專題31圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R點(diǎn)，近年來，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運(yùn)算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點(diǎn)在同一個圓上，則稱這四個點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。模型1、定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長點(diǎn)的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。例1．（2023春·廣東梅州·九年級?？计谥校┤鐖D，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動路徑長是．

例2．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．4例3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形的邊繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)D作的垂線，垂足E在線段上，連接．若，，則的度數(shù)為．

例4．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為；若，則的值為．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。例1．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．若，，則線段的長為．例2．（2022春·山東·九年級專題練習(xí)）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．例3．（2022·湖北武漢·校考二模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；例4．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點(diǎn)共圓.例1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點(diǎn)共圓．例2．（2023·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如圖2，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長是（

）A．1 B． C． D．例3．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．例4．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐：“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點(diǎn)，，連接，，，，如果，那么，，，四點(diǎn)在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（依據(jù)2）點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個圓上(1)反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點(diǎn)在上（不與的中點(diǎn)重合），連接．作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點(diǎn)共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．模型4、對角互補(bǔ)共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1例2．（2023·河南周口·?？既＃┰谥校?，M是外一動點(diǎn)，滿足，若，，，則的長度為．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

例4．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)時，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；(3)已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·河北張家口·九年級?？计谀┤鐖D①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則圖②中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．62．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，O是的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．B．C．D．平分3．（2023·江蘇宿遷·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過C作交PB的延長線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2023·北京海淀·九年級校考期中）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和字母）5．（2023·廣東·二模）如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，若則的度數(shù)是6．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，P是上一動點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，則線段的最小值為（）

A． B．1 C． D．7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是．8．（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段上，，若，，則的最大值為．9．（2023·廣東惠州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點(diǎn)，證明：A，，，四點(diǎn)共圓．10.（2023·湖北九年級課時練習(xí)）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點(diǎn)F．直線BE交直線CD于G點(diǎn)．(1)小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數(shù)量關(guān)系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點(diǎn)共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點(diǎn)M，則線段MF的最小值為．11．（2023春·重慶南岸·八年級校考期末）已知：菱形的對角線交于點(diǎn)，以為斜邊構(gòu)造等腰，連接．

(1)如圖1，若，，求的面積．(2)如圖2，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．求證：．12．（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習(xí)）問題提出

如圖1，點(diǎn)E為等腰內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．嘗試應(yīng)用

如圖2，點(diǎn)D為等腰外一點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線分別交的延長線和的延長線于點(diǎn)N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，，交于點(diǎn)H．若，，直接寫出的長度（用含a，b的式子）．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由14．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求OE︰OF的比值．15．（2023·重慶九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．16．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對角線上時，線段的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．17．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在和中，，，，用這兩個直角三角形研究圖形的變換．【翻折】(1)如圖1，將沿線段翻折，連接，下列對所得四邊形的說法正確的是___．①平分、，②、互相平分，③，④、、、四點(diǎn)共圓．【平移】(2)如圖2，將沿線段向右平移，使點(diǎn)移到的中點(diǎn)，連接、、，請猜想四邊形的形狀，并說明理由．【旋轉(zhuǎn)】(3)如圖3，將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使，連接、，則旋轉(zhuǎn)角為______°，______cm．18．（2023·河南南陽·?？既＃┚C合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個定理，往往可以讓復(fù)雜的問題簡單化，以下是