專題九平面解析幾何

9.1直線與圓

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用一構(gòu)建直線、圓模型解決運(yùn)動(dòng)實(shí)踐問(wèn)題

1.(2021四川大學(xué)附中模擬，15)如圖，在直角梯形ABCD中，AB±AD,AD=DC=2,AB=6,動(dòng)點(diǎn)P在

以點(diǎn)C為圓心且與直線BD相切的圓上運(yùn)動(dòng),設(shè)Gm林n而(m,n∈R),則m+n的取值范圍

是.

答案[?'i]

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為X軸，直線AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則

A(0,0),D(0,2),C(2,2),B(6,0),

則直線BD的方程為x+3y-6=。,點(diǎn)C到直線BD的距離d抬,所以以C為圓心且與BD相切

的圓的方程為(χ-2)2+(y-2)2?.設(shè)P(x,y),則正(x,y),又屜(0,2),AB=(6,0),

?

正m林nM(m,n∈R),所以(x,y)=(6n,2m),則x=6n,y=2m,所以n3,mg,所以m+n?j,因?yàn)镻

在圓上,所以(x-2)2+(y-2)24

O

設(shè)直線I則圓心C(2,2)到直線5+9b=0的距離為

OZbOL

解得l≤b≤∣,則IW寓所以l≤m+n≤∣

2.(2022屆北京市中關(guān)村中學(xué)開學(xué)測(cè)試,14I數(shù)學(xué)探究)已知方程(X-I)(X-2)(χ-3)=xy,關(guān)于

這個(gè)方程的曲線有下列說(shuō)法：

①該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；

②該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③該曲線不經(jīng)過(guò)第三象限；

④該曲線上有且只有三個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

其中不正確的是.

答案①②④

解析以-X代替X,得到(x+D(X+2)(x+3)=xy,方程改變，.?.曲線不關(guān)于y軸對(duì)稱,故①中說(shuō)法

錯(cuò)誤；以-X代替X,-y代替y,得到(x+l)(x+2)(x+3)=-χy,方程改變，；.曲線不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故②中說(shuō)法錯(cuò)誤；當(dāng)x<0,y<0時(shí)，(χ-l)(χ-2)(χ-3)<0,xy>0,顯然方程不成立，二曲線不經(jīng)過(guò)

第三象限,故③中說(shuō)法正確;令x=-l,得y=24,即(-1,24)符合題意，同理可得

(1,0),⑵0),(3,0)也符合題意，...曲線上不止三個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù),故④中說(shuō)法錯(cuò)

誤.

222,2

3.(2021北京定位考試，15I數(shù)學(xué)探究)已知曲線Wlιx+y=m,W√x-+y?,其中m>0.

①當(dāng)m=l時(shí)，曲線W1與1%有4個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)0<m〈I時(shí)，曲線Wl圍成的區(qū)域面積大于曲線總圍成的區(qū)域面積；

③3m>1,曲線”圍成的區(qū)域面積等于W?圍成的區(qū)域面積；

@Vm>0,曲線M圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)不少于曲線比圍成的

區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù).

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①③④

解析首先需知道%,%都關(guān)于X軸,y軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.對(duì)于①,曲線

W,ιx2+y2=l,W√x'+y2=l,%過(guò)軸上4個(gè)點(diǎn)，(0,±1),(土1,0),當(dāng)X(x≠0)相同時(shí),％的Iyl更大，

曲線先相對(duì)于曲線及凸出,①正確;對(duì)于②,當(dāng)x=0時(shí),縱坐標(biāo)相同，當(dāng)x≠0時(shí),W?的Iyl更大,

當(dāng)y=0時(shí),1%的∣x∣更大.所以曲線M圍成的區(qū)域面積小于曲線W2圍成的區(qū)域面積,②錯(cuò)誤;對(duì)

于③,當(dāng)m=l時(shí)，曲線W1圍成的區(qū)域面積小于％圍成的區(qū)域面積,當(dāng)m無(wú)窮大時(shí)，曲線叫完全

在曲線明里，曲線Wl圍成的區(qū)域面積大于町圍成的區(qū)域面積,即隨著m的增加,一定有一個(gè)時(shí)

刻使兩曲線圍成的面積相等,③正確;對(duì)于④,當(dāng)0〈mW1時(shí),此中整點(diǎn)個(gè)數(shù)等于W2中整點(diǎn)個(gè)數(shù);

當(dāng)m>l時(shí),若X相同，則。〉狀,即用中整點(diǎn)個(gè)數(shù)大于W,中整點(diǎn)個(gè)數(shù).④正確.故答案為①③④.

