本章學(xué)習(xí)要求：1.掌握信號(hào)頻譜的概念2.掌握頻譜分析的作用與頻譜求取方法3.理解信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算4.了解快速傅里葉變換（FFT）的應(yīng)用5.掌握隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)6.了解信號(hào)的倒頻譜分析

復(fù)雜信號(hào)是由眾多頻率不同的諧波信號(hào)疊加而成的，各諧波的強(qiáng)弱比例的改變以及相位的改變，都會(huì)使信號(hào)總體特性產(chǎn)生變化。諧波的幅值和相位的構(gòu)成被稱為信號(hào)的頻譜。分析信號(hào)的頻譜有重要的意義，特別在振動(dòng)工程、噪聲、語(yǔ)音識(shí)別、語(yǔ)音合成、故障診斷等領(lǐng)域。信號(hào)頻譜X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。

時(shí)域(timedomain)分析與頻域(frequencydomain)分析的關(guān)系時(shí)間幅值頻率時(shí)域分析頻域分析

信號(hào)頻域分析是采用傅立葉（級(jí)數(shù)）變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來(lái)了解信號(hào)的特征。

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里葉變換X(t)=Asin(2πft)0t0f時(shí)域分析只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡(jiǎn)諧波外，很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào)

在許多場(chǎng)合，用信號(hào)的頻率來(lái)描述事物的特征也更簡(jiǎn)潔和明確。下表是不同音階的時(shí)域波形和頻譜，頻率值的大小直觀地反映了音階的高低。

131Hz147Hz165Hz175Hz頻域參數(shù)對(duì)應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)速、固有頻率等參數(shù)，物理意義更明確。頻譜圖的概念

工程上習(xí)慣將計(jì)算結(jié)果用圖形方式表示，以fn(ωn)為橫坐標(biāo)，bn

、an為縱坐標(biāo)畫圖，稱為實(shí)頻或虛頻譜圖。圖例

以fn為橫坐標(biāo)，An、

為縱坐標(biāo)畫圖，則稱為幅值或相位譜；

以fn為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫圖，則稱為功率譜。

周期信號(hào)的頻域分析：傅立葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)的頻域分析：傅立葉變換對(duì)隨機(jī)信號(hào)而言，不能直接用傅立葉積分進(jìn)行頻譜分析。原因是：不符合絕對(duì)可積的條件（狄里赫利條件）一般采用自相關(guān)函數(shù)或互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換（功率譜密度函數(shù)）。自功率譜密度函數(shù)(自譜):自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換互功率譜密度函數(shù)(互譜):互相關(guān)函數(shù)的FT

仿真實(shí)驗(yàn)：典型信號(hào)的頻譜分析

白噪聲信號(hào)對(duì)信號(hào)的波形干擾很大，但對(duì)信號(hào)的頻譜影響很小。

諧波信號(hào)具有優(yōu)異的數(shù)學(xué)性質(zhì)和深厚的物理背景，通常作為基本信號(hào)之一。諧波信號(hào)在數(shù)學(xué)上是一個(gè)無(wú)起點(diǎn)的簡(jiǎn)諧震蕩周期信號(hào)，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：4.1信號(hào)頻譜的形式與物理意義

上式中的復(fù)指數(shù)通常稱為復(fù)指數(shù)諧波，它同一個(gè)與其共軛的復(fù)指數(shù)諧波構(gòu)成一個(gè)實(shí)際諧波。諧波信號(hào)(harmonicsignal)的波形總可由三個(gè)特征參數(shù)完全描述。其中頻率f是一個(gè)重要參數(shù)，它描述了信號(hào)變化的快慢。也經(jīng)常用到角頻率w。諧波信號(hào)的重要性質(zhì)包括兩方面：微分不變性大部分工程實(shí)用信號(hào)都可以分解成一系列不同頻率諧波的線性組合。

如何分解正是諧波分析的重要任務(wù)之一。4.1信號(hào)頻譜的形式與物理意義

工程實(shí)踐中有大量諧波信號(hào)。例如…

諧波信號(hào)往往對(duì)應(yīng)信號(hào)源的一種單純、諧和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

諧波成分的分布情況能很好說(shuō)明信號(hào)的復(fù)雜程度，是信號(hào)傳輸、處理中需要了解的重要特性。

周期信號(hào)、瞬態(tài)信號(hào)、各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)都可以通過(guò)相應(yīng)的途徑進(jìn)行諧波分解。4.1信號(hào)頻譜的形式與物理意義4.1.1周期信號(hào)的信號(hào)頻譜借助于傅里葉級(jí)數(shù)(Fourierseries)，一般周期信號(hào)可利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)的線性疊加。前提是需滿足Dirichlet條件（在周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且絕對(duì)可積）。a)傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式：可變形為：式中：a0、an、bn為傅里葉系數(shù)

