郴州市2023年下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

高二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

L試卷分試題卷和答題卡.試卷共4頁(yè)，有四大題，共22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班次、準(zhǔn)考證號(hào)、考室號(hào)及座位號(hào)寫(xiě)在答題卡和試題卷的封面

上.

3.考生作答時(shí)，選擇題和非選擇題均須作在答題卡上，在試題卷上作答無(wú)效考生在答題卡上按答

題卡中注意事項(xiàng)的要求答題.

4.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.已知2（7,-4）,8（-5,6）,若直線加與直線Z5垂直，則直線加的斜率為（）

6655

A.-B.C.-D.

5566

2.已知等差數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和S,，公差為［（4/0）,。4=%。8+42021。。，且方=d反，則邑024=

（）

A.OB,1011C.1012D,2024

3.函數(shù)/（x）="+x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為（）

A.j=2x+1B.y=x+1

C.y=ex+1D,j=(e+l)x+l

7T

4.已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將“CD沿對(duì)角線ZC向上翻折，使得二面角D-AC-B的夾角為一,

3

則點(diǎn)。到平面4BC的距離為

1

4BCD.-

444

5.正方體48CD—44GA中,8C與平面/CD1所成角的正弦值為（

A-TB-TC-T

22

6.已知片，鳥(niǎo)是橢圓。：5+2=1伍〉6〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在。上，若使△孫月為直角三角形的點(diǎn)M

ab

有8個(gè)，則。的離心率的范圍是（

7.德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題：已知點(diǎn)43是NMON的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，。是。攸邊上的T

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。在何處時(shí)，N/C8最大？結(jié)論是：當(dāng)且僅當(dāng)A48C的外接圓與邊（W相切于點(diǎn)。時(shí)，ZACB

最大.人們稱這一命題為米勒定理.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知加（1,0）,N（3,0）,點(diǎn)尸是直線/:x-y+1=0上

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.],,]）B.^y/2,y/2+ljC.（1,2）V^+l）

8.若函數(shù)/（x）=xhw-依2—%在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為（）

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.在棱長(zhǎng)為1的正四面體4BCD中，及尸分別為8CMD的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

口Z7Z7C

B.EF=——

2

（2.8。，平面2所

2

D.AE和CF夾角的正弦值為一

3

10.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為3,=/+2〃，數(shù)列-----的前〃項(xiàng)和為若對(duì)一切〃eN*都有

3加-1>7；恒成立，則整數(shù)加的可能值為（）

A.-lB.OC.lD.2

11.已知圓。：一+歹2—4x—2y—13=0,則下列命題正確的是（）

A.圓心坐標(biāo)為（2,1）

B.直線/：x+y-1=0與圓。相交所得的弦長(zhǎng)為8

C.圓C與圓。：/+丁=8有三條公切線.

D.圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線y=x+b的距離為后，貝!Jb=3或-5

12.大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原

理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，它是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.

已知大衍數(shù)列｛4｝滿足4=0,%+1=〈斗/田知，貝I（）

[%+〃；〃為偶數(shù)

A.a3=4

B.%024=1012x2024

C.此數(shù)列的前〃項(xiàng)和為=〃（〃一1）

D.數(shù)列｛（-1）"%｝的前60項(xiàng)和為930

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知等比數(shù)列｛%｝中，a2,a3是方程--6x+8=0的兩根，則%?%，%，%的值為.

14.設(shè)曲線。上的動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)廠（1,0）的距離和點(diǎn)P到定直線/:x=4的距離的比為g.傾斜角為60。的直線

\AF\

加經(jīng)過(guò)點(diǎn)E與曲線C交于43兩點(diǎn)（點(diǎn)/位于x軸上方），則局=

\BF\

15.已知函數(shù)/(x)=^-x2,g(x)=lnx-2x,若/'(*)=g(%),則R-xJ的最小值為.

