2024屆高三二輪復習第14講：計數(shù)原理解析版2023年考情考題示例考點關聯(lián)考點2023年新I卷，第13題排列組合無2023年新Ⅱ卷，第3題,組合無2023年天津卷，第11題二項式定理求項系數(shù)無2023年北京卷，第5題二項式定理求項系數(shù)無2023年北京卷，第8題充分、必要條件判斷無2023年乙卷理科，第7題排列無題型一：排列、組合【典例例題】例1.（2023春·廣東省東莞實驗中學一模）某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為

A．15 B．30 C．35 D．42【答案】B【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，由于甲有兩個人參加會議需要分兩類，含有甲的選法有C21C52種；不含有甲的選法有C53種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果．【詳解】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，由于甲有兩個人參加會議需要分兩類：含有甲的選法有C21C52種，不含有甲的選法有C53種，共有C21C52+C53=30（種），故選B．【變式訓練】1.（2023春·廣東省一模）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有（）A.96種 B.64種 C.32種 D.16種【答案】B【解析】【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計數(shù)原理即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意，分3步進行，第一步，要求“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1，4或2，3中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有種排法；第三步，排數(shù)字5和6，共有種排法；由分步計數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為.故選：B.2.（2023春·廣東省廣州市一模）“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（）A.100個 B.125個 C.225個 D.250個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：最多1個0，取奇數(shù)字有種，取能重復的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)是個，最少2個0，取奇數(shù)字有種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)是個，由分類加法計算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個.故選：C3.（2023春·廣東省汕頭市一模）現(xiàn)將六個字母排成一排，要求相鄰，且不相鄰，則不同的排列方式有（）種．A.192 B.240 C.120 D.28【答案】A【解析】【分析】先求出相鄰時排列種數(shù)，再求出相鄰，且在中間時排列種數(shù)，兩種情況相減即可.【詳解】當相鄰時，不同的排列方式有種，當相鄰，且在中間時，不同的排列方式有種，則要求相鄰，且不相鄰，則不同的排列方式有種.

故選：A.4.（2023秋·廣東省惠州市模擬）加強學生心理健康工作已經(jīng)上升為國家戰(zhàn)略，為響應國家號召，W區(qū)心理協(xié)會派遣具有社會心理工作資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生.若要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助兩名學生，則不同的安排方法共有（）種A.90 B.125 C.180 D.243【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知對五位同學分3組，然后全排列即可求解.【詳解】根據(jù)題意，具有社會心理工作資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生，要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助兩名學生，則把五位同學分3組，且三組人數(shù)為2、2、1，然后分配給3位專家，所以不同的安排方法共有種.故選：A．題型二：二項式定理【典例例題】例1.（2023春·廣東省東莞實驗中學一模）二項式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的的系數(shù)是_________．（填數(shù)字）【答案】【分析】先根據(jù)展開式的二項式系數(shù)之和為64求出的值，再利用二項式展開式的通項公式求解即可.【詳解】因為二項式的二項式系數(shù)之和為64，所以，，所以展開式的通項為，令，則，所以展開式中的的系數(shù)是.故答案為：.【變式訓練】1.（2023春·廣東省佛山市一模）（多選）若，其中為實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，把寫成，再利用二項式定理結合賦值法，逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，令，對于A，，A錯誤；對于B，是按展開的第4項系數(shù)，因此，B正確；對于C，，，所以，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC2.（2023春·廣東省惠州市一模）已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，現(xiàn)從展開式中任取2項，則取到的項都是有理項的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到展開式的總項數(shù)為7項，，然后利用展開式的通項公式得到有理項項數(shù)，再利用古典概型的概率求解.【詳解】解：因為二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以展開式的總項數(shù)為7項，故，展開式的通項，當是偶數(shù)時該項為有理項，有4項，所以所有項中任取2項，都是有理項的概率為．故選：A．3.（2023春·廣東省梅州市一模）展開式中的系數(shù)為___________.【答案】40【解析】【分析】易知展開式中項的系數(shù)是由兩部分組成，分別求出再相加即可得出結果.【詳解】根據(jù)題意可知，展開式中含的項為和兩部分；所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：404.（2023春·廣東省汕頭市一模）在的展開式中，的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】原多項式中寫出含的項，然后再從中寫出含的項，即可得含的系數(shù).【詳解】由含的項中對應的指數(shù)分別為，所以，對于中含的項為，所以含的系數(shù)是.故答案為：.5.（2023春·廣東省深圳市一模）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字做答）．【答案】－10【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】解：的展開式的通項公式為，令，則的展開式中的系數(shù)為，故答案為：106.（2023春·廣東省二模）已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質可得出，結合此性質可求得的值.【詳解】的展開式通項為，所以，，所以，，所以，，且，所以，.故選：A.1.（新課標全國Ⅰ卷）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．【答案】64【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.2.（新課標全國Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結果共有種.故選：D.3.（全國乙卷數(shù)學(理)）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.4.（全國甲卷數(shù)學（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（

