2023年高考數(shù)學(xué)(北京卷)真題試卷【含答案解析】

本試卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試

卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選

項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知集合“={3》+220}小={》b-1<0},則McN=()

A.{x|-2<x<1}B.{x|-2<x<l}

C.{x\x>-2}D.{x|x<l}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是則z的共規(guī)復(fù)數(shù)彳=()

A.1+后B.1-后

C.—1+y/3iD.—1—Gi

3.已知向量a,3滿足4+石=(2,3>,45=(—2,1),則()

A.-2B.-1C.0D.1

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-lnxB.f(x)=5

C./(%)=--D./(x)=3|x-"

X

5.的展開式中x的系數(shù)為().

A.-80B.-40C.40D.80

6.已知拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)”在C上.若M到直線x=-3的距離為5,

貝(11加F1=()

A.7B.6C.5D.4

7.在,ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=8(sinA—sinB),則NC=()

71e兀c2兀D.2

A.—B.—C.—

6336

8.若孫壬0,則“x+y=0”是"2+±=-2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建

筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰

梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形.若A8=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的

平面、等腰三角形所在的平面與平面A8CD的夾角的正切值均為姮，則該五面體的所

5

有棱長之和為()

FE

AZE3rB

A.102mB.112m

C.117mD.125m

10.已知數(shù)列｛叫滿足4M=；(a“-6y+6(〃=L2,3,),則()

A.當(dāng)4=3時(shí)，｛4｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得恒成立

B.當(dāng)q=5時(shí)，｛4｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MW6,使得?！?lt;何恒成立

C.當(dāng)q=7時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6,使得q,>時(shí)恒成立

D.當(dāng)卬=9時(shí)，｛4｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得恒成立

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)f(x)=4*+log2X,則.

12.己知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,()),離心率為應(yīng)，則C的方程為.

13.已知命題P：若a,￡為第一象限角，且。>夕，則tana>tan/7.能說明p為假命題

的一組內(nèi)尸的值為。=,4=.

14.我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、用來測

量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列

｛??｝,該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且4=1,%=12,佝=192,則

%=；數(shù)列｛4｝所有項(xiàng)的和為.

x+2,x<-a,

15.設(shè)a>0,函數(shù)/(x)=,>Ja2-x2,-a<x<a,,給出下列四個(gè)結(jié)論:

-y[x-l,x>a.

①/(X)在區(qū)間(a-1,+8)上單調(diào)遞減;

②當(dāng)時(shí)，Ax)存在最大值；

③設(shè)”(％J(X))(X[4a),N(&,/(々))伍>a),則|MN|>1；

④設(shè)尸(期,〃$》(&<-?),e(x4,/(x4))(x4>-a).若|PQI存在最小值,則a的取值范

圍是(o，；,

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

16.如圖，在三棱錐P-A5c中，PA_L平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=￡.

B

(1)求證：BC1平面以B；

(2)求二面角A—PC-8的大小.

17.設(shè)函數(shù)f(x)=sin<yxcose+cosiyxsin9(0>OJe|<3).

⑴若/(0)=-￥，求。的值.

(2)己知/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，=再從條件①、條件②、條件③這

三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/(x)存在，求以9的值.

條件①：/.("=&；

條件②：=

JT7T

條件③：/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分

別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)

據(jù)，如下表所示.在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；

用表示"下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示"不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一

天價(jià)格相同.

時(shí)段價(jià)格變化

第1天到第

-++0---++0+0--+-+00+

20天

第21天到

0++0---++0+0+---+0-+

第40天

用頻率估計(jì)概率.

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的.在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)

產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)

格“上漲"“下跌''和"不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓E:二■+與=l(a>b>0)的離心率為好,A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B,

a2b'3

。分別是E的左、右頂點(diǎn)，IAC|=4.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)戶為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PO與直線8c交于點(diǎn)M,直線上4與直線丫=-2

交于點(diǎn)N.求證：MN//CD.

20.設(shè)函數(shù)函x)=x-—eE,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為y=-x+l.

