云南省昆明市馬龍第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為F（，0），直線y=x﹣1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣，則此雙曲線的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：D【考點(diǎn)】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】先設(shè)出雙曲線的方程，然后與直線方程聯(lián)立方程組，經(jīng)消元得二元一次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理及MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得a、b的一個方程，又雙曲線中有c2=a2+b2，則另得a、b的一個方程，最后解a、b的方程組即得雙曲線方程．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為﹣=1．將y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韋達(dá)定理得x1+x2=，則==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以雙曲線的方程是．故選D．2.設(shè)在平面上，，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為

（

）

A．

B．

C．

D．.

參考答案：解析：在xOy平面上的圖形關(guān)于x軸與y軸均對稱，由此的圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以4即得。為此，只要考慮在第一象限的面積就可以了。由題意可得，的圖形在第一象限的面積為A＝。因此的圖形面積為.

所以選（B）3.復(fù)數(shù)

A.

B.

C.

D.

參考答案：C4.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：因?yàn)椤叭簦瑒t”是真命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”成立的充分不必要條件．選A．5.在△ABC中,

,,,則=（

）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．

B．或

C．或

D．參考答案：B6.若函數(shù)（，且）的圖像恒過點(diǎn)，則點(diǎn)為(

)A、

B、

C、

D、參考答案：D略7.定義運(yùn)算，則的值是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.函數(shù)f（x）=x2﹣lnx的遞減區(qū)間為（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【解答】解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，故選：B．9.如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC。其中正確的命題是(

)A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

參考答案：D10.在數(shù)列中，，則的值為A．49 B．50 C．51 D．52參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域?yàn)開________；值域?yàn)開______．參考答案：(1,+∞)

(0,+∞).【分析】根據(jù)根式及分式的要求即可求得定義域；由函數(shù)解析式即可求得值域。【詳解】函數(shù)所以定義域?yàn)?，即所以定義域?yàn)橐驗(yàn)樗裕粗涤驗(yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查了二次根式及分式的定義域和值域問題，屬于基礎(chǔ)題。12.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線2x+y﹣2=0上的拋物線方程是．參考答案：y2=4x或x2=8y【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】求出已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A和B，在焦點(diǎn)分別為A和B的情況下設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，對照拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的公式求待定系數(shù)，即可得到相應(yīng)拋物線的方程．【解答】解：直線2x+y﹣2=0交x軸于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）；①當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在A點(diǎn)時，設(shè)方程為y2=2px，可得2p=4，∴拋物線方程為y2=4x；②當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在B點(diǎn)時，設(shè)方程為x2=2py，可得2p=8，∴拋物線方程為x2=8y綜上所述，拋物線方程為y2=4x或x2=8y．故答案為：y2=4x或x2=8y．13.二維空間中圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2；三維空間中球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=πr3；四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3，則猜想其四維測度W=．參考答案：2πr4【考點(diǎn)】類比推理．【分析】根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測度的導(dǎo)數(shù)是底一維的測度，從而得到W′=V，從而求出所求．【解答】解：∵二維空間中圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′=l三維空間中球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′=S∴四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3，猜想其四維測度W，則W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案為：2πr414.某高校進(jìn)行自主招生面試時的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對給10分，打錯倒扣5分（每道題都必須回答，但相互不影響），設(shè)某學(xué)生對每道題答對的概率都為，則該學(xué)生在面試時得分的期望為

.參考答案：15.以下4個命題其中正確的命題是

(1)如果一個幾何體的三視圖是完全相同的，則這個幾何體是正方體；(2)如果一個幾何體的主視圖和俯視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體；(3)如果一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體；(4)如果一個幾何體的主視圖和左視圖都是等腰梯形，則這個幾何體是圓臺。參考答案：（3）16.已知A、B兩地的距離是10km，B、C兩地的距離是20km，現(xiàn)測得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離是km．參考答案：10【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】由題意，A，B，C組成三角形，利用余弦定理列出關(guān)系式，把AB，BC，以及cos∠ABC代入求出AC的長即可．【解答】解：∵AB=10km，BC=20km，∠ABC=120°，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcos∠ABC=100+400+200=700，則AC=10；故答案為：1017.在數(shù)列中，，，其中為常數(shù)，則的積等于

