2023-2024學(xué)年陜西省部分高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)（理）模擬試題

第倦

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

22

1.橢圓C:上+匕=1的長(zhǎng)軸為（）

43

A.lB.2C.3D.4

TT

2.在Z8C中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=3,b=4,4=—,則。=（）

3

A.V13B.2V3C.5D.6

3.已知p:Wx>0,》2+3x>0;q:e凡》2+1=0.則下列命題中，真命題是（）

ALP"B「P'qC.P人'D.PM

4.如圖，在四面體產(chǎn)力8c中，E是4cl的中點(diǎn)，BF=3FP，設(shè)P4=a,PB=b,PC=c，

則FE=（）

2x]x2x

cO；D.—Q——6+—C

343343

5.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)乘積為7；,若與=（,則%=（）

A.lB.2C.3D.4

6.已知雙曲線《一《=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為3x+4y=0,則該雙曲線的離

ab

心率是（）

455V5

A.-B.-C.-D.—

3342

7.已知空間三點(diǎn)力（2,1,—1）,8（1,0,2）,C（0,3,-1）,則C到直線48的距離為（）

A，V5B.2V2C.V6D.V19

8.已知數(shù)列｛/｝滿足a“=a“_1+d,"2,neN,則“a,“一。.=2d"是"一〃=2”的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

9.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四

棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，P4J.平面ABCD,底面ABCD是正方形，瓦/

分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段/尸上，4c與BD交于點(diǎn)、O,P4=4B=2,若OG〃

平面瓦C,則ZG=()

I2

10.設(shè)同<1,則——+——的最小值為()

1—ci1+a

A.V24—3B.-3--5/2C.1D.2

22

11.已知尸為拋物線C:，=一16y上一點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)，過尸作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為“,

若尸EH的周長(zhǎng)不小于30,則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)的取值范圍是()

A.(-<?,-5]B.(-a),-4]C.(-oo,-2]

12.如圖，平行六面體/8C。-的體積為

4872,ZA.AB=ZA.AD,AA,=6,4B=4D=4,且/。/臺(tái)=名","/分別為

A.MN〃APB.MP〃平面BDN

C.DNA.A]CD.P到平面MVC的距離為生畫

19

第I倦

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

13.已知雙曲線C:——/=15>0）的焦距為10,則。=.

a

X+y—10,

14.若x/滿足約束條件2x-y0,則2二y一1的最小值為.

X1,

15.如圖，在直三棱柱/8C—4用G中，BB1=2,E,F分別為棱4B,4cl的中點(diǎn),則

EF?BBi=.

16.已知橢圓C：、+/=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳,寫,尸為橢圓。上的一點(diǎn)，若

cos/￡/^=-；,貝尸耳卜|巴磯=.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知拋物線C：歹2=-2川（P〉0）,4（-6,%）是拋物線。上的點(diǎn)，且[4目=10.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知直線/交拋物線C于",N兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為（-4,2）,求直線/的方程.

18.（12分）

已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,且S,,=〃（?。?

（1）求｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

19.(12分)

如圖，在長(zhǎng)方體/BCD—44G2中，48=40=6,44]=8.

(1)求異面直線NG與48所成角的余弦值；

(2)求直線/C與平面46。所成角的正弦值.

20.(12分)

ABC的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知g=sinC-sin(/-8).

(1)求〃；

(2)設(shè)。=2,當(dāng)b+J5c的值最大時(shí)，求Z3C的面積.

21.（12分）

如圖，在四棱錐尸-48c。中，Z8CQ是邊長(zhǎng)為2的菱形，且

/DAB=602PA=PD=M,PB=372,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明：平面尸平面。EF.

(2)求二面角Z—P3—C的大小.

22.（12分）

已知雙曲線。：馬一捺=1（4>0/>0）的右焦點(diǎn)為（近,0）,漸近線方程為y=±3x.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)。為雙曲線C的右頂點(diǎn)，直線/與雙曲線C交于不同于。的瓦E兩點(diǎn)，若以EF為

直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)0,且。GJ?跖于點(diǎn)G,證明：存在定點(diǎn)〃，使|G〃|為定值.

答案和解析

1.D橢圓C：工+匕=1的長(zhǎng)軸為4.

43

2.A由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosZ=13，所以a=JB.

3.C由題意可得P為真命題，4為假命題.故。入為真命題.

4.B因?yàn)镋是ZC的中點(diǎn)，BF=3FP，所以

FE=FP+PE=一一PB+-(PA+PC}=-a一一b+-c.