）A．120 B．60 C．40 D．30【答案】B【詳解】不妨記五名志愿者為，假設連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務的選擇種數(shù)有種.故選：B.5.（新高考天津卷）在的展開式中，項的系數(shù)為_________．【答案】【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.1.（2023春·廣東省汕頭市二模）電腦調色板有紅、綠、藍三種基本顏色，每種顏色的色號均為.在電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為（）A. B.27 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理易得答案.【詳解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共可配成種顏色.故選：A.2.（2023秋·廣東省佛山市模擬）世界三大數(shù)學猜想：“費馬猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”.280多年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的結果是“1＋2”陳氏定理，由我國數(shù)學家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質數(shù)之和.在不超過20的質數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的選法種數(shù)為（）A.28 B.25 C.21 D.12【答案】C【解析】【分析】利用組合數(shù)的定義求解即可.【詳解】不超過20的質數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19一共8個數(shù)，隨機選取兩個不同的數(shù)，當選取的數(shù)沒有2時，其和為偶數(shù).故選法有種.故選：C3.（2023春·廣東省佛山市二模）“基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學術大師．已知浙江大學、復旦大學、武漢大學、中山大學均有開設數(shù)學學科拔尖學生培養(yǎng)基地，某班級有5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，則每所學校至少有一位同學選擇的不同方法數(shù)共有（）A.120種 B.180種 C.240種 D.300種【答案】C【解析】【分析】按照分組分配的方法，列式求解.【詳解】將5位同學分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學校，共有種方法.故選：C4.（2023秋·廣東省汕頭市模擬）若展開式中二項式系數(shù)和為A，所有項系數(shù)和為B，一次項系數(shù)為C，則（）A.4095 B.4097 C.4095 D.4097【答案】C【解析】【分析】求得二項展開式的通項，結合通求得一次項的系數(shù)，再由二項展開式的二項式系數(shù)和的性質，求得二項式系數(shù)的和，以及，求得所有項的系數(shù)和，即可求解.【詳解】由展開式的通項公式為，所以一次項系數(shù)，二項式系數(shù)和，令，則所有項的系數(shù)和，所以.故選：C.5.（2023秋·廣東省河源市模擬）2023年9月8日，杭州第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在西湖涌金公園廣場舉行．秉持杭州亞運會“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運會火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度．在杭州某路段傳遞活動由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（）A.18 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】分第一棒為丙、第一棒為甲或乙兩種情況討論，分別計算可得.【詳解】當?shù)谝话魹楸麜r，排列方案有種；當?shù)谝话魹榧谆蛞視r，排列方案有種；故不同的傳遞方案有種.故選：B6.（2023秋·廣東省中山市模擬）若，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二項式定理，求指定項的系數(shù)，各項系數(shù)和，奇次項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和.【詳解】由，對于A中，令，可得，所以A錯誤；對于B中，，由二項展開式的通項得，所以B錯誤；對于C中，與的系數(shù)之和相等，令即，所以C正確；對于D中，令，則，令，則，解得，，可得，所以D錯誤.故選：C.7.（2023春·廣東省高州市二模）的展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，則含項的系數(shù)為（）A. B.28 C. D.35【答案】C【解析】【分析】設，然后代入，，可整理得奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和，求得，即可求得答案【詳解】設,則令,可得①，令,可得②，①②可整理得,解得,所以,所以含的項為,其系數(shù)為,故選：.8.（2024春·廣東省大灣區(qū)聯(lián)考）在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為（）A.84 B.85 C.127 D.128【答案】D【解析】【分析】由題意得，結合展開式的通項公式即可求解.【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，當時，為有理項，所以所有有理項的系數(shù)之和為.故選：D.9.（2023秋·廣東省佛山市南海區(qū)模擬）（多選）若二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為256，則（）A. B.C.第5項為 D.第5項為【答案】AC【解析】【分析】先利用二項式系數(shù)之和是，求出，再利用二項式的展開式的通項公式，求解即可.【詳解】因為二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為256，所以，所以，排除選項B；因為二項式的展開式的通項公式為，所以，排除選項D；故選：AC.10.（2023秋·廣東省潮陽市模擬）（多選）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，則以下說法錯誤的是（）A.