(1)求的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.已知數(shù)列｛為｝,也｝的項(xiàng)數(shù)均為機(jī)(加>2),且4也引1,2,,機(jī)｝,｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)

和分別為人,與，并規(guī)定4=與=0.對于丘｛0,1,2,,加｝,定義

〃=max｛i|4VA,ie｛0,l,2,,m]｝,其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(1)若。=2,%=1，4=3,伉=1,若=3也=3,求％,小24的值；

(2)若且2。4*|+小,_/=1,2,求?;,；

(3)證明：存在p,q,sje{0,1,2,,m},滿足使得&+B,=4+紇.

1.A

【分析】先化簡集合〃,N,然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】由題意，Af={x|x+2>0}={x|x>-2},/V={x|x-l<O）={x|x<l},

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，MN={x|-2<x<l}.

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共舸復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.

【詳解】z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是（T,0），根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-l+Ki,

由共貌復(fù)數(shù)的定義可知，z=-l-^i.

故選：D

3.B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量〃,人滿足”+〃=（2,3）,4-力=（一2,1）,

所以la?_聞2=（“+加.（a_?=2x（-2）+3x]=_l.

故選：B

4.C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即

可.

【詳解】對于A,因?yàn)閥=Inx在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=-X在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=-lnx在（0,+8）上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)閥=2*在（0,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增，y=g在（0,七功上單調(diào)遞減，

所以/（切=/在（°，+8）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對于c,因?yàn)椋?:在（。,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞減，y=-x在（0,+司上單調(diào)遞減，

所以〃x)=-：在(0,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因?yàn)?[￡)=3切=33=百，/(1)=3卜"=3°=1,〃2)=夢T=3,

顯然/(x)=31T在(0,+8)上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.D

【分析】寫出(2X-￡|的展開式的通項(xiàng)即可

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為

令5-2r=1得尸=2

所以(2%-口的展開式中X的系數(shù)為(-1)225-2或=80

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的運(yùn)用，較簡單.

6.D

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€。：產(chǎn)="的焦點(diǎn)*2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,點(diǎn)M在C上,

所以M到準(zhǔn)線x=-2的距離為眼耳，

又M到直線x=-3的距離為5,

所以|MF|+1=5,故|MF|=4.

故選：D.

7.B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)?+c)(sinA-sinC)=6(sin4—sin8),

所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即以一口=ab-b2,

則故c°sC=±%工=黑

2

又0＜。＜兀，所以。=1.

故選：B.

8.C

【分析】解法一：由2+上=-2化簡得到x+y=O即可判斷；解法二：證明充分性可由x+y=O

yx

得至l」x=-y,代入土+上化簡即可，證明必要性可由二+2=-2去分母，再用完全平方公式即

yxyx

可；解法三：證明充分性可由上+上通分后用配湊法得到完全平方公式，再把x+y=O代入

yx

即可，證明必要性可由土+工通分后用配湊法得到完全平方公式，再把*+y=0代入，解方

yx

程即可.

【詳解】解法一：

因?yàn)榍彝?』=-2,

yx

所以V+y2=-2孫，即幺+丁+2孫=o,即(尢+＞)2=0,所以*+丁二。

所以"x+y=O”是“2+上=-2，，的充要條件.

yx

解法二：

充分性：因?yàn)閷O30,且x+y=o,所以x=-y,

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)閷OR0,且土+2=-2,

所以V+y2=_2孫，即/+9+2孫=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0.

所以必要性成立.

所以“x+y=0”是“-+^=-2”的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因?yàn)楦?0,且x+y=o.

所以二+￡=1+>=*2+：/+2盯一2盯=(x+y)--2冷，=-2盯=_2,

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)?/0,且上+上=-2,

yx

所以2+2=x'y?=Y+yF邛-2沖=(x+y\=(x+y3_?=

yxxyxyxyxy

所以6等=0,所以(x+?=0,所以x+y=O,

所以必要性成立.

所以"x+y=O”是“2+上=-2，，的充要條件.

故選：c

9.C

【分析】先根據(jù)線面角的定義求得tan/EMO=tanNEGO=^，從而依次求￡。，EG,EB,

EF,再把所有棱長相加即可得解.

【詳解】如圖，過E做EOJ_平面ABCD,垂足為0,過E分別做EG_LBC,EMLAB,

垂足分別為G,M,連接OG,OM,

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為NEMO和NEGO,

所以tanNEMO=tanNEGO=半.

因?yàn)镋OJ_平面A8CD,BCu平面488,所以EO_LBC,

因?yàn)镋GLBC,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以BC1平面EOG,因?yàn)?。Gu平面EOG,所以8C_LOG,.