16.在四棱錐尸―/BCD中，PAL^ABCD,底面/BCD為矩形，AB=1,AD=2,PA=2,點(diǎn)M在線

段PC上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M到Z3距離的最小值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.（本小題滿分10分）

己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",E,+1=2an.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）令b〃=log2a?,求數(shù)列也｝的前項(xiàng)〃和卻

18.（本小題滿分12分）

已知圓。經(jīng)過(guò)/(1,2),8(3,4)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x—歹+3=0上.

(1)求圓。的方程.

(2)尸(0,5)為圓C內(nèi)一點(diǎn)，弦W恰好被點(diǎn)尸平分，求直線W的方程，并判斷ACMN為鈍角三角形、直

角三角形還是銳角三角形？

19.(本小題滿分12分)

如圖，在正三棱柱48C—44a中，底面=6,24=6，。為ZC的中點(diǎn)，E為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)若E為靠近Z點(diǎn)線段441的三等分點(diǎn)，求證：平面ADG；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)E,使平面48E與平面的夾角等于30°?若存在，求出/￡的長(zhǎng)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=-(a+l)e*+ax+g.

(1)若q,0,求證：/(%)...-?；

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)國(guó),》2,且X]<l<X2，aeN*,當(dāng)a取最小值時(shí)，求/(x)的極小值.

21.(本小題滿分12分)

已知拋物線￡:r=2處(0<P<3),￡上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為V3,C到拋物線E的焦點(diǎn)的距離為2.

(1)求拋物線E的方程；

(2)直線/交拋物線E于43兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足左切?左03=-4,求ACMB面積的最小值.

22.(本小題滿分12分)

己知函數(shù)f(x)=+a(x-1),g(x)=2ax-2a,a&R,

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)與g(x)的圖象恰有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于M(l,0)對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

郴州市2023年下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

高二數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分細(xì)則

（命題人：安仁一中李海濤宜章一中吳斌汝城一中唐旭祺

審題人：郴州二中陳偉郴州三中張凱郴州市教科院汪昌華）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1-4ACAB5-8BCCD

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.BC10.CDll.ABD12.ABD

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

3L

13.6414.-15.1+ln316.72

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.（本小題滿分10分）

（1）當(dāng)"=1時(shí)，E+l=2%,得弓=1

當(dāng)“22時(shí)，由J+1=24得，S〃T+1=2%T

a

兩式相減得：an=2an-2aLi，?=2aLi

因此，數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，且4=2"T

（2）由（1）知“=log2%=〃-1

所以“22時(shí)，bn-bn_x=1

因此，數(shù)列｛〃｝是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

所以，T=〃（°+〃T）="（"T）

"22

18.（本小題滿分12分）

解析：（1）方法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X—02+0—6）2=/

因?yàn)閳A心C在直線X—歹+3=0上，所以a—6+3=0①

又43在圓。上，代入圓方程得：

（l-a）2+（23=/②，

（3—4+（4—bp?③，

由①②③解得：a=l,b=4,r=2

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—Ip+(y—4)2=4.

方法二：設(shè)線段N3的中點(diǎn)為。，則。(2,3).

4-2

直線AB的斜率為k=——=1

AB3-1

因此N2的垂直平分線方程為：j-3=(-l)(x-2),即x+y—5=0.①

又圓心C在直線x—>+3=0上，②

由①②解得：圓心C(l,4).

圓的半徑r=|ZC|=2

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—l)2+(y—4)2=4.

方法三：設(shè)圓。的一般方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0

圓心坐標(biāo)為萬(wàn)],代入x—_y+3=0得:D=E+6@

點(diǎn)48在圓。上：5+￡>+2E+E=0②，

25+3。+4￡+/=0③.

由①②③解得：D=-2,E=-8,F=13.

故圓。的一般方程為：X2+/+2X-8J+13=0

方法四：由已知可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+3)由|C41=阿『可得

(a+iy+(a-1)?=(a-3y+(a-Ip,解得a=]

所以圓心C(l,4).

