第2講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

--------木礎(chǔ)知/椎不I

□知識(shí)梳理

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

形如a+6i(a,6∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,6分別是它的畫實(shí)部和外虛部.若國(guó)QO,

則a+bi為實(shí)數(shù)，若畫8≠0,則a+bi為虛數(shù)，若ma=0,b≠0,則a+bi為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等

a+歷=c+diol≡a=c?且6=d(a,b,c,√∈R).

(3)共③復(fù)數(shù)

a+歷與c+di共軌=a=c且6=—d(a,b,c,√∈R).

(4)復(fù)數(shù)的模

—?

向量OZ=(a,A)的模Jr叫做復(fù)數(shù)z=a+6i(a,0∈R)的模，記作畫∣Zl或IiIla+6i|,即

IZl=Ia+biI=r=畫?/4+。2(r。0,r∈R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+6i<--------------復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,6)(a,6∈R)?

一一對(duì)應(yīng)一*,

(2)復(fù)數(shù)Z=a+從<--------->平面向量”(a,b∈R).

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)Zι=d+bi,Z2=c+di(a,b,c,√∈R),則

(1)加法：Zι+Z2=(a+Z>i)+(c÷<Λ)=畫(a+C)+(b+d)i；

(2)減法：Zi-Z2=(a+0i)—(c÷√i)=叵1(LC)+(b—d)i；

(3)乘法：Zl?Z2=(a+6i)?(c+di)=回(以—bd)+(/++/%)i；

、“人、工一出

∕zι?r?>?,÷._Z?____a_+_Z_?_i__a+∕icac+bdbe-ad..

⑷z除區(qū)：—i—1￠71六U/

Zz。十dic+dic-di丁+八c+d?C-Γ

知識(shí)拓展

1.(l±i)=±2i;—=i；γ-pγ=-i.

2.—?+^i=i(a+?i).

12344+1n+2n+3

3.i"=l,i"'=i,i=-l,i'=-i(∕7∈N*).

4.i"'+嚴(yán)'+i"'+2+i"M=05∈N*).

2

5.Z”,|Zi?Z2I=|ZiI?IZ2|,

ZlZi

,?z?=?z?".

Zl?z2?

6.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：若復(fù)數(shù)Z1,Z2對(duì)應(yīng)的向量OZ,，族不共線，則復(fù)數(shù)為+說是以的,

織為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線”所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

―?—>—?

7.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)久一及是必一四=%/所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

□雙基自測(cè)

1.（2021?北京高考）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z滿足（1—i）z=2,則z=（）

A.2+iB.2-i

C.1-iD.1+i

答案D

991+i21÷i

解析由題意可得，Z=L=丁J——-9—=l+i.故選D.

2.（2021?浙江高考）已知a∈R,（1+ai）i=3+i（i為虛數(shù)單位），則a=（）

A.-1B.1

C.-3D.3

答案C

解析解法一：因?yàn)椋╨+ai）i=—a+i=3+i,所以一a=3,解得a=-3.故選C.

解法二：因?yàn)椋╨+ai）i=3+i,所以l+ai=?1^~J?=l-3i,所以a=-3.故選C.

2

3.已知復(fù)數(shù)Z=--,則（）

一1r十τ1

A.Z的模為2B.Z的實(shí)部為1

C.Z的虛部為一1D.Z的共軌復(fù)數(shù)為1+i

答案C

22—1—?

解析根據(jù)題意可知，一r?r=-------7--------=—1—i,所以Z的實(shí)部為一1,虛部為一1,

—I-FlZ

模為√iZ的共軌復(fù)數(shù)為-1+i.故選C.

V

4.（2021?內(nèi)蒙古赤峰3月模擬）若干=2—yi（x,y∈R,i為虛數(shù)單位），則∣*+yi∣

=（）

Λ?√5B.5

C.2√5D.20

答案C

X

解析?.?γ^τγ=2-yi(x,y∈R,i為虛數(shù)單位)，??.x=(l+i)(2—yi)=2+y+(2—y)i,

x-2+y,2—y—O,解得x=4,y=2.則∣x+yi=[4+2i∣4.故選C.

5.(2021?三門峽模擬)已知復(fù)數(shù)Z滿足(l+√5i)z=l+i,則復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

汨_1+i_1+iIfi_

解析由(1+/i)z=1+i,得％=77^7=l+√3il-√3i=

l+√5+1-√5i=l+??βIf.

1+3―4+41.?.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

,在第四象限.故選D.

6.(2022?安徽毛坦廠中學(xué)月考)設(shè)復(fù)數(shù)Z的共朝復(fù)數(shù)是z,若復(fù)數(shù)z∣=3+4i,Zz=t

+i,且??Z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于—

答案4

解析Zi?Z2=(3+4i)(1一i)=(3l+4)+(4--3)i是實(shí)數(shù)，則43=0,，1=彳.

核心—向突破

考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

例1(1)(2020?全國(guó)HI卷)復(fù)數(shù)的虛部是()

答案D

解析因?yàn)棣?=-]二:3；+3；+3i_=t+Ki，所以復(fù)數(shù)γ?的虛部為號(hào).故選D.