同理：OMLBM,又BM工BG,故四邊形?！?G是矩形，

所以由3c=10得。0=5,所以EO=ViZ,所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=-JEO2+OG2=+52=

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=-JEG'+BG-=J(x/39)：+52=8,

又因?yàn)镋F=AB-5-5=25-5-5=15,

所有棱長之和為2x25+2x10+15+4x8=117m.

故選：C

10.B

【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷

B的正誤.

法2：構(gòu)造/(x)=；(x-6y+6-x,利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判

斷得各選項(xiàng)為所在區(qū)間，從而判斷｛可｝的單調(diào)性；對于A,構(gòu)造

/?(x)=ix3-|x2+26x-47(x<3),判斷得凡”<凡-1,進(jìn)而取加=-[例]+4推得q,>何不

恒成立:對于B,證明％所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論:對于C,記%=log321og,(M-6)+l,

_4_

取“=[%]+1推得q>M不恒成立；對于D,構(gòu)造g(x)=%3-gx2+26x_49(x29),判斷

得。向>““+1,進(jìn)而取加=m]+1推得％<“不恒成立.

【詳解】法1：因?yàn)?=；(%-6)3+6,故。向-6=；(%-6)3,

對于A,若4=3,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：%-64-3即為43,

證明：當(dāng)”=1時(shí)，?,-6=-3<-3,此時(shí)不等關(guān)系為43成立；

設(shè)當(dāng)〃=攵時(shí)，見-64一3成立，

則4+1-6=；(見一6)36(-54,-1｝故q+i-6?-3成立，

由數(shù)學(xué)歸納法可得可?3成立.

而。向一?！?；(七-6)'-(%-6)=(4“-6)，可-6)2-1,

\095

了(4-6)--12：-1=彳>0,%-6<0,故4小一%<0，故為+|<%，

444

故｛a?｝為減數(shù)列，注意?t+1-6<-3<0

故a“+i-6=；(a“-6)3=(a“-6)x；(a“-6)24、(a“-6),結(jié)合％-6<0,

所以6-%+|q(6-a,J,故6-。“+93弓)>故/46一3弓),

若存在常數(shù)MWO,使得恒成立，則6-3(,)>M,

6_/(9丫I6—M

故y圖，故〃<1+峭下一，故4>加恒成立僅對部分〃成立，

故A不成立.

對于B,若4=5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-14。,,-6<0即54q<6,

證明：當(dāng)”=1時(shí)，-14q-6=-140,此時(shí)不等關(guān)系54a“<6成立；

設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，5<4<6成立，

則4+1-6=：(4-6丫,故-141-6<0成立即

由數(shù)學(xué)歸納法可得544M<6成立.

而4+1-4,=；(4-6)3-(%-6)=(凡一6)|(??-6)2-1,

；(a“-6『-l<0,a?-6<0,故4*1-%>0,故。，用>4，故｛4｝為增數(shù)列，

若M=6,則4“<6恒成立，故B正確.

對于C,當(dāng)4=7時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0<4-641即6<447,

證明：當(dāng)”=1時(shí)，0<4-641,此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，6V4W7成立，

貝lJ6M-6=：(4-6)3e(0,；,故0<4”-641成立即6<4+147

由數(shù)學(xué)歸納法可得647成立.

而凡+i一6)*“-6)2-1<0,故用<《,，故｛4｝為減數(shù)列，

又a“+|-6=(q-6)x((%-6『4；(a“-6),結(jié)合“向-6>。可得：?n+|-6<(?,-6)W,所

若°向46+（；）,若存在常數(shù)M>6,使得%>“恒成立，

則M-64&）恒成立，故〃41og：（M一6）,〃的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.

對于D,當(dāng)q=9時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：??-6>3g[Ja?>9,

證明：當(dāng)n=1時(shí)，4-6=323,此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，429成立,

貝IJ-6=；（4-6）32m>3,故aM>9成立

由數(shù)學(xué)歸納法可得429成立.

