)。的位置即可確定當(dāng)"最小時(shí)，P、。兩點(diǎn)間的距

離.

解法二：

(I)建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得

道路PB的長(zhǎng)；

(2)分類(lèi)討論P(yáng)和。中能否有一個(gè)點(diǎn)選在。處即可.

(3)先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)。的位置即可確定當(dāng)4最小時(shí)，尸、。兩點(diǎn)間的距

離.

【詳解】解法一：

(1)過(guò)A作AE_LB￡>,垂足為E.

由已知條件得，四邊形ACZ)E為矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=S.

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)?/p>

84

所以CoSNP8。=SinNABE=-=-.

105

PB=BD士

所以CoSNPBD4??.

5

因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.

（2）①若P在。處，由（1）可得E在圓上，則線(xiàn)段BE上的點(diǎn)（除B,E）到點(diǎn)。的距離

均小于圓。的半徑，所以P選在O處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若Q在。處，連結(jié)AO,由（1）知AD=JAE2+EZ）2=10,

從而cos/BAZ）=絲士生二絲=_!>（）,所以284。為銳角.

2ADAB25

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓。的半徑.

因此，Q選在。處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

綜上，P和Q均不能選在。處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)NOBP<90。時(shí)，線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)0的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)NOBP≥90。時(shí)，對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)BOF>OB,即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距離均

不小于圓。的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)A為/上一點(diǎn)，且［BLAB,由（1）知，<8=15,

3

此時(shí)=耳BsinNKBD=RBCOSZEBA=15×-=9;

當(dāng)NoBp>90。時(shí)，在△尸中，PB>RB=15.

由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)。的位置.

由（2）知，要使得QA≥15,點(diǎn)。只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，

2222

CQ=yJQA-AC=√15-6=3√21.?H?,線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距離均不小于圓O