1專題3函數(shù)的應(yīng)用考情解讀求方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題以及由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題是高考的熱點(diǎn)；備考時(shí)應(yīng)理解函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根和函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的等價(jià)性；掌握零點(diǎn)存在性定理．增強(qiáng)根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，提高綜合分析、解決問題的能力.重點(diǎn)知識(shí)梳理1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.注意以下兩點(diǎn)：①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn).(4)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法求方程的近似解.2．應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序 讀題建模求解反饋???與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.3．在求方程解的個(gè)數(shù)或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個(gè)等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)，2即把方程寫成f(x)＝g(x)的形式，這時(shí)方程根的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系.高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)判斷例1、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()【方法技巧】函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體題目靈活處理．當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時(shí)可畫出圖象判斷.(2)已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進(jìn)行求解.(3)對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).【變式探究】設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()高頻考點(diǎn)二、二次函數(shù)的零點(diǎn)例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是 .若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集為[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋x2＋1在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【方法技巧】解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.【變式探究】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.高頻考點(diǎn)三、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3、(2019·高考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()【舉一反三】【2016高考四川文科】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年【方法技巧】解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.(2)要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解.【變式探究】某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元B．11萬元C．43萬元D．43.025萬元【舉一反三】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年真題感悟1、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()42．【2019年高考浙江】已知a,beR，函數(shù)f(x)=〈x3-(a+1)x2+axy=f(x)-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn)，則()3.(2019·高考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼則太陽與天狼星的亮度的比值為()1.（2018年浙江卷）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是 .若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是.2.（2018年江蘇卷）若函數(shù)在。+內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在[-1,1]上的最大值與最小值的和為.3.（2018年全國卷Ⅱ)已知函數(shù).（1）若a=3，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).4.（2018年天津卷）設(shè)函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列.（I）若求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（II）若d=3，求的極值；（III）若曲線y=f(x)與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍1.【2017北京，文8】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）10935其中集2.【2017江蘇，14】設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上,f(x)=〈(|x2,其中集(n-1l,nn=N*〉，則方程f(x(n-1l,n3.【2017江蘇，11】已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是▲.1.【2016高考山東文數(shù)】若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x32.【2016高考山東文數(shù)】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x3-1；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f(-x)=—f(x)；當(dāng)x＞時(shí)，f(x+)=f(x—).則f(6)=()（A）-2（B）-1（C）0（D）23.【2016高考四川文科】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年20.【2016高考北京文數(shù)】函數(shù)f(x)=(x之2)的最大值為__________.21.【2016高考天津文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=〈x20(a>0且a豐1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.3_________22.【2016高考上海文科】已知a=R，函數(shù)f(x)=log2(+a).（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f(x)>1；（2）若關(guān)于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一個(gè)元素，求a的值；（3）設(shè)a>0，若對(duì)任意t=[,1]，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍.7專題3函數(shù)的應(yīng)用考情解讀求方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題以及由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題是高考的熱點(diǎn)；備考時(shí)應(yīng)理解函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根和函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的等價(jià)性；掌握零點(diǎn)存在性定理．增強(qiáng)根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，提高綜合分析、解決問題的能力.重點(diǎn)知識(shí)梳理1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.注意以下兩點(diǎn)：①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn).(4)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法求方程的近似解.2．應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序 讀題建模求解反饋???與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.3．在求方程解的個(gè)數(shù)或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個(gè)等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)＝g(x)的形式，這時(shí)方程根的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系.高頻考點(diǎn)突攻高頻考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)判斷例1、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()【答案】B【解析】由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0，得sinx=0或cosx=1，：xe[0,2π]，:x=0、π或2π.:f(x)在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3.故選B.【方法技巧】函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體題目靈活處理．當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時(shí)可畫出圖象判斷.(2)已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進(jìn)行求解.(3)對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).【變式探究】設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()【答案】B【解析】法一：∵f(1)＝ln1＋1－21<0，f(2)＝ln2>0，9∵函數(shù)f(x)＝lnx＋x∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).法二：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)x＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍，如圖所示，可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).高頻考點(diǎn)二、二次函數(shù)的零點(diǎn)例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是 .若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是.,所以2≤x<4或1<x<2，即1<x<4,所以2≤x<4或1<x<2，即1<x<4，不等式f(x)<0的解在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得12≤3.綜上，【解析】由題意得或f()=x-4>0，此時(shí)當(dāng)時(shí)，f(x)=x-4=0,x=4，由2的取值范圍為(1,3]U(4,+…)?！咀兪教骄俊恳阎瘮?shù)f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集為[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋x2＋1在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)椴坏仁絝(x)≤0的解集為[1,2]，所以a3，于是f(x)＝x2－3x＋2.