而外=（《,-6）>0,故.>4,，故｛叫為增數(shù)歹lj,

/1、,Q

又《用一6=（q-6）x）（q-6）一>-6）,結(jié)合%-6>?？傻茫?/p>

”6>（一）圖:（J,所以—+3前1，

“T

若存在常數(shù)M>0,使得/<M恒成立，則M>6+3（獷

故M>6+3（（J,故〃<logj絲F）+l，這與〃的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

I.1o

法2：因?yàn)?+1-《,=7(4“-6)+6-4=7-34：+26?！?48,

IoQ

4>/(X)=-X3--X2+26X-48,貝ljr(x)=2f-9x+26,

令/刎>0,得0<x<6-苧或x>6+9

令/"(x)<0,得6一手<x<6+手

2⑸25/3

所以/（X）在-8,6-三一和6+等,位上單調(diào)遞增，在6-竽,6+歿上單調(diào)遞減,

33

iQi

令/(x)=0,則；X3-1Y+26X-48=0,BP-(X-4)(X-6)(X-8)=0,解得x=4或x=6或

%=8,

注意到4<6-拽■<5,7<6+—<8,

33

所以結(jié)合/(x)的單調(diào)性可知在(-4)和(6,8)±/(x)<0,在(4,6)和(8,m)±/(x)>0,

對于A,因?yàn)椤?用=；(4,-6)'+6,則%+|-6=：(a“-6)’，

當(dāng)〃=[時(shí)，”]=3,%—6=—6)、<—3,貝ija?<3,

假設(shè)當(dāng)〃=Z時(shí)，%<3,

當(dāng)〃=Z+]時(shí)，《+1-6=-6)<](3-6)<—3,貝！|W+i<3,

綜上：4?3,即4e(-oo,4),

因?yàn)樵?e,4)上“到<0,所以4+aq，則｛4｝為遞減數(shù)列，

]aI9

因?yàn)?+i-%+1=j(%-6)+6-凡+1=1a：-5a；+26%-47,

1n3

令人(x)=Id_a12+26工一47?3),則/(%)=-94+26,

v—___-_9_—hh

因?yàn)椤?X)開口向上，對稱軸為c3一°,

ZX一

4

所以“⑺在(F,3]上單調(diào)遞減，故”(x)之“(3)=：X32—9X3+26>0,

所以〃(x)在(—,3]上單調(diào)遞增，^/2(A-)<A(3)=1X33-1X32+26x3-47<0,

故%+「4+1<0,BfJa?+J<a?-l,

假設(shè)存在常數(shù)M<0,使得%>“恒成立，

取6=一[〃]+4,其中且[M]GZ,

因?yàn)閍“+i<%T，所以％<4T，％<生一1，…，"-M+4<旬辦3T，

上式相加得，?M+4<?I-(-[A/]+3)<3+M-3=M,

則4“=%/]+4<〃，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)?=5,

]q[a

當(dāng)九=1時(shí)，4=5<6,2=a（“i—6）+6=]X（5—6）+6<6,

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，4<6,

當(dāng)〃=Z+1時(shí)，因?yàn)?<6,所以%-6<0,則-6丫<0,

所以aM=-6，'+6<6,

，3

又當(dāng)〃=1時(shí)，a2-5=i（?l-6）+l=ix（5-6）+l>0,即電>5,

假設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，?,>5,

當(dāng)〃=女+1時(shí)，因?yàn)?25,所以《一62-1,則（4-6>'2-1,

所以％1=（（%-6）'+625,

綜上：5<a?<6,

因?yàn)樵冢?,6）上/（力>0,所以*>4,所以｛4｝為遞增數(shù)歹！J,

此時(shí)，取M=6,滿足題意，故B正確；

對于C,因?yàn)椤?M+6,則《川-6=；（勺-6）;

注意至U當(dāng)。i=7時(shí)，a2=—（7—6）+6=—+6,4=；（：+6—6）+6=（；）+6,

+6=出+6

+6-6

猜想當(dāng)〃22時(shí)，4=（；）2M+6，

當(dāng)〃=2與〃=3時(shí)，生=；+6與%=（；）+6滿足，+6,

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，4=（；yi）+6,

產(chǎn)。一6

當(dāng)"=%+］時(shí)，所以為+1=；（4._6,+6=；（；）

+6=+6,

z1、；（3"7）

綜上：a〃+6（/?>2）?