．參考答案：－1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知A1A=AB，D為C1C的中點(diǎn)，O為A1B與AB1的交點(diǎn)．求證：DO⊥平面A1ABB1；求A1B1與平面A1BD所成角的大小。參考答案：解：(1)設(shè)A1A=AB=2，則∴A1D=BD又O是A1B的中點(diǎn)

∴DO⊥A1B同理可證：DO⊥AB1∵A1BAB1=O∴DO⊥平面A1ABB1··················································································6分(2)∵DO⊥平面A1ABB1，DO平面A1BD

∴平面A1BD⊥平面A1ABB1∵ABB1A1是正方形

∴B1O⊥A1B

∴B1O⊥平面A1BD∴∠B1A1O就是A1B1與平面A1BD所成的角在Rt△B1A1O中，∴

∴即A1B1與平面A1BD所成角的大小為···················································12分另解：(1)以AC的中點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA、EB、EE1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角系，則A(1，0，0)，B(0，，0)，D(–1，0，1)，A1(1，0，2)，O，∴∵∴DO⊥BB1，DO⊥AB

∴DO⊥平面A1ABB1(2)設(shè)平面A1BD的法向量為∵由得令z=2，得

又∴∴∴A1B1與平面A1BD所成角的大小為略19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，設(shè)M是圓C上任一點(diǎn)，連結(jié)OM并延長到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求點(diǎn)Q軌跡的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l與點(diǎn)Q軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（0，2），求|PA|+|PB|的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ2=4ρcosθ，把代入即可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=4x，設(shè)Q（x，y），則，代入圓的方程即可得出．（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入點(diǎn)Q的方程可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ2=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=4x，配方為（x﹣2）2+y2=4，設(shè)Q（x，y），則，代入圓的方程可得，化為（x﹣4）2+y2=16．即為點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入（x﹣4）2+y2=16．得令A(yù)，B對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則，t1t2＞0．∴．20.設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】R5：絕對值不等式的解法；R4：絕對值三角不等式．【分析】（1）當(dāng)a=1時，由不等式．分別求得解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，從而求得a的取值范圍．【解答】解：（1）∵a=1，f（x）＞1?|x﹣1|﹣2|x+1|＞1，，∴解集為…（2）f（x）＞0在x∈[2，3]上恒成立?|x﹣1|﹣2|x+a|＞0在x∈[2，3]上恒成立?1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，∴a的范圍為…21.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA=（2b﹣a）cosC．（1）求角C；（2）若A=，△ABC的面積為，D為AB的中點(diǎn)，求sin∠BCD．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得：2sinBccosC=sinB，由sinB≠0，可求cosC=，結(jié)合C的范圍可求C的值．（2）利用三角形內(nèi)角和定理可求B，利用三角形面積公式可求a，在△DBC中，利用余弦定理可求CD，在△DBC中，由正弦定理可得sin∠BCD的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）在△ABC中，∵ccosA=（2b﹣a）cosC，可得：2bccosC=（ccosA+acosC），∴由正弦定理可得：2sinBccosC=（sinCcosA+sinAcosC）=sinB，∵sinB≠0，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=…6分（2）∵A=，C=，可得：△ABC為等腰三角形，B=，∴S△ABC=a2sinB==，∴a=2，∴在△DBC中，由余弦定理可得：CD2=DB2+BC2﹣2DB?BCcosB=7，可得：CD=，在△DBC中，由正弦定理可得：，即：=，∴sin∠BCD=…12分22.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=2|x|+a+2（1）解不等式f（x）＜2（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）≤g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：絕對值不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|＜2，由此求得不等式的解集．（2）由題意可得存在實(shí)數(shù)x，使得|x+|﹣|x|≤1+成