專題36圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問題時(shí)，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問題例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°例2.（2023?南召縣中考模擬）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°例3．（2023·江蘇沭陽(yáng)初三月考）如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是_____．例4．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長(zhǎng)度為．

例3．（2021·湖北中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米例4．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D所示，圓的直徑與弦相交于點(diǎn)．已知圓的直徑，，則的值是（

）A． B．8 C． D．4模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，若，則（

）

A． B． C． D．例2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023秋·重慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于、兩點(diǎn)，若的直徑為8，則弦長(zhǎng)為（

）A．8 B．4 C． D．例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，，，，則⊙的半徑為（

）A． B． C． D．例3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C．1 D．2模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．4例2．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為的經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)，B是y軸左側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．例3．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，是圓的直徑，是切線，是切點(diǎn)，弦，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．

例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若．(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．例2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，于，為的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為，的長(zhǎng)為，則的值為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A． B． C． D．4．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．45．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2023·廣東·一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說法不正確的是（）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則7．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，為的直徑，為的弦，連接、，若，則的度數(shù)為度．

8．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的弦，點(diǎn)E為垂足，，，且則的半徑為．

9．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則和的度數(shù)分別為．

10．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．

11．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，，，于點(diǎn)，若的半徑為2，則的長(zhǎng)為.

12．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的弦，點(diǎn)C在上，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)A在圓內(nèi)，且恰好經(jīng)過點(diǎn)O，其中，，則的長(zhǎng)為．

13．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上．若，則度．

14．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）為了測(cè)量一個(gè)圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出，則這張光盤的半徑是．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）

15．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是．16．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考三模）如圖，在中，弦，D是一點(diǎn)，，則劣弧的長(zhǎng)為．

17．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，線段與弧交于點(diǎn)，則圖中弧的長(zhǎng)度為．

18．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，從一塊半徑為1米的圓形鐵皮圓O上剪出一個(gè)圓心角為90度的扇形，且點(diǎn)A、B、C都在圓上，則此時(shí)扇形的面積（保留）是平方米．19．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，與，都相切，且經(jīng)過點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若的半徑為，．則的長(zhǎng)是．

20．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，的直徑與弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．

21．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)期中）如圖，的弦交直徑于E，，，若，求的長(zhǎng)．22．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)校