易知3"-l>0,則”

<1>故為+6e(6,7)(?>2)>

4

所以a“?6,7],

因?yàn)樵冢?,8）上/（x）<0,所以“用<%,則為“｝為遞減數(shù)列,

假設(shè)存在常數(shù)M>6,使得4>用恒成立，

記,%=log.3210gl（"-6）+1,取，〃=卜叫+1,其中犯，一

_4_

則3m>3他=21陶（出—6）+1,

4

故3（3"'T）>bg,（M-6）,所以，<加_6，即）+6<M，

所以q“<M,故a.>M不恒成立，故C錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)椤?9,

當(dāng)〃=1時(shí)，出一6=；（4-6）3=曰>3,則生>9,

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，ak>3,

I,1,

當(dāng)〃=Z+1時(shí)，^+1-6=-（?t-6）->-（9-6）->3,貝

綜上：a?>9,

因?yàn)樵?8,+刃)上/(x)>0,所以4,+|>凡，所以｛4｝為遞增數(shù)列，

]a19

因?yàn)閍“+i-4-1=*(a“-6)+6-a“-1=[]a；+26a,,-49,

Io3

32

^.<g(x)=-x-|x+26x-49(x>9),則=-91+26,

__9_￡

因?yàn)間'(x)開口向上，對稱軸為川=,

乙X

4

所以g'(x)在[9,”)上單調(diào)遞增，故/(x)N/(9)=：x92-9x9+26>0,

所以g(x)2g(9)=；x93-gx92+26x9-49>0,

故4+1-4-1>°，即4+1>4+1，

假設(shè)存在常數(shù)">0,使得凡〈"恒成立,

取加=m］+1,其中且也］eZ,

因?yàn)?+i>%+1，所以生>4+1，%>生+1，-，乃］+1>\M］+1，

上式相加得，勺川+1>4+［劃>9+M-l>M,

則%=與/<M恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)

所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成

立.

II.1

【分析】根據(jù)給定條件，把x=；代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)/*)=4、+log2X,所以/(g)=4；+log2'=2-1=1.

故答案為：1

【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.

【詳解】令雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長分別為4,6,顯然雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

x軸上，其半焦距c=2,

由雙曲線C的離心率為近，得5=0，解得4=血，則6=后=7=3，

、2

所以雙曲線C的方程為三-匯=1.

22

22

故答案為：-..—=1

22

9兀n

13.--

43

【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.

【詳解】因?yàn)椤?tanx在(o,力上單調(diào)遞增，若則tana()<tan及，

取1=2人兀+4,夕=2&兀+及溫，&wZ,

則tana=tan（2K7C+ao）=tanao，tan￡=tan（2&兀+/））=tan4）,即tanavtan月，

令k、>k2,則二一/?二（2勺兀+。0）—（2&兀+4）=2（勺一&）兀+（%—/））,

因?yàn)?（4-&）兀之2幾,_微vq）_&<0,則口_4=2（攵]_右）兀+（&0_/70）>寫:>0,

即4〉心，則2>￡.

不妨取匕=1,匕=0,4=￡,&=?,即a=[,?=W滿足題意.

4343

,,小自、r9兀71

故答案為：—^―.

43

14.48384

【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解"，夕，進(jìn)而可求得結(jié)果；

方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求生,%,在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d,后7項(xiàng)公比為4>0,

。919214

則q4=—=-=16,且4>0,可得q=2,

a512

則%=1+2d=T,即1+2d=3,可得d=1,

q~

空1：可得〃3=3,%=%/=48,

空2：-L+%=1+2+3+3X2+…+3x26=3+；2=384

方法二：空1：因?yàn)閧4},3K〃K7為等比數(shù)列，則而=%%=12X192=482,

且4>0,所以%=48；

2

又因?yàn)榫?2％，則%=上=3；

%

空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0,貝Ijd=%=4,解得q=2,

%

-r/曰3（4+%）（%一〃M3-192x2,,.

可得4+〃?,+。3=--------=6,。3+〃4+〃5+〃6+〃7+〃8+。9=~：-----=---------=38O11,所Crs以

2\—q1-2

ax+a2+L+/=6+381-%=384.

故答案為：48；384.

15.②③

【分析】先分析f(x)的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取a=g,結(jié)合圖像即可判斷;

對于②，分段討論/(x)的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍;

對于④，取“=方，結(jié)合圖像可知此時(shí)歸。存在最小值，從而得以判斷.