ω0為信號(hào)的基頻

T為信號(hào)基波成分的周期

n稱為諧波階數(shù)

An為各諧波分量的幅值

Φn為各諧波分量的初相角b)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)展開(kāi)式：

按三角傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（4.1-6）或（4.1-11,12），已將x(t)分解成了一系列由序號(hào)n標(biāo)記的實(shí)諧波之和。

n=0:直流分量—特殊諧波（最簡(jiǎn)單的諧波），即

n=1:基波分量-頻率為f1(x(t)的基本頻率）的諧波分量，即

n>1:n此諧波分量-頻率為fn=nf1(基波頻率的n倍）的諧波分量，即

按指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式4.1-8，便將x(t)分解成了一系列由序號(hào)n標(biāo)記的復(fù)（指數(shù)）諧波之和，則

n=0:直流分量-對(duì)于實(shí)信號(hào)x(t)，每個(gè)非直流諧波分量x+n(t)都將同一個(gè)與其共軛的復(fù)諧波x-n(t)合成一個(gè)實(shí)諧波分量。

n=1:基波分量-

n>1:n此諧波分量-將信號(hào)分解成諧波分量時(shí)，若將每個(gè)諧波分量的特征參數(shù)按序排列成圖，便能形象地表達(dá)信號(hào)分解的情況。由于各個(gè)諧波分量可由其頻率明確區(qū)分，故通常以諧波頻率為序（不同頻率對(duì)應(yīng)不同諧波分量）來(lái)刻畫諧波分量的幅度及相位等特征參數(shù)的分布情況，形成所謂的頻譜。對(duì)應(yīng)周期信號(hào)分解的四種表達(dá)形式，其頻譜(spectrum)有五種不同的刻畫方法：對(duì)應(yīng)式4.1-11分解，用（單邊）幅值譜An-f和（余弦）相位譜φn-f表示

幅頻譜--以圓頻率ω0（或頻率f）為橫坐標(biāo),幅值A(chǔ)n為縱坐標(biāo)

(amplitudespectrum)

相頻譜--以圓頻率ω0（或頻率f）為橫坐標(biāo),相位Φn為縱坐標(biāo)

(phasespectrum)Anω1ω(f)ω20●●●●●●●●●●●●●ω1ω2ω3ω(f)φ(n)對(duì)應(yīng)式4.1-12分解，用（單邊）幅值譜An-f和（正弦）相位譜θn-f表示

對(duì)應(yīng)式4.1-6分解，用余弦譜an-f和正弦譜bn-f表示。

對(duì)應(yīng)式4.1-8分解，用雙邊幅值譜、雙邊相位譜，或?qū)嵶V、虛譜表示。

常見(jiàn)單邊頻譜圖4-5與雙邊頻譜圖4-6的關(guān)系為例1：復(fù)雜周期信號(hào)

通過(guò)求傅里葉級(jí)數(shù)，可得

例2如圖所示的周期方波，以復(fù)指數(shù)展開(kāi)形式求頻譜，并作頻譜圖。

例3周期單位脈沖序列的頻譜

周期單位脈沖序列函數(shù)（又稱采樣函數(shù)）表達(dá)式為

其頻譜為：

不同形式的頻譜的功效完全等價(jià)，之間有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系（4.1-10、13、14），可任選其一。常用的頻譜有圖4-5、4-6兩種。前者由于其描述的諧波參數(shù)有直觀意義（有實(shí)際的物理意義）而受重用，后著則由于數(shù)學(xué)運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單而受歡迎。三角函數(shù)展開(kāi)形式的頻譜是單邊譜（ω從0到∞）復(fù)指數(shù)展開(kāi)形式的頻譜是雙邊譜（ω從-∞到∞）雙邊幅頻譜為偶函數(shù)，雙邊相頻譜為奇函數(shù)。