應(yīng)用二構(gòu)建直線、圓模型解決生活實(shí)踐問(wèn)題

1.(2012北京,8,5分I實(shí)際生活)某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sll與n之間的關(guān)系如圖所示.從

目前記錄的結(jié)果看,前m年的年平均產(chǎn)量最高,m的值為()

2

S

l??lllllllll,

()?1234567891011n

?.5B.7C.9D.11

答案C前m年的年平均產(chǎn)量為國(guó),由各選項(xiàng)知只需求W，萼的最大值，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求

m57911

圖中4個(gè)點(diǎn)A(5,S5),B(7,S7),C⑼S9),D(ll,S,,)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值.由圖可知koc?

y

最大，即前9年的年平均產(chǎn)量最高.故選C.

2.(2017北京，14,5分I實(shí)際生活)三名工人加工同一種零件,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖

所示,其中點(diǎn)A,的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)B,的橫、

縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=l,2,3.

①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q“Q”Q：,中最大的是;

②記Pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,P：,中最大的是—.

零件數(shù)(件)

.4

4區(qū)

二?β'

3?

ɑ工作時(shí)間('小時(shí))

答案①Q(mào)l②P?

解析設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G(x,,y,).①由題意知Q,=2y”i=l,2,3,由題圖知力最大,所以

Ql,Q2,Q,中最大的是Q1.②由題意知P華與i=l,2,3.二的幾何意義為點(diǎn)Ci(X“yi)與原點(diǎn)0連

ΔXjXiXj

線的斜率.比較0α,0C2,OG的斜率，由題圖可知OJ的斜率最大,即Pz最大.

創(chuàng)新篇守正出奇

3

創(chuàng)新存在性問(wèn)題

1.(2022屆內(nèi)蒙古包頭調(diào)研,20I設(shè)問(wèn)創(chuàng)新)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線1與圓C：x2+y2-6x+5=0相

交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求圓心G的坐標(biāo)；

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(χ-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析⑴由x2+y2-6x+5=0得(χ-3)2+y2=4,

所以圓心C的坐標(biāo)為(3,0).

(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),

因?yàn)辄c(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn),連接C1M,則C1MIAB,

所以3M?∣?=T,即=子-1,

整理得(『|丫+/',當(dāng)直線1與圓C相切時(shí)，易得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為/當(dāng)點(diǎn)M與圓心G重合,即

直線1過(guò)圓心G時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)取得最大值3,又直線1與圓Cl交于不同的兩點(diǎn),所以點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)的取值范圍為"xW3.

2

故軌跡C的方程為(尸B+y2=^(∣<X≤3).

(3)存在.由⑵知點(diǎn)M的軌跡是以C(|,0)為圓心,為半徑的部分圓弧EF(如圖,不包括E,F兩

端點(diǎn))，

且e(?￥)'

FG,-豹

又直線L:y=k(χ-4)過(guò)定點(diǎn)D(4,0),

4

當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由勺)*：,得k=+∣

，*+(一］)/乙4

又%尸%=-4^=考,結(jié)合圖形可知，當(dāng)k∈{4>泗卜第，竽時(shí),直線L:y=k(x-4)與曲

線C只有一個(gè)交點(diǎn).

2.(2021江西頂級(jí)名校四模,21I設(shè)問(wèn)創(chuàng)新)已知圓心為C的圓滿足下列條件：圓心C在X軸

正半軸上,與直線3χ-4y+7=0相切,且截y軸所得的弦長(zhǎng)為2g,圓C的面積小于13.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,3)的直線1與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,以0A,OB為鄰邊作平行四邊形OADB.

是否存在這樣的直線1,使得直線OD與MC恰好平行?如果存在,求出1的方程;如果不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析(D設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(χ-a”+y2=R2(a>0,R>0),由題意知《、^彳’

(√?+3=R,

解得a=l