【詳解】依題意，。>0,

當(dāng)x<-a時(shí)，f(x)=x+2,易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線;

當(dāng)-44x4a時(shí)，f(x)=>Ja2-x2,易知其圖像是，圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方

的圖像(即半圓);

當(dāng)x>〃時(shí)，=易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線;

對于①，取。=；,則/(x)的圖像如下,

信,+00)時(shí)，/⑺在卜;,())

上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤;

對于②，當(dāng)時(shí),

當(dāng)x<一(I日寸，j(x)=x+2v—ci+2<1；

當(dāng)-aWxWa時(shí)，=f顯然取得最大值〃；

當(dāng)x>〃時(shí),/(x)=—\[x-1<—>[u-14-2,

綜上：“X)取得最大值。，故②正確;

對于③，結(jié)合圖像，易知在內(nèi)=。，々且接近于x="處，

,/(%))&4a),N(X2，/仇))(々>a)的距離最小，

當(dāng)占=。時(shí)，y=/(占)=0,當(dāng)々>。且接近于x="處，y1=f(x2)<-4a-\,

此時(shí)，|MN|>y-%>&+l>l，故③正確；

因?yàn)閜(w，f(w))(&<-?),g(x4,/(x4))(x4>-?),

結(jié)合圖像可知，要使|「。取得最小值，則點(diǎn)尸在〃x)=x+2卜<-力上，點(diǎn)。在

同時(shí)|「。|的最小值為點(diǎn)0到“X)=X+2卜<-胃的距離減去半圓的半徑a,

此時(shí)，因?yàn)?("=尸》+21<-之)的斜率為1,貝必”=-1,故直線OP的方程為y=-x,

[y=-x[x=-l/、

聯(lián)立°,解得,,則尸(—1,1,

顯然尸(-1,1)在/3=》+2，<-劣上，滿足|尸。|取得最小值，

即也滿足|尸。|存在最小值，故”的取值范圍不僅僅是;0，：,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得了（X）的圖像，特別是當(dāng)-aMxWa時(shí),

f（x）=—下的圖像為半圓，解決命題④時(shí)，可取特殊值進(jìn)行排除即可.

16.（1）證明見解析

【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得PAL8C,再利用勾股定理證得從而利用

線面垂直的判定定理即可得證；

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面PAC與平面PBC的法向量,

再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)镻AL平面ABC,BCu平面ABC,

所以B4L8C,同理

所以口R鉆為直角三角形，

又因?yàn)槭珺=J^E石=&，BC=1,PC=B

所以「B2+BC2=PC2,則PBC為直角三角形，故

又因?yàn)?clp4,PAPB=P,

所以8cl平面RW.

（2）由（1）BC1平面B4B,又ABu平面上4B,則BC_LAB,

以A為原點(diǎn)，A8為x軸，過A且與BC平行的直線為V軸，北為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

則4(0,0,0),P((),0,1),C(l,l,0),S(l,(),0),

所以AP=(0,0』),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,—1),

、m-AP=0[z.=0,

設(shè)平面PAC的法向量為相=（z與,y,zj,貝小，.0,即’r+y-0

令4=1,則X=T,所以〃?=(1,-1,0),

n-BC=0Iy0=0

設(shè)平面P6C的法向量為"=(%,M，Z2)，貝iJ，即(n

v7

n.PC=0[x2+y2-z2=0

令々=1,則z2=l,所以"=(1,0,1),

/\mn11

所以

又因?yàn)槎娼茿-PC-B為銳二面角,

所以二面角A—PC—B的大小為

71

17.(1)<9=--.

7T

⑵條件①不能使函數(shù)個(gè)）存在；條件②或條件③可解得°=1,八工

【分析】（D把x=0代入Ax）的解析式求出sing,再由|如＜5即可求出0的值；

（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把/（x）的解析式化簡，根據(jù)/（x）在一早年上

的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出T,從而求出。的值；把。的值代入.f（x）的解析式，由

/-g=-1和1。1＜：即可求出。的值：若選條件③：由“X）的單調(diào)性可知〃x）在x=q處

取得最小值-1,則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同.

71

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=sinscos8+cosGxsin°,G>0,lel<5

■V3

所以/(0)=sin(69-0)cos(p+cos(6y-0)sin9=sin°=--彳,

因?yàn)?如＜5，所以夕=q.