周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性。譜線間隔為：nw0=n2π/T0信號(hào)的能量主要集中在低頻段選儀器時(shí)要注意頻帶寬度。對(duì)任意周期信號(hào)x(t)，定義其平均功率上式可表達(dá)信號(hào)x(t)的總體強(qiáng)弱。當(dāng)x(t)分解成三角諧波分量組合時(shí)，其諧波分量的平均功率為4.1.2周期信號(hào)的功率譜當(dāng)x(t)分解成指數(shù)諧波分量組合時(shí)，其諧波分量的的平均功率可定義為4.1.2周期信號(hào)的功率譜來(lái)表達(dá)其總體強(qiáng)弱。不難證明有下列Parserval關(guān)系：即周期信號(hào)無(wú)論分解成三角諧波之和還是指數(shù)諧波之和，其平均功率都等于所有各個(gè)諧波的平均功率之和。由此可知，各諧波分量的功率也是重要參數(shù)，可以比較直接地表達(dá)它對(duì)合成總信號(hào)的貢獻(xiàn)。于是將諧波分量的功率按頻率順序排列，構(gòu)成功率譜（單邊和雙邊）。4.1.2周期信號(hào)的功率譜雙邊功率譜對(duì)稱于縱軸。雙邊功率譜Sn與單邊Gn有下列關(guān)系：對(duì)于非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t),若滿足Dirichlet條件，在數(shù)學(xué)上不難證明下列傅里葉變換關(guān)系與周期信號(hào)不同的是：1.每個(gè)諧波分量xf(t)的幅度X(f)df都是無(wú)窮小量2.各諧波分量在頻率f軸上連續(xù)排列，而周期信號(hào)各諧波分量之間間隔頻率f1=1/T由上式可知，它將時(shí)限信號(hào)x(t)分解成了一系列復(fù)指數(shù)諧波分量的和。4.1.3非周期信號(hào)的頻譜密度雖然各諧波分量的幅度都是無(wú)窮小量，但可通過(guò)X(f)表達(dá)各自的特性：模X(f)可表達(dá)xf(t)幅度的相對(duì)大小，輻角argX(f)正是xf(t)的零時(shí)相位?？梢?jiàn)：任意頻率f附近單位頻帶內(nèi)的諧波分量合成近似為頻率f、幅度為、零時(shí)相位為argX(f)的（復(fù)）指數(shù)諧波。由此，X(f)被稱為信號(hào)x(t)的（雙邊）頻譜密度函數(shù)。相應(yīng)地也分為幅度譜、相位譜、實(shí)譜、虛譜。進(jìn)一步考察在任意頻率f=f0附近單位頻帶f屬于[f0-1/2,f0+1/2]內(nèi)諧波分量的合成結(jié)果有4.1.3非周期信號(hào)的頻譜密度非周期信號(hào)x(t)也可以分解為物理意義更加明確的實(shí)三角諧波之和。非周期信號(hào)的單邊譜通常由雙邊譜的結(jié)果導(dǎo)出：4.1.3非周期信號(hào)的頻譜密度實(shí)際應(yīng)用中大都采用雙邊譜以求數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)便。雙邊幅值譜、實(shí)譜對(duì)稱與縱軸，相位譜、虛譜為奇函數(shù)。對(duì)于能量有限的非周期信號(hào)，可定義能量W表示其總體強(qiáng)弱?？紤]4.1-21可導(dǎo)出4.1.4非周期信號(hào)的能量譜(密度）這就是能量信號(hào)的Parserval公式。結(jié)論：時(shí)限信號(hào)的總能量等于其所有（無(wú)限?。┲C波分量的能量之和。各諧波分量的能量也是無(wú)窮小量，但可定義雙邊能量譜密度Ex(f)表達(dá)諧波分量能量的相對(duì)大小。

Ex(f)顯然是偶函數(shù)。見(jiàn)圖4-13.4.1.4非周期信號(hào)的能量譜密度對(duì)實(shí)信號(hào)x(t)進(jìn)行實(shí)三角諧波分解，有單邊能量譜（密度）：不難導(dǎo)出雙邊能量譜（密度）Ex(f)與單邊能量譜（密度）Nx(f)有如下關(guān)系：4.1.4非周期信號(hào)的能量譜且有：隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)性表現(xiàn)在：4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）對(duì)與測(cè)試而言，隨機(jī)信號(hào)和確定信號(hào)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，都是對(duì)某個(gè)物理量的時(shí)間歷程進(jìn)行的，并不在乎被測(cè)信號(hào)是否有規(guī)律。

:S1-Sn的結(jié)構(gòu)及參數(shù)“完全一樣”，但發(fā)出的信號(hào)不一樣---每個(gè)Si在各行其是，隨機(jī)發(fā)出信號(hào)。xi(t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律不受Si結(jié)構(gòu)參數(shù)的控制—它在隨機(jī)變化。對(duì)xi(t)的測(cè)試分析是為了了解總體X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。由于實(shí)際的測(cè)試分析都只能對(duì)有限的信號(hào)且在有限的時(shí)間范圍內(nèi)進(jìn)行，因此，只有對(duì)各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)總體的樣本信號(hào)進(jìn)行測(cè)試、分析才是有意義的。4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）由于X(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，可以通過(guò)單個(gè)樣本信號(hào)xi(t)的測(cè)試分析，了解X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（信息），因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)性保證由任一樣本都可以統(tǒng)計(jì)出總體的規(guī)律。由于X(t)是平穩(wěn)的，便可通過(guò)對(duì)樣本信號(hào)xi(t)在有限的時(shí)間范圍內(nèi)的測(cè)試分析，了解整個(gè)xi(t)的統(tǒng)計(jì)特性。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，可以由其任一樣本xi(t)指代。