42、-42

5.A因?yàn)?=4，所以%為。5=1.因?yàn)?%=4：，所以4=1.

6.C因?yàn)?-3=1(。>0,b>0)的漸近線方程為bx+ay=0,所以

7.B

1,—1,3),C8=(1,—3,3),|J^=M,COS/Z8C=「=坦

'''，廠?網(wǎng)聞VHXV19V19

smZABC=率,C到直線AB的距離為Hd'sin/NBC=2JI.

V1911

8.C因?yàn)閍,”-%=(〃?-〃”=2d,所以〃?一〃=2或d=0,故"%-%=2d”是

“/〃-〃=2”的必要不充分條件.

9.C以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x/，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

(圖略)，則。(1,1,0),C(2,2,0),E(0,1,1)1(1,0,1),EF=),EC=(2,1-1).

.',、[x-y=0,?.7.

設(shè)平面的法向量為心=(“,z),則(-令x=l,得〃2=(1,1,3).

設(shè)G(0,0,a),則。d=(—1,—l,a).因?yàn)?G〃平面瓦C,所以odi〃；，則od：〃；：0,

22

即—1x1—lxl+3a=0,解得。=—,故4G=—.

33

.1+a2(1-a)

10.A1?2J(1?2](j+")=I，1+。&+|，當(dāng)且僅

1—d1+42\1—Cl1+(7J

當(dāng)匕￡二2(1—4),即a=3—2j5時(shí)，等號(hào)成立.

\-a1+。

1LA如圖，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（他,〃），準(zhǔn)線y=4與丁軸的交點(diǎn)為/,則

\PF\=\PH\=4-n,\FH\=J\AF|2^\AH|2=四+/=〃4-16〃=4"二，所以

PE"的周長(zhǎng)為4"二+2(4-〃).設(shè)函數(shù)/(〃)=4，匚1+2(4-〃乂〃0),則/(〃)

為減函數(shù)，因?yàn)?(一5)=30,所以/(〃)30的解為〃一5.

n

12.D因?yàn)?6=/。=4,且/￡%8=—,所以四邊形N8CZ）的面積為

3

4x4xsin-=8V3.

3

因?yàn)槠叫辛骟w-4gGQ的體積為48近，所以平行六面體/8CO-4氏C;2的

高為"唱=276.因?yàn)?/Z/0,所以《在底面的投影在AC上.設(shè)4在底面的

8V3

投影為O,則A,O=2指，因?yàn)?4=6，所以。/=-4。2=?2—（2府=26.

因?yàn)镹C=4JJ=2。/，所以。為4c的中點(diǎn).以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0403,04的方向分別

為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

^（2A/3,0,0）,C（-2^3,0,0）,5（0,2,0）,Z）（0,-2,0）,M（^1,0）,

__????.、_

4（0,0,2咐,N卜36,0,&）,P（-36,—1,2&）.MN=（T/一1,6）/尸=（―58-1

???,、??▼、--，.、

2&）,A]C=（~2也,0,~2MP=N0,-2,2&\DN=卜3樞,2,芯、MC=卜3a-1,0）

（0,4,0）,57V=（-3^,-2,^6）.

因?yàn)榘V方，所以“N與/尸不平行，故N錯(cuò)誤.

設(shè)平面3DN的法向量為加=（占,%,zj,

則[.k-3伍-2乂+扁=0,

DB?m=4y}=0,

令斗=夜，則”7=（后,0,3）.因?yàn)榧邮?加=—4jixJI+0+2#x3=2##0,所以

兒。與平面8DN不平行，故8錯(cuò)誤.

，-V、，,_

因?yàn)?N-4c=(―3Vi)x(―28)+0+顯卜2〃)=6H0,

所以加與4d不垂直，故。錯(cuò)誤.

設(shè)平面"NC的法向量為〃=(馬,％/2),

則辰腺-嚕f+濕2=上令得工回3行1）.

n-MC=-3y/3x2-y2=0,一''

A

—4^/3xV2+（-2）x3,\/6j+

生酸，所以P到平面MVC的距離

因?yàn)?/p>

V5719

為生晝，故D正確.

13.276a2+l=25.解得a=2指或。=一2?（舍去）.

14.—1作出可行域(圖暗)，當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，z=y—x取最小值，最小值

為-1.

▼▼八▼▼八▼▼八▼▼「▼▼八

15.4取的中點(diǎn)G,連接FG,EG.EFBB]^(EG+GFj-EG=EG^4.

16.3因?yàn)?/p>

COS/FPF-MlMzlW.（歸用+歸用）2一2|3|?颶|一12_2_J_

'2附|歸周2附|?匹|阿|?陀|3

，所以|PEH咋1=3.