兀

(2)因?yàn)?(x)=sin0xcose+cosGxsin/,@>0,|°|<一,

jr

所以f(x)=sin(0x+9),?>O,l9l<5,所以/(x)的最大值為1,最小值為-I.

若選條件①：因?yàn)?(x)=sin(@x+0的最大值為1,最小值為-1,所以無解，故

條件①不能使函數(shù)/(幻存在;

若選條件②：因?yàn)镴U)在gg上單調(diào)遞增，且/信)=1,=

所以所以7=2兀,0=1=1,

所以/(x)=sin(x+8),

又因?yàn)?(一\=-1,所以sin(j+s|=-l,

7171

所以—彳+°=一耳+2kit,Z￡Z,

7TTTTT

所以。=-：+2E,%￡Z,因?yàn)閨0<；,所以。=一^.

626

所以69=1,(P=-X

O

jr27r7Tjr

若選條件③：因?yàn)椤▁)在-3彳上單調(diào)遞增，在一萬,-］上單調(diào)遞減，

所以/(X)在x=q處取得最小值T,即//鼻=-1.

以下與條件②相同.

18.(1)0.4

(2)0.168

(3)不變

【分析】(1)計(jì)算表格中的+的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；

(2)分別計(jì)算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；

(3)通過統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第41天的情況.

【詳解】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個(gè)+,也就是有16天是上漲的,

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：￡=04

(2)在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率

分別是0.4,0.35,0.25,

于是未來任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是C；X0.42XGX0.35X0.25=0168

（3）由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的

有4次，不變的有9次，下跌的有2次，

因此估計(jì)第41次不變的概率最大.

r2V2

19.⑴土?+L=1

94

(2)證明見解析

【分析】（1）結(jié)合題意得到￡=更，%=4,再結(jié)合°2-c2=^,解之即可；

a3

（2）依題意求得直線BC、與姑的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得％MN，再

根據(jù)題意求得七°，得到七"=七"，由此得解.

【詳解】（1）依題意，得e=￡=且，則,=正〃，

a33

又A,C分別為橢圓上下頂點(diǎn)，|AC|=4,所以2*=4,即6=2,

所以〃-°2=從=4,即則/=9,

■59

所以橢圓E的方程為三十匯=1.

94

22

（2）因?yàn)闄E圓E的方程為方+?=1,所以A（0,2）,C（0,-2）,鞏-3,0）,￡>（3,0）,

2,>

因?yàn)槭瑸榈谝幌笙轊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（，％”）（0<〃?<3,0<“<2）,則與+孑=1,

易得既°=芫0+2J=—（2，則直線BC的方程為了=一；2工一2,

%）=巴W=3,則直線尸。的方程為y=—（x-3）,

m-3m-5m—7）

2.3(3〃一2〃?+6)

y=——x-2

33〃+2加-6,即"，3(3〃-2根+6)-12〃]

聯(lián)立,解得、3n+2m-6'3n+2m-6J?

(一⑵

y=—"4x-3)y—

m-33〃+2團(tuán)一6

而原八=--=——，則直線R4的方程為>=——x+2,

/7/-0mm

n—2—(—4/HA

令y=-2,貝i|-2=~x+2,解得犬=刀，即N—-,-2,

mn-2<n-2)

又史+衛(wèi)=1,則加2="g,8療=72-18",

944

一⑵，。

所以k=3〃+2"?-6______________(-6-+4m72)("-2)_______

3(3n-2m+6)-4/w(9M-6m+18)(〃一2)+4m(3n+2m-6)

3〃+2m-6n-2

-6/?2+4〃?〃-8/w+24_-6/22+4"?〃-8"+24

9/72+8/n2+6加12加一369/72+72-18n2+6nin-12m-36

_-6〃2+4，"〃-8，〃+24_2(-3/+2“"-4,"+12)_2

-9n2+6mn-12m+363(-3/?2+2mn-4tn+12)3

_.0+22.

又kg=~———~>即"MN="CD>

J-UJ

顯然，MN與CD不重合，所以MNaCD.

20.(l)a=-l,fe=l

(2)答案見解析

(3)3個(gè)

【分析】(1)先對f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到了⑴=0，/(1)=-1,從而得到關(guān)

于〃力的方程組，解之即可；

⑵由⑴得g(x)的解析式，從而求得g'(x),利用數(shù)軸穿根法求得g'(x)<0與g'(x)>0