4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）

x(t)的平均功率是有限的，定義為：平均功率表達(dá)總體X(t)及其樣本x(t)的總體強(qiáng)弱。如圖4-15，截取樣本信號(hào)x(t)的一段，構(gòu)成時(shí)限信號(hào)。4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）可得：時(shí)限信號(hào)xT(t)可分解為式中

4.1-33代入4.1-32可得4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）定義：相應(yīng)有：

Sx(f)df是頻率為f的復(fù)指數(shù)諧波分量的平均功率。Sx(f)稱為隨機(jī)信號(hào)x(t)的雙邊功率譜（密度）函數(shù)，是表達(dá)隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一個(gè)重要函數(shù)。單邊功率譜密度函數(shù)Gx(f)定義為：4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）相應(yīng)有：

Gx(f)df是隨機(jī)信號(hào)x(t)中頻率為f的三角諧波分量的平均功率。從x(t)的頻譜中找出信號(hào)源的某些特征。如發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)電機(jī)。通過(guò)對(duì)輸入、輸出信號(hào)頻譜的比較分析，辨識(shí)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)的傳遞特性（如頻響函數(shù)frequenceresponsefunction等）。評(píng)估待測(cè)量信號(hào)的復(fù)雜程度，以便為其配置合適的測(cè)量系統(tǒng)。（如估計(jì)信號(hào)的有效頻帶）4.2頻譜分析的作用與頻譜求取方法4.2.1頻譜分析的作用功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用汽車變速箱上加速度信號(hào)的功率譜圖正常異常故障頻率（a）（b）向系統(tǒng)輸入周期為T的信號(hào)x(t),系統(tǒng)將輸出同周期的信號(hào)y(t)輸入：輸出：1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)幅頻特性：相頻特性：向系統(tǒng)輸入時(shí)限信號(hào)x(t),系統(tǒng)將輸出時(shí)限信號(hào)y(t)輸入：輸出：1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)可得：向系統(tǒng)輸入各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t),系統(tǒng)將輸出各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)y(t)。記x(t),y(t)的雙邊功率譜密度為Sx(f),Sy(f),則有輸出：1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)如果仿照Sx(f)定義y(t)與x(t)的互功率譜密度函數(shù)Syx(f),則有周期信號(hào)的有效頻帶估計(jì)若已知周期信號(hào)x(t)的單邊功率譜，則可由頻譜圖分布試選有效頻帶下限為，上限為，將功率較大的諧波分量保留在初選的有效頻帶內(nèi)（圖4-17）。此時(shí)，內(nèi)諧波分量的合成信號(hào)為

2.信號(hào)的有效頻帶估計(jì)計(jì)算x*(t)的平均功率：2.信號(hào)的有效頻帶估計(jì)計(jì)算x(t)的平均功率：驗(yàn)算P*/P:

如果P*/P略大于Δ（常取0.9~0.99），則可認(rèn)為x(t)的有效頻帶為，即在工程上可由x*(t)代替x(t).

如果P*/P<Δ,則適當(dāng)拓寬的范圍后再驗(yàn)算。

如果P*/P明顯大于Δ，則適當(dāng)減小的范圍后再試。2.信號(hào)的有效頻帶估計(jì)時(shí)限信號(hào)的有效頻帶估計(jì)求得時(shí)限信號(hào)x(t)的單邊能量譜（密度）Nx(f)后，由譜圖分布初步試選有效頻帶下限為fl,上限為fh,將能量譜密度較大的諧波分量保留在初選的有效頻帶內(nèi)，4-18，內(nèi)諧波分量合成信號(hào)為計(jì)算x*(t)的能量：計(jì)算x(t)的總能量：驗(yàn)算W*/W,若略大于Δ，則可認(rèn)定x(t)的有效頻帶為，即在工程上可以由信號(hào)x*(t)代替x(t).2.信號(hào)的有效頻帶估計(jì)各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的有效頻帶估計(jì)得到x(t)的單邊功率譜（密度）Gx(f)后，由譜圖分布初步試選有效頻帶下限為fl,上限為fh,將功率譜密度較大的諧波分量保留在初選的有效頻帶內(nèi)，4-19.計(jì)算帶內(nèi)諧波分量合成信號(hào)的平均功率：驗(yàn)算P*/P：若略大于Δ，則可認(rèn)定x(t)的有效頻帶為。計(jì)算x(t)的總功率：4.2.2信號(hào)頻譜的求取方法在數(shù)學(xué)上就是完成相應(yīng)的積分運(yùn)算。對(duì)于周期信號(hào)xT(t),按4.1-9完成傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)FS{xT(t)}:

對(duì)于非周期信號(hào)x(t),按式（4.1-24）完成傅里葉變換F{x(t)}:求取信號(hào)頻譜的方法有三種：解析法、模擬儀器分析法和數(shù)字計(jì)算法。如果信號(hào)的解析表達(dá)式已知，并且表達(dá)式不太復(fù)雜，便可用解析法完成傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換，獲得所需的頻譜。4.2.2信號(hào)頻譜的求取方法傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換都有許多特性和現(xiàn)成的結(jié)果用于簡(jiǎn)化運(yùn)算。有幾種特殊的頻譜值得關(guān)注。直流信號(hào)單位沖擊信號(hào)4.2.2信號(hào)頻譜的求取方法單位階躍信號(hào)(unit-stepsignal)單邊指數(shù)信號(hào)補(bǔ)充知識(shí)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)的特性：1）乘積特性（抽樣）2）積分特性（篩選）3）卷積特性頻譜：均勻譜4.2.2信號(hào)頻譜的求取方法需要指出的是，在廣義傅里葉變換的框架下（引入奇異的單位沖擊函數(shù)δ(t)),周期信號(hào)也可以進(jìn)行傅里葉變換。對(duì)于周期信號(hào)其頻譜密度函數(shù)為對(duì)此XT(f)實(shí)施傅里葉逆變換可驗(yàn)證其正確性。4.2.2信號(hào)頻譜的求取方法對(duì)于未知解析表達(dá)式的實(shí)測(cè)周期和隨機(jī)（電）信號(hào)，可采用專門的模擬儀器，如頻譜分析儀、功率譜（密度）分析儀、互功率譜密度分析儀等獲取頻譜。

模擬頻譜分析儀曾經(jīng)是實(shí)際信號(hào)頻譜分析的主要工具。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和快速數(shù)字計(jì)算方法（如FFT等）的應(yīng)用，已逐漸被成本低廉很多，但精度能達(dá)到更高要求的數(shù)字頻譜分析方法（儀器）所取代。后續(xù)章節(jié)將詳述之。1.什么是諧波信號(hào)，它的重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)包括哪兩個(gè)方面？2.周期信號(hào)進(jìn)行分解時(shí)，有哪四種表達(dá)形式，分別寫出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式。3.什么是信號(hào)的頻譜。對(duì)應(yīng)周期信號(hào)的四種表達(dá)形式，其頻譜的五種不同的刻畫方法是什么？4.某周期信號(hào)為,試畫出其單邊和雙邊功率譜。5.雙邊指數(shù)衰減函數(shù)表達(dá)式如下，試求其頻譜。作業(yè)：6.頻譜分析的作用主要有哪幾個(gè)方面？7.求取信號(hào)頻譜的方法主要有哪三種？作業(yè)：傅立葉變換的性質(zhì)c.對(duì)稱性若x(t)←→X(f)，則X(-t)←→x(+f)a.奇偶虛實(shí)性b.線性疊加性若x1(t)←→X1(f)，x2(t)←→X2(f)

則：c1x1(t)+c2x2(t)←→c1X1(f)+c2X2(f)e.時(shí)移性若x(t)←→X(f)，則x(t±t0)←→e±j2πft0X(f)d.時(shí)間尺度改變性若x(t)←→X(f)，則x(kt)←→1/k[X(f/k)]f.頻移性若x(t)←→X(f)，則x(t)e±j2πf0t←→X(f±f0)g.卷積特性

若x(t)←→X(f)，y(t)←→Y(f),則x(t)*y(t)←→X(f)Y(f)

x(t)y(t)←→X(f)*Y(f)4.3信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算4.3.1香農(nóng)（Shannon）采樣定理采樣是將采樣脈沖序列p(t)與信號(hào)x(t)相乘，取離散點(diǎn)x(nt)的值的過(guò)程。tx（t）0tp（t）0X(0),X(1),X(2),……,X(n)

tX（t）?P(t）0tx（nt）0每周期應(yīng)該有多少采樣點(diǎn)？最少2點(diǎn):tx（t）0tx（t）04.3.1香農(nóng)（Shannon）采樣定理

數(shù)字計(jì)算頻譜前必須對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣得到x[n],能否由x[n]計(jì)算出x(t)的頻譜，香農(nóng)采樣定理給出了有條件的肯定答案。假設(shè)以采樣間隔Ts對(duì)x(t)采樣，采樣所得信號(hào)稱為采樣信號(hào)（沖激抽樣信號(hào)）

其中

對(duì)上式兩邊取傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理4.3.1香農(nóng)（Shannon）采樣定理

4.1.1節(jié)例3結(jié)果為：

上式代入上上式：

根據(jù)δ函數(shù)的卷積特性得：理想脈沖采樣過(guò)程

一個(gè)連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣以后，它的頻譜將沿著頻率軸每隔一個(gè)采樣頻率ωs,重復(fù)出現(xiàn)一次，即其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，其頻譜形狀不變。