(2)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=l+2i,則復(fù)數(shù)Z的模為()

A.1B,2√2

C.√3D.√5

答案D

解析依題意，Iz∣=√F轉(zhuǎn)=乖.故選D.

觸類旁通求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧

復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共輾復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部有關(guān)，所

以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a+歷（a,6∈R）的形

式，再根據(jù)題意列方程（組）求解.

即時(shí)訓(xùn)練1.(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,貝∣Jz=()

A.l-2iB.l+2i

C.1+iD.1-i

答案C

解析設(shè)z=a+bi（a,b∈R）,貝IJZ=a—bi,2（z+z）+3（z—z）=4d+6bi=4+6i,

所以a=l,?=1,所以z=l+i.

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=不，下列說法正確的是（）

A.Z的虛部為一i

B.Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.Z的實(shí)部為一1

D.Z的共輾復(fù)數(shù)為1+i

答案D

解析?.?z=?=l-i,.?.z的虛部為一1；Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,—1）,在第四象限;

Z的實(shí)部為1；Z的共輾復(fù)數(shù)為1+i.故選D.

考向二復(fù)數(shù)的幾何意義

2—i

例2（D（2021?新高考∏卷）復(fù)數(shù)E在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

9—19—i1-∣-3i5÷*1÷i

解析丁丁=-------正二一?-?-??,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

1—3110IUZ

該點(diǎn)在第一象限.故選?.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足∣z-i∣=l,Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(A-+l)2+y=lB.(?-l)2+y=l

C.Λ?2+(y-l)2=lD.x+(y+l)2=l

答案C

解析由已知條件，可得z=x+yi.丁Z—i∣=l,Λ∣?+yi-i∣=l,Λ∕+(y-1)"=

1.故選C.

觸類旁通J復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著

一個(gè)點(diǎn)（有序?qū)崝?shù)對(duì)）.復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而虛部則對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的縱坐標(biāo)，只要在

復(fù)平面內(nèi)找到這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值.

即時(shí)訓(xùn)練3.設(shè)復(fù)數(shù)Z=IgE-I）+1二嬴，則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）

A.一定不在第一、二象限

B.一定不在第二、三象限

C.一定不在第三、四象限

D.一定不在第二、三、四象限

答案C

/?—1>0,

解析V，欣一1,此時(shí)Ig（B-I）可正、可負(fù)，y∣l-∕∕i>y∣29故選C.

1—/zz≥0,

4.（2022?廣西南寧質(zhì)檢）設(shè)復(fù)數(shù)為，a在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z∣=2+i,

嘴=()

3.4

A.1+iB-5+?

,44

C.l+τiD.l+1-i

?O

答案B

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)Z”Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z∣=2+i,所以劭=2—i,

Zl2+i2+i234

所以?=g+尹故選B.

Zi2-i5

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

角度1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

例3⑴（2021?四川五校聯(lián)考）己知a∈R,若（l—ai）（3+2i）為純虛數(shù)，則a的值為

)

A.-∣3

B，2

22

C.D.

33

答案A

解析(1-ai)(3+2i)=(3+2a)+(2-3a)i,由于(1—ai)(3+2i)為純虛數(shù)，故

3+2a=0,3

解得a=--故選A.

2-35≠0,

2-

(2)已知復(fù)數(shù)2=_]+的，則z?Z=()

A.—1B.1

答案B

解析2=_],=_"由，z=-g+*i,Z?Z=1?故選B.

角度2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

9—i

例4(1)(2020?新高考I卷)4F=()

A.1B.-1

C.iD.-i

答案D

2-i2-il-2i~5i

解析l+2i=l+2il-2ii.故選D.

⑵設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足±=i,則Izl=()

A.1B.√2

C.√3D.2

答案A

?—1?-12

解析由題意，知1+Z=i—zi,所以Z=?i"?=i,所以IZl=1.

i十1i十1i—1

角度3復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算

94--i3—4i

例5(1)已知i為虛數(shù)單位，則-----?-----------=()

z—1

A.5B.5i

答案A

5M-2+i3-4i10-51

解析解法一：------T—：-----------=F——=5.故選A.

Z)—1Z—1

&…一2+i3-4i2+i23-4i

解法一：2→

2+i2-i

3+4i3-4i

=5.故選A.

5

(2)(2021?臨沂模擬)設(shè)Z=F+Wp

則Z的虛部是()

4

A.-1B.-τi

5

C.-2iD.-2

答案D

2—i9—i1—21

解析Z=i3+τv^=i2×i+??√——「一=一i—i=-2i.根據(jù)虛部的定義,

?-t-Zl1十Nl1—Zl

可知虛部為一2.故選D.

觸類旁通復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略

(D復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類

同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕

寫成最簡(jiǎn)形式.

「即時(shí)訓(xùn)練5.已知a∈R,i是虛數(shù)單位.若z=a+15i,z?z=4,貝!]a=()

A.1或一1B.巾或一巾

C.-√3D.√3

答案A

解析由題意，得(a+∕i)(a-/i)=4,即4+3=4,.?.a=±L故選A.