17.解：（1）因?yàn)閨/同=6+々=10,

所以P=8,

故拋物線C的方程為V=—16X.

（2）易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為左,加（七,,）,"（々,8），

y：=-16x15

則〈

y\=-16X2,

、Vi-816

兩式相減得乂一貨=一16（玉一X2）,整理得=--------

X\-x2凹+為

因?yàn)镸N的中點(diǎn)為（T,2）,所以左=之三及=一手=一4,

X]X?I

所以直線/的方程為y—2=-4（x+4）,即4x+y+14=0.

[x8

18.解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，%=￡=--=4.

112

當(dāng)〃2時(shí)，叫=吟上9，

所以丁-*^=〃+3,

因?yàn)椤?1也滿足，所以通項(xiàng)公式為4=”+3.

1111

（2）因?yàn)榕?/p>

anan+l(〃+3)("+4)n+3〃+4'

1111n

所以11-1+1_1++

4556〃+3及+44〃+44〃+16

19.解：以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，/氏4。,所在直線分別為x軸，V軸，z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，則

8（6,0,0）,D（0,6,0）,C（6,6,0），4（0,0,8），C（6,6,8）,4CI=￡6,8）ZC=0,6,O）BD=（-6,6,0）

,48=（6,0,—8）.

設(shè)平面46。的法向量為〃=(x,y,z),

■、??7、

攵畋一6x+6y=。,令2=3,得二（a。）

則

n-AXB=6x-8z=0,

(l)設(shè)異面直線NG與48所成的角為a，

則cosa小網(wǎng)陽(yáng),/⑻卜稱fL而為=甯

即異面直線NG；與AyB所成角的余弦值為Z叵.

170

(2)設(shè)直線ZC與平面48。所成的角為夕,

則加…(瑞

4域4_484屈

Acin6yf2xy[4l~41

即直線/c與平面43。所成角的正弦值為拽2.

41

20.解：(1)由三角形的性質(zhì)和正弦定理可知

—=[.叔=sinC-sin（/-3）=sin（4+6）-sin（/-6）=2cosAsinS,

其中sinffwO,所以2sirt4cos=sin24=1,

因?yàn)閆￡（0"）,所以2/￡（0,2）），故2力=1,4=7.

（2）由正弦定理有b+42c=2"2叵=2s吟2A/^￡C=26stnB+4sinC，

asinJ

且

2V2sin5+4sinC=2V2sin5+4sin3乃R=2V2(2sin5+cos5)=2V10sin(5+^?),

4

其中tan。

2

所以當(dāng)sin（6+0）=l時(shí)，b+有最大值，此時(shí)sin5=cos°=2^,cos8=，

所以sinC=sin(4+8)=sin^—+5sin5+cosB)=-------，

2、710

由正弦定理有二="_,故b=±叵，

SIIL4sin55

所以c1A-104廂3V1012

助以3仃「=—a/?sinC=-x2x------x-------=一?

ABC225105

21.(1)證明：取ZD的中點(diǎn)G,連接PG,BG,BD.

因?yàn)镻Z=P￡>,所以尸G_L4D.

在中，AB=AD=2,NDAB=60",

所以ABD為等邊三角形,

所以8G_L4。.因?yàn)锽GcPG=G,所以ZD_L平面08G.

因?yàn)橥逧分別是BC,尸。的中點(diǎn)，

所以PB〃EF,DE〃GB,

所以平面尸8G〃平面。EE,所以ZO_L平面0EE.

因?yàn)閆Du平面尸40,所以平面平面。E/L

（2）解：由（1）知工。，平面尸86.因?yàn)槭?=尸。=加,尸8=3立，所以可求得四棱

錐。一488的高為太

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G7：G￡的方向分別為x，N軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

尸（0,-魚佝,4（1,0,0）,5（0,A0）,C（-2,^,0）.

p,

AP=(-1,-5研BP=(0,-26,=(-2,0,0).

記平面P48的法向量為〃=(w，必,zj,

則＜攵^^-Xj-yf^y、+y/Sz^—0,

n-BP--2^3j^|+、=0,

令必=加,得"=（茄，/,2）.

記平面P8C的法向量為加=（%2，%/2）＞

則,，敷——2x:0，令y,=VL得加二（0,四,2）.

m-BP=-232+-=0，

因?yàn)閏os（〃,機(jī)＞=曲步=2微a=-y，且二面角Z—尸3—C為鈍角,

3

所以二面角Z—P3—C為一萬(wàn).