頻域解釋

當(dāng)采樣信號(hào)的頻率低于被采樣信號(hào)的最高頻率時(shí)，采樣所得的信號(hào)中混入了虛假的低頻分量，這種現(xiàn)象叫做頻率混疊。

使信號(hào)復(fù)原時(shí)丟失原始信號(hào)中的高頻信息。

采樣定理

(samplingratetheorem)

為保證采樣后信號(hào)能真實(shí)地保留原始模擬信號(hào)信息，信號(hào)采樣頻率必須至少為原信號(hào)中最高頻率成分的2倍。這是采樣的基本法則，稱為采樣定理。fs

＞2fc

需注意，滿足采樣定理，只保證不發(fā)生頻率混疊，而不能保證此時(shí)的采樣信號(hào)能真實(shí)地反映原信號(hào)x(t)。工程實(shí)際中采樣頻率通常大于信號(hào)中最高頻率成分的3到5倍。（在預(yù)處理時(shí)信號(hào)先通過(guò)抗混濾波器）tx（t）0tx（t）04.3.2周期信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算

1.理想狀態(tài)下的精確結(jié)果與離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)于周期為T的周期信號(hào)x(t),設(shè)f1=1/T,Ck為x(t)的復(fù)頻譜，其頻譜密度函數(shù)相應(yīng)為：以間隔Ts=T/N對(duì)x(t)離散采樣，稱為整周期采樣，采樣頻率相應(yīng)為fs=1/Ts=Nf1,得到周期為N的周期離散信號(hào)由x[n]構(gòu)造沖擊抽樣信號(hào)

可以驗(yàn)證xδ(t)也是周期為T的周期信號(hào)，求它的復(fù)頻譜可得式中，0-，T-表示時(shí)間0，T的左極限。記稱DFS{x[n]}為對(duì)離散周期信號(hào)x[n]的離散傅里葉級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱DFS。已驗(yàn)證：x[k]是周期離散函數(shù)，周期也是N，并且有反演關(guān)系

稱IDFS{X[k]}為對(duì)周期離散函數(shù)X[k]的逆離散傅里葉級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱IDFS?；赬[k]=DFS{x[n]},有Cδk=X[k]。于是xδ(t)的頻譜密度函數(shù)相應(yīng)為若x(t)為帶限周期信號(hào)，非零頻帶為,相應(yīng)有當(dāng)滿足采樣定理時(shí)，即fs>2fh時(shí)，有

將式4.3-7和式4.3-10代入上式，有比較此式兩邊，并注意到fs=Nf1,便可得因?yàn)閒s>2fh時(shí)，N/2>Nh,所以上式已給出了x(t)的所有非零頻譜。

可見(jiàn)，對(duì)于周期信號(hào)x(t),如果采樣間隔Ts=T/N,并且滿足香農(nóng)采樣條件，則可以由DFS{x[n]}得到x(t)頻譜的精確結(jié)果。2.頻譜混疊狀況下的近似計(jì)算只有在滿足采樣定理的條件下，在的范圍內(nèi)Ck=Cδk=X[k]=DFS{x[n]}。

實(shí)際上嚴(yán)格滿足采樣條件是很困難的，如果fs足夠高，時(shí)Ck非常小，頻譜混疊不嚴(yán)重，仍然可以由X[k]比較精確地逼近Ck.如果頻譜混疊嚴(yán)重，則可以利用x[n],通過(guò)線性插值或拋物線插值構(gòu)造一個(gè)逼近x(t)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x*(t),則x*(t)的復(fù)頻譜C*k通常能較好地逼近Ck,不受頻譜混疊的制約。4.3.2非周期信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算

1.理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（DFT）對(duì)時(shí)限信號(hào)x(t)（t屬于0，Ta)以Ts為間隔離散采樣，得到延續(xù)區(qū)間為n屬于[0,N-1]的有限長(zhǎng)度離散信號(hào)x[n].由式（4.3-4）可得用計(jì)算機(jī)計(jì)算頻譜時(shí)，只能計(jì)算它在有限個(gè)頻率點(diǎn)上的離散采樣值。于是，考慮以fΔ=fs/N=1/NTs=1/Ta為頻率間隔，對(duì)頻譜進(jìn)行離散采樣，得

1.理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（DFT）上式中的運(yùn)算通常稱為對(duì)n屬于[0,N-1]有限時(shí)常信號(hào)x[n]的離散傅里葉變換，用DFT表示，結(jié)果記為X[k],即不難驗(yàn)證，X[k]是k的周期函數(shù)，周期為N，并可導(dǎo)出其中定義的IDFT稱為為X[k]的離散傅里葉逆變換