圓的半徑r=|ZC|=2

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—Ip+0—4)2=4.

5-4

(2)由垂徑定理可知：CP1MN,kcp=——二—1,原河=1,

0—1

所以的直線方程為：y-5=x-Q,即x—y+5=0

圓心C到直線X—y+5=0距離=

J2

所以=2^MC\2-|PC|2=2A/2,

V|MC|2+|NC『=|ACV|2,:ACMN為直角三角形.

19.（本小題滿分12分）

（1）證明如圖，連接。G，因?yàn)閍s。—44G為正三棱柱，

所以A4BC為正三角形，

又因?yàn)?。為ZC的中點(diǎn)，所以8DLZC,

又平面48CL平面ZCG4,平面45Cc平面/CG4=/C,所以平面ZCG4,

所以BD上DE.

因?yàn)榈酌鍿〃=百’解得"=2'=百‘所以/￡=

所以在放A4DE中，ZADE=30°>

在RMOCC；中，ZC.DC=60°,

所以/￡￡>G=90°,即磯>_L￡>G，又BDcDC[=D,DQ,BDu平面BDC1,

所以ED，平面BQG，

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，設(shè)AE=h.

取4G的中點(diǎn)。，連接QQ,則。2,平面ZBC，所以加>i工/。,。〃_LB。，

分別以民。2所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

Z（l,0,0）,3（0,C,0）,E（l,0㈤，

所以麗=（0,G,0）,詼=（l,0,/z）,次=（一1,6,0）,左=（O,O,/z）,

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為4=（X],%,zJ,

則!心，！圓=°

[?!DE=0[Xj+/zZj=0

令馬=1,得耳=（一比0,1）,

同理，設(shè)平面48E的一個(gè)法向量為為2=（%，%/2），

則<-一，令％=1，

而2-4E=0[hz7=0

所以%=（6,1,0）.

所以|cos（耳，拓2）|=?=cos30°=—,

所以網(wǎng)=1胃+1,所以〃無(wú)解.

故不存在點(diǎn)E，使平面48E與平面BED的夾角等于30°,

20.（本小題滿分12分）

解析：（1）=e"—（a+1）e*+a=（e*—。）（6工—1）

因?yàn)閍,,0,所以e'“—a>0，

令/'（x）〉0,得/—1>0,解得x〉0.

所以/⑴在（0,+“）上單調(diào)遞增；

同理可得/（%）在（-與0）上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知％0時(shí)，/（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)a>0時(shí),/'（x）=（e“—a*'-1）=0有兩個(gè)根0,Ina,

所以％=0,/=lna>1,解得a>e,

又aeN*，故amm=3.

因此馬=ln3.

令/'（x）〉0,得x<0或x〉ln3.

令/'（x）<0,得0<x<ln3.

所以/（x）在（-8,0）和（ln3,+動(dòng)上單調(diào)遞增，在（0,ln3）上單調(diào)遞減；

/（ln3）=1e2h,3-4*3+31n3+；=31n3—7

所以當(dāng)x=ln3時(shí)，/（x）取得極小值31n3—7.

21.（本小題滿分12分）

解：（1）令C（6,y）,因?yàn)椤５綊佄锞€E的焦點(diǎn)的距離為2,

所以>=2—

代入f=2夕y得：3=2p[2—5],解得0=1,

故求拋物線E的方程為：x2=2y

（2）令直線/的方程為：y=Ax+”2（苞,巴）,8（西,內(nèi)）.聯(lián)立直線/與拋物線E的方程得：

x2-2kx-2b=0-故國(guó)+工2=2%,七％2=-26.

因?yàn)?尢2=—4,所以言1=—4,又％=[,%=]■，所以6=8?

得直線/的方程為：y=kx+S,X1x2=-16.

\AB\=，1+左2]（%]+丫2）"_4\必2=Jl+12&E+64，

|8|

原點(diǎn)。到直線I的距離d