第四章傅里葉變換和系統(tǒng)第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習(xí)：時(shí)域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)的疊加；而yzs(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz？？矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間：在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。這就是信號(hào)的正交分解。第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1.定義：定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：若n個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月3.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{

1(t),

2(t),…,

n(t)}之外，不存在任何函數(shù)φ(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月三、信號(hào)的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月為使上式最?。ㄏ禂?shù)Cj變化時(shí)），有展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0(??)，寫為即所以系數(shù)第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差C1=？？第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有即：函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾定理（公式），表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。當(dāng)n

時(shí)，第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T，角頻率Ω=2π/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為式中，A0=a0可見An是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。（？？）an=Ancos

n

，bn=–Ansin

n，n=1,2,…上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；A1cos(Ωt+

1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號(hào)相同；A2cos(2Ωt+

2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nΩt+

n)稱為n次諧波。第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月例4―1試將下圖所示的方波信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月解：傅里葉系數(shù),an,

bn為

=2f第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1、f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)bn=0，展開為余弦級(jí)數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)an=0，展開為正弦級(jí)數(shù)。第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確(??)，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?/p>

cosx=(ejx+e–jx)/2例4.2-2第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An(An是n的偶函數(shù))，

–n=–

n（

n是n的奇函數(shù)），則上式寫為第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月令令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。Fn

是頻率為nΩ的分量的系數(shù)，F(xiàn)0=A0/2問：如何求Fn？？第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月四