1.理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（DFT）于是有假定x(t)是最高諧波頻率為fh的帶限信號(hào)，即如果fs>2fh,則由有

2.頻譜混疊狀況下的近似計(jì)算（同上節(jié)）頻譜的取樣間隔為時(shí)域取樣長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù)，Ta不能隨意取大，因此fΔ不能隨意取小。

3.柵欄效應(yīng)問(wèn)題于是對(duì)某些頻譜變化比較劇烈的信號(hào)，fΔ會(huì)顯得過(guò)寬。（如圖所示）沒(méi)能有效描述原信號(hào)頻譜的波動(dòng)規(guī)律。這種由于頻率取樣間隔過(guò)大而不能有效表達(dá)頻譜特征的情況，稱為柵欄效應(yīng)。

例如，余弦信號(hào)的頻譜為線譜。當(dāng)信號(hào)頻率與頻譜離散取樣點(diǎn)不等時(shí)，柵欄效應(yīng)的誤差為無(wú)窮大。分析時(shí)應(yīng)注意怎樣獲得準(zhǔn)確的頻譜。對(duì)于延續(xù)時(shí)間τ有限的信號(hào)，首先要使取樣時(shí)段要包含信號(hào)的延續(xù)區(qū)域Ta>τ,否則會(huì)引起頻譜泄露。

3.柵欄效應(yīng)問(wèn)題將信號(hào)延續(xù)區(qū)間以后的零值取樣進(jìn)去而增大Ta，而使頻譜細(xì)化。（補(bǔ)零細(xì)化）減小柵欄效應(yīng)的辦法就是增加Ta長(zhǎng)度，但加大計(jì)算負(fù)擔(dān)。為便于數(shù)學(xué)處理，對(duì)截?cái)嘈盘?hào)做周期延拓，得到虛擬的無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)。

用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測(cè)試信號(hào)處理時(shí)，不可能對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析，這個(gè)過(guò)程稱信號(hào)截?cái)唷?.3.4頻譜泄露與合理取樣周期延拓信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的：能量泄漏

周期延拓后的信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的，下面我們就從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看這種處理帶來(lái)的誤差情況。

設(shè)有余弦信號(hào)x(t),用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘，得到截?cái)嘈盘?hào):y(t)=x(t)w(t)將截?cái)嘈盘?hào)譜XT(ω)與原始信號(hào)譜X(ω)相比較可知，它已不是原來(lái)的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜.原來(lái)集中在f0處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。

1.加窗取樣對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行有限長(zhǎng)截取相當(dāng)于將其與一個(gè)在截取區(qū)間以外恒為0的窗函數(shù)w(t,tw,tc)相乘，形成另一個(gè)信號(hào)。即相應(yīng)計(jì)算結(jié)果實(shí)際是此xw(t)的頻譜。圖4-39(a)直接截取的窗函數(shù)波形呈矩形，稱為矩形窗圖4-39(a)常用的窗函數(shù)(windowfunction)

1）矩形窗

矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過(guò)了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。2）三角窗

三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無(wú)負(fù)旁瓣

3）漢寧窗從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。

常用窗函數(shù)

對(duì)于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來(lái)提高信噪比。

2.截尾取樣對(duì)于初始變化幅度較大的有始信號(hào)，一般應(yīng)采用半邊窗截尾，即原樣保持起始的信號(hào)波形，以盡量減小泄露效應(yīng)。矩形截尾函數(shù)三角形截尾函數(shù)升余弦形截尾函數(shù)改進(jìn)升余弦形截尾函數(shù)

3.補(bǔ)尾取樣對(duì)于延續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的有始信號(hào)x(t),一種有效抑制頻譜泄露的取樣辦法是，以合適的取樣長(zhǎng)度矩形截尾，得然后根據(jù)截尾前信號(hào)的變化趨勢(shì)，選擇合適的函數(shù)形式，通過(guò)對(duì)截尾前一段信號(hào)的回歸分析，估計(jì)出截尾點(diǎn)后信號(hào)變化的一個(gè)可解析求取頻譜的近似表達(dá)式c(t),得到式中，X1(f)由數(shù)字計(jì)算得到，而C(f)由解析求取。從而可以得到信號(hào)的頻譜為1.信號(hào)時(shí)移預(yù)處理對(duì)圖4-46所示起點(diǎn)為t1的x(t)信號(hào)，可令y(t)=x(t+t1),使y(t)符合DFT計(jì)算頻譜的要求（起點(diǎn)在0時(shí)刻）。由Y(f)換算出X(f).即4.3.5數(shù)字計(jì)算頻譜的預(yù)處理然后，根據(jù)2.防混疊濾波處理