若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為D.每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是【答案】ABC【解析】【分析】①不同方法數(shù)為，即選項A錯誤；②不同的方法數(shù)為，即選項B錯誤；③不同方法數(shù)為，即選項C錯誤，④不同安排方案的種數(shù)是，即選項D正確，【詳解】解：①每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為，即選項A錯誤；②每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項B錯誤；③如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為，即選項C錯誤，④每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是，即選項D正確，綜合①②③④得：選項正確，故選：ABC11.（2023秋·廣東省中山市模擬）（多選）對于二項式（為常數(shù)且），以下正確的是（）A.展開式有常數(shù)項B.展開式第六項的二項式系數(shù)最大C.若，則展開式的二項式系數(shù)和為D.在上恒成立，則【答案】AB【解析】【分析】結合二項展開式的通項，可判定A正確；結合二項式系數(shù)的性質，可判定B正確；根據(jù)二項式系數(shù)和的性質，可得判定C不正確；根據(jù)題意，得到，轉化為或在上恒成立，可判定D不正確.【詳解】對于A中，由二項式的展開式的通項為，令，可得，此時展開式的第6項為常數(shù)項，所以A正確；對于B中，由二項式的展開式，結合二項式系數(shù)的性質，可得展開式的第6項的二項式系數(shù)最大，所以B正確；對于C中，當時，展開式的二項式系數(shù)和是，所以C錯誤；對于D中，由在上恒成立，可得或在上恒成立，即或在上恒成立，又由在上單調遞減，所以，函數(shù)在上單調遞減，所以，所以或，所以D錯誤.故選：AB.12.（2023秋·廣東省東莞市模擬）從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出.【詳解】［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為：.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為：.13.（2023秋·廣東省廣州市模擬）現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案有________種.（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，假設正五角星的區(qū)域依此為、、、、、，分析6個區(qū)域的涂色方案數(shù)，再根據(jù)分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】根據(jù)題意，假設正五角星的區(qū)域依此為、、、、、，如圖所示：要將每個區(qū)域都涂色才做完這件事，由分步計數(shù)原理，先對區(qū)域涂色有3種方法，、、、、這5個區(qū)域都與相鄰，每個區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方案故答案為：14.（2023春·廣東省廣州市二模）已知，的展開式中存在常數(shù)項，寫出n的一個值為____________.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】在二項展開式的通項公式中,令的冪指數(shù)等于0,求出與的關系,可得的值.【詳解】二項式的展開式的通項為，因為二項式的展開式中存在常數(shù)項，所以有解，即，可得n的一個值為3.故答案為：3（答案不唯一）15.（2023春·廣東省潮州市二模）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字表示）.【答案】210【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】的通項為,令，所以展開式中的系數(shù)為,故答案為：21016.（2023秋·廣東省深圳市模擬）二項式的展開式的中間項為________【答案】252【解析】【分析】利用二項式的展開式，求出中間項即可求解.【詳解】設展開式為，總共項，中間項為第項，此時，所以.故答案為：.17.（2023春·廣東省揭陽市二模）若展開式二項式系數(shù)和為64，則展開式中系數(shù)為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和求得，根據(jù)二項式展開式的通項公式求得的系數(shù).【詳解】依題意的展開式的二項式系數(shù)和為，所以，即.二項式展開式的通項公式為.令，所以展開式中含的系數(shù)為.故答案為：18.（2024春·廣東省韶關市模擬）現(xiàn)有，，，，五人排成一列，其中與相鄰，不排在兩邊，則共有______種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.【答案】24【解析】【分析】法一：先將捆綁，再排除以外其他人，最后插空即可；法二：先將捆綁，進行全排列，再減去在兩邊的情況.【詳解】法一：將捆綁，則除以外其他四人的排序有種，又不排在兩邊，所以可選的位置有兩種，所以共種排法；法二：將捆綁，若的位置任意，則五人的排序有種，其中排在兩邊的情況有種，所以不排在兩邊的情況有種；故答案為：.19.（2024春·廣東省汕頭市模擬）高中數(shù)學教材含必修類課本2冊，選擇性必修類課本3冊，現(xiàn)從中選擇3冊，要求兩類課本中各至少選一冊，則不同的選法共有__________種.（用數(shù)字作答）【答案】9【解析】【分析】根據(jù)選取的必修類課本數(shù)量分類即可.【詳解】第一類，只選取一冊必修類課本的選法有種；第二類，兩冊必修類課本都選的選法有種.綜上，滿足條件的選法共有種.故答案為：920.（2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)二模）的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為，所以的系數(shù)為，故答案為：21.（2023春·廣東省深圳市二模）展開式中的系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】變換，根據(jù)二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，，取和，計算得到系數(shù)為：.故答案為：.22.（2023秋·廣東省中山市模擬）第19屆杭州亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運河.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）【答案】336【解析】【分析】考慮到前排是有兩種不同名稱的吉祥物，還是有三種不同名稱的吉祥物，分類求出排法數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可得答案.【詳解】由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，其中一種取兩個，另一種選一個，有種排法；其次，后排有種排法，故共有種不同的排法；②前排含有三種不同名稱的吉祥物，有種排法；后排有種排法，此時共有種排法；因此，共有種排法，故答案為：33623.（2023春·廣東省汕頭市二模）已知，則______.【答案】2【解析】【分析】利用賦值法計算即可.【詳解】由，令，則，令，則，∴.故