4.

6.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z滿足H=I-i,則z?z=()

ι+z

A.4B.5

C.6D.8

答案B

44~

解析由737^=1-i,得z=^;—r—l=l+2i,則z?Z=IZl?=5.故選B.

1十Z1—1

7.(2021?天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+崇2i"=.

答案4-i

紹柘區(qū)—.9+2i2-i20-5i

解析22±+i^-=^^=4—1?

2+i2-i

課時(shí)作業(yè)I

1.已知復(fù)數(shù)z=7?-（i是虛數(shù)單位），則Z的實(shí)部為（）

1—Zl

_33

A.B.

55

_1?

C.D.

55

答案B

33l+2i3,6

解析,--------=-----------------------------=—+—

l-2il-2il+2i55

3

.?.z的實(shí)部為m故選B.

5

2.若復(fù)數(shù)（1—di）?—2i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）

A.OB.±1

C.1D.-1

答案C

解析(l-?ai)2-2i=l-a-2ai-2i=l-a-(2a+2)i.V(l-ai)2-2i是純虛數(shù),

l-a2=0,

解得a=l,故選C.

2a+2≠0,

3.（2021?全國(guó)乙卷）設(shè)iz=4+3i,則Z=（）

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

答案C

解析由iz=4+3i兩邊同時(shí)乘i,得一z=4i-3,所以z=3—4i,故選C.

4.（2021?湖南郴州模擬）設(shè)z=l-i（i是虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)士+/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向

Z

量為OZ則向量應(yīng)的模是()

A.1B.√2

C.√3D.2

答案B

922l÷i

解析z=l-i(i是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)一+/2=1一+(1—i)2=————2i=l

z1-11—11+1

-A___________

-i.則向量應(yīng)的模為√I甲=TF=√Σ故選B.

5.(2021?新高考I卷)已知z=2—i,則z(z+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故選C.

6.(2022?長(zhǎng)春質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)?,質(zhì)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=2+i,則z1z2

等于()

A.-5B.5

C.-4+iD.-4-i

答案A

解析由題意得，Z2=-2+i,Z1Z2=(2+i)?(-2+i)=-5,故選A.

7.若復(fù)數(shù)Z滿足Z（―l+2i）=Il+3i∣2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的共舸復(fù)數(shù)Z為（）

A.-2-4iB.-2+4i

C.4+2iD.4-2i

答案B

∣l+3i∣210-l-2i

解析由z(-l+2i)=∣l+3i∣2,得7=----------------?:----------------------------------------------------------

'-l+2i-l+2i-l-2i

7——=-2-4i,則復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)Z為一2+4i.故選B.

5

8.(2021?全國(guó)甲卷)已知(l-i)2∕=3+2i,則z=()

33

A.-l--iB.-l+'i

313

c?^2+id-^2^i

答案B

解析由(1—i)~z=3+2i,得Z=I~~—=—τ~=-故選B.

9.己知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)Z滿足(l-i)z=2i,則下列關(guān)于復(fù)數(shù)Z的說法正確的是()

A.Z=-1—iB.Iz?=2

C.zz=2D.=2.

答案C

t

解析由條件知Z=呂~=2L2+'一=-1+"A錯(cuò)誤;3=啦，B錯(cuò)誤；zz=（一

1+1)(―1—i)=2,C正確；Z-(―1+i)2=—2i,D錯(cuò)誤.故選C.

10.已知復(fù)數(shù)z∣=2+6i,z2=-2i,若幻，0在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4B,線段

的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則∣z∣=()

Λ?√5B.5

C.2√5D.2√17

答案A

解析復(fù)數(shù)zι=2+6i,Z2=—2i,則z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為力(2,6),B(O,

-2),線段/18的中點(diǎn)C(l,2)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=l+2i,則IZl=Nr+T=/.故選A.

i—2i

11?已知陞R，i為虛數(shù)單位，句不〉。，則In=()

1

A.1B.

2

c?3D.-2

答案B

l-2il-2im+iZZZ+2+1—2mi,1-2i—rzR

解析由已知得'由—>0'可得

m-im—im+i方+1

R+2>0,則ZH=∣?故選B.

1—2%=0,

12.(2021?益陽、湘潭兩市聯(lián)考)已知命題?：若復(fù)數(shù)Z滿足(z—i)(T)=5,則z=6i,

命題0復(fù)數(shù)?j??的虛部為一白，則下列命題為真命題的是()

1十Nl?

?.(㈱夕)八(㈱扮B.?p)∕?q

C.p∕?(??q)D.p∕?q

答案C

5

解析由已知可得，復(fù)數(shù)Z滿足(ZT)(T)=5,所以Z==γ+i=6i,所以命題〃為

1+i1+il-2i3-i,其虛部為一(，故命題為假命題，命題

真命題；復(fù)數(shù)17

l+2il+2il-2i5?

㈱g為真命題.所以0為真命題，故選C.

1—12021

13.(2021?陜西渭南模擬)不丁

答案-i

i__?20211