若x(t)所含諧波頻率fh很高，直接離散采樣很難滿足fs>2fh的要求。在只需分析了解其低頻諧波情況（低頻率段頻譜）時(shí)，可用低通濾波器將不需了解的高頻成分濾掉，使剩余成分的最高諧波頻率減小到fh*,可在滿足fs>2fh*的條件下離散采樣，保證得到精確的低頻段頻譜。這就是防混疊濾波。4.3.5數(shù)字計(jì)算頻譜的預(yù)處理A/D采樣前的抗混迭濾波：

物理信號(hào)對(duì)象傳感器電信號(hào)放大調(diào)制電信號(hào)A/D轉(zhuǎn)換數(shù)字信號(hào)展開(kāi)低通濾波(0-Fs/2)放大

由4.3節(jié)可知，數(shù)字計(jì)算信號(hào)頻譜時(shí)的主要工作是完成下述兩種相關(guān)的運(yùn)算：4.4.1FFT(fastFouriertransform)的由來(lái)

對(duì)于有限長(zhǎng)離散信號(hào)x[n]有

對(duì)于周期離散信號(hào)x[n]有

鑒于F{}和F-1{}與DFT(DFS)和IDFT(IDFS)的上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，不妨將F{}也稱為離散傅里葉變換，F(xiàn)-1{}也稱為離散傅里葉逆變換。4.4.1FFT的由來(lái)

直接計(jì)算F{}和F-1{}都要進(jìn)行N*N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和N*（N-1）此復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。當(dāng)N較大時(shí)，運(yùn)算量巨大以致可能無(wú)法完成。4.4.1FFT的由來(lái)

FFT算法的基本思想是將N長(zhǎng)度的DFT運(yùn)算分解成幾段分別進(jìn)行計(jì)算，并且設(shè)法找到各段計(jì)算中的相同項(xiàng)，只計(jì)算一次，利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)、調(diào)用，避免重復(fù)計(jì)算，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提高速度。

根據(jù)分段方式不同，F(xiàn)FT有各種具體算法。但通用性最強(qiáng)的是庫(kù)利-圖基的基2-FFT算法。即每次將序列按奇偶或前后分成兩段，直到最后進(jìn)行長(zhǎng)度為2的DFT計(jì)算。4.6隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)如4.1.5所述，用其任一樣本信號(hào)x(t)指代各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)X(t),并且假設(shè)其均值為0.

可按式（4.1.38）定義功率譜（密度）函數(shù)式中xT(t)是由x(t)截取的時(shí)限信號(hào)。4.6.1功率譜估計(jì)方法概述也可以由自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)定義功率譜密度函數(shù)兩種定義等價(jià)，但都不能解析求取，只能數(shù)字計(jì)算。即對(duì)x(t)抽樣獲取x[n]再對(duì)其進(jìn)行數(shù)字計(jì)算獲取Sx(f)的離散抽樣值。對(duì)第一個(gè)定義，有估計(jì)值4.6.1功率譜估計(jì)方法概述對(duì)于第二個(gè)定義首先也需要滿足采樣定理。此外，上述兩個(gè)定義中的無(wú)窮極限及無(wú)窮積分都不能精確實(shí)現(xiàn)，因此只能獲得估計(jì)值。式中，τ屬于[-Γ,+Γ]是包含Rx(τ)顯著段的有限區(qū)間。由于Rx(τ)也包含不能精確實(shí)現(xiàn)的無(wú)窮積分，只能獲得其估計(jì)值。即先設(shè)法估計(jì)出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)，進(jìn)而估計(jì)功率譜密度函數(shù)，此為古典間接估計(jì)法。式4.6-4稱為古典直接估計(jì)法。4.6.1功率譜估計(jì)方法概述因此式（4.6-5）只能實(shí)現(xiàn)為1.直接估計(jì)的估計(jì)質(zhì)量與改善措施是一個(gè)矩形窗函數(shù)，其傅里葉像函數(shù)為4.6.1功率譜估計(jì)方法概述按式（4.1-33）定義的xT(t)相當(dāng)于式中由式4.6-8和卷積積分的定義可導(dǎo)出1.直接估計(jì)的估計(jì)質(zhì)量與改善措施4.6.1功率譜估計(jì)方法概述于是可得式（4.6-4）直接估計(jì)的功率譜與其精確值的關(guān)系為：相應(yīng)的估計(jì)偏差為估計(jì)方差為1.直接估計(jì)的估計(jì)質(zhì)量與改善措施4.6.1功率譜估計(jì)方法概述當(dāng)T趨近于無(wú)窮大時(shí)，W0(f)趨近于δ函數(shù)，從而有可見(jiàn)，Sx(f)的直接估計(jì)SxA(f)是漸近無(wú)偏的，但不是一致性的估計(jì)。對(duì)于有限長(zhǎng)樣本的