由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2－3x＋2，解得x≤或x≥1，所以不等式f(x)≥1－x2的解集為1<－a＋5>0，-8<a<－4，2a＋11>0，a＋5>0，-8<a<－4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－52).【方法技巧】解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.【變式探究】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1+x2)＋1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴-2<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－2,1).高頻考點(diǎn)三、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3、(2019·高考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()【解析】根據(jù)題意，設(shè)太陽的星等與亮度分別為m1與E1，天狼星的星等與亮度分別為m2與E2，則由已知條件可知m126.7，m21.45，根據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，把m1與m2的值分別代入上式得1.45－(－26.7)＝lg，得lg＝10.1，所以＝1010.1，故選A.【答案】A【舉一反三】【2016高考四川文科】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年【答案】B【解析】設(shè)從2015年開始第n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得(1+12%)n-1≥200,n-1≥，兩邊取常用對(duì)數(shù)得投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【方法技巧】解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.(2)要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解.【變式探究】某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元B．11萬元C．43萬元D．43.025萬元【答案】C【解析】設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤 x－21212y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)0.1x2＋2.1x＋320.122＋0.1×4＋32.因?yàn)閤∈[0,16]且 x－21212x＝10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元.【舉一反三】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【解析】建立不等式求解．設(shè)2015年后的第n年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，兩邊取對(duì)數(shù)，得n>lgl21.3≈0.3.11∴n≥4，∴從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.【答案】B真題感悟1、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】函數(shù)f(x)=2sinx一sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()【答案】B:x=0、π或2π.:f(x)在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3.故選B.y=f(x)一axb恰有3個(gè)零點(diǎn)，則()【答案】C【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（xax﹣b＝x﹣ax﹣b1﹣a）x﹣b＝0，得x=，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b=x3__（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=x3__（a+1）x2﹣b，當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，y′≥0，y＝f（xax﹣b在[0，+∞)上單調(diào)遞增，則y＝f（xax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時(shí)，令y′＞0得x∈(a+1，+∞),此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（xax﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝f（xax﹣b在(﹣∞,0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0，+∞)上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：1-a-b＞0-b＞0解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-（a+1）3，則a>–1，b<0.故選C.3.(2019·高考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼則太陽與天狼星的亮度的比值為()【解析】根據(jù)題意，設(shè)太陽的星等與亮度分別為m1與E1，天狼星的星等與亮度分別為m2與E2，則由已知條件可知m126.7，m21.45，根據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，把m1與m2的值分別代入上式得1.45－(－26.7)＝lg，得lg＝10.1，所以＝1010.1，故選A.【答案】A1.（2018年浙江卷）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是 .若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是.【答案】(1).(1,4)(2).(1,3]U(4,+)【解析】由題意得或，所以2≤x<4或1<x<2，即1<x<4，不等式f(x)<0的解集是(1,4),當(dāng)時(shí)此時(shí)f(x)=x2-4x+3=0,x=1,3，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，f(x)=x-4=0,x=4，由f(x)=x2-4x+3在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得12≤3.綜上，的取值范圍為(1,3]U(4,+…)。2.（2018年江蘇卷）若函數(shù)在。+內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在[-1,1]上的最大值與最小值的和為.【答案】–3【解析】由得，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且f(0)=l，所以,因此從而函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增，在[0,1]上單調(diào)遞減，所以3.（2018年全國卷Ⅱ)已知函數(shù).（1）若a=3，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】見解析【解析】（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，f′（x）=.令f′（x）=0解得x=3-25或x=3+25.f′（x）>0；當(dāng)x∈（3-25，3+25）時(shí)，f′（x）<0.故f（x）在(?∞,3-253+25，+∞)單調(diào)遞增，在（3-25，3+25）單調(diào)遞減.（2）由于2+x+1>0，所以f(x)=0等價(jià)于.單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn).綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).4.（2018年天津卷）設(shè)函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列.（I）若求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（II）若d=3，求的極值；（III）若曲線y=f(x)與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍.【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)極大值為6；極小值為?6；(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，故=3x2?1，因此f(0)=0，fo)=?1，又因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y?f(0)=fo)(x?0)，故所求切線方程為x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x?t2+3)(x?t2)(x?t2?3)=(x?t2)3?9(x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?t23+9t2.故f(=3x2?6t2x+3t22?9．令=0，解得x=t2?,或x=t2+5.當(dāng)x變化時(shí)f(x)的變化如下表：x2?)t2?(t2?2+)t2+5(t2++0?0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=(?)3?9×(?)=6；函數(shù)f(x)的極小值為f(t2+)=()3?9×()=?6.(Ⅲ)曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程(x?t2+d)(x?t2)(x?t2?d)+(x?t2)+6=0有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，令u=x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0.設(shè)函數(shù)g(x)=x3+(1?d2)x+6，則曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=g(x)有三個(gè)零點(diǎn).g(x)=3x3+(1?d2).當(dāng)d2≤1時(shí)，g(x)≥0，這時(shí)g(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)d2>1時(shí)，g(x)=0，解得x1=，x2=.易得，g(x)在(?∞,x1)上單調(diào)遞增，在[x1，x2]上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增.g(x)的極大值g(x1)=g()=>0.g(x)的極小值g(x2)=g()=?.若g(x2)≥0，由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)y=g(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意.若g)<0即，也就是d>，此時(shí)d>，且,從而由g(x)的單調(diào)性，可知函數(shù)y=g(x)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意.所以，的取值范圍是.1.【2017北京，文8】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D2.【2017江蘇，14】設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上,f(x)=〈(|【答案】8在此范圍內(nèi)，xeQ且xeD時(shí)，設(shè)x=,p,qeN*,p>2，且p,q互質(zhì)，若lgxeQ，則由lgxe(0,1)，可設(shè)lgx=,m,neN*,m>2，且m,n互質(zhì)，m，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此lgx生Q，因此lgx不可能與每個(gè)周期內(nèi)xeD對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮lgx與每個(gè)周期x生D的部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外(1,0)其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期x生D的部分，3.【2017江蘇，11】已知函數(shù)f(x)=x3一2x+ex一,其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a一1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是▲.x=f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，22+2ex.ex之0，所以數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，1.【2016高考山東文數(shù)】若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()（A）y=sinx（B）y=lnx