專題09立體幾何初步與直觀圖知識(shí)點(diǎn)一簡單多面體1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體．2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．例1．（1）、（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）下列棱錐有6個(gè)面的是（）A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐【答案】C【分析】根據(jù)棱錐的定義，即可得出選項(xiàng).【詳解】由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，三棱錐有4個(gè)面，四棱錐有5個(gè)面，五棱錐有6個(gè)面，六棱錐有7個(gè)面；故選：C（2）、（2023上·黑龍江大慶·高三校考階段練習(xí)）（多選題）下列說法中不正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．棱臺(tái)的上，下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線【答案】ABC【分析】根據(jù)多面體的性質(zhì)和幾何體的定義來判斷，采用舉反例的方法來否定對概念的錯(cuò)誤理解.【詳解】如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐，故A錯(cuò)；有兩個(gè)面平行其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱錯(cuò)誤，即B錯(cuò)誤，反例如圖：棱臺(tái)是由平行于底面的平面截得的，故棱臺(tái)的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等，故C錯(cuò)；圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線，故D對.故選：ABC1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下面的四個(gè)長方體中，是由上邊的平面圖形圍成的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由長方體的展開圖確定即可得答案.【詳解】由長方體的展開圖可得符合的長方體為D.故選：D.2．（2023上·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選題）下列說法中正確的有（

）A．正四面體是正三棱錐. B．棱錐的側(cè)面是全等的三角形.C．正三棱錐是正四面體. D．延長棱臺(tái)所有側(cè)棱，它們會(huì)交于一點(diǎn).【答案】AD【分析】根據(jù)棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，正四面體的四個(gè)面都是等邊三角形，是正三棱錐，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，棱錐的側(cè)面是三角形，不一定全等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，正三棱錐的側(cè)棱長和底面棱長不一定相等，所以正三棱錐不一定是正四面體，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，延長棱臺(tái)所有側(cè)棱，它們會(huì)交于一點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.知識(shí)點(diǎn)二簡單旋轉(zhuǎn)體1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）．例2．（1）、（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，則，所以，所以.故選：A.（2）、（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】B【分析】根據(jù)圓柱，棱柱，棱臺(tái)，棱錐的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，而以矩形的一條對角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯(cuò)誤；對于B，若棱柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；對于C，如圖所示，若，，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面不是正三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).若截面與底面不平行，則不是梭臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：B.1．（2022上·貴州黔東南·高三?？计谀┤粢粋€(gè)圓錐的母線長為，且底面面積為，則此圓錐的高為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】B【分析】利用圓錐的特征及面積公式計(jì)算即可.【詳解】由底面面積為可得底面圓半徑為，所以圓錐的高為.故選：B2．（2023上·上海·高二專題練習(xí)）以長為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的底面面積為（）【答案】或【分析】利用旋轉(zhuǎn)體圓柱的特征直接求解即可.【詳解】以長的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，即得圓柱的底面半徑為，所以底面面積為；以寬的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，即得圓柱的底面半徑為，所以底面面積為.故答案為：或知識(shí)點(diǎn)三表面積與體積表面積公式表面積柱體為直截面周長錐體臺(tái)體球體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球例3．（1）、（2023上·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校ǘ噙x題）如圖，一個(gè)正方體密封容器中裝有一半的水量，若將正方體隨意旋轉(zhuǎn)放置，則容器中水的上表面形狀可能是（

）A．三角形 B．矩形 C．非矩形的平行四邊形 D．六邊形【答案】BCD【分析】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心，結(jié)合正方體截面圖形的特征判斷即可．【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心．過正方體的一條棱和中心可作一截面，截面形狀為矩形，如圖（1），故B正確；過正方體一面上一邊的任意一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為非矩形的平行四邊形，如圖（2），故C正確；在正方體一面上相鄰兩邊各取一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），過這兩點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為六邊形，如圖（3），故D正確；至于截面三角形，過正方體的中心不可能作出截面為三角形的圖形，故選：BCD故選：AD（2）、（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是，則圓錐的高為；母線的長為.【答案】2【分析】設(shè)正三角形的邊長為，根據(jù)題意，列出方程求得軸截面正三角形的邊長，進(jìn)而求得圓錐的高和母線長.【詳解】設(shè)正三角形的邊長為，因?yàn)檩S截面的面積為，可得a2＝，解得，由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高，所以所求的高為，圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊，所以母線長為.故答案為：；；（3）、（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，若該圓臺(tái)的外接球球心為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，進(jìn)而求得的值.【詳解】由圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?故選：B.1．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若三棱臺(tái)的高為3，上、下底面邊長分別為，，則該球的表面積為（

）A．32 B．36 C．40 D．42【答案】B【分析】首先作圖進(jìn)行解答，設(shè)，的外心分別為，，外接球的球心為，然后再設(shè)外接球的半徑，進(jìn)行求解，得出外接球表面積為.【詳解】設(shè)三棱臺(tái)為，，外心分別為，，外接球的球心為，，是等邊三角形，，是三角形的中心，也是三角形重心由題意易知高為，高為，故由重心的定義知，，且由題意易知，設(shè)外接球的半徑為，，連接，則，故，即，解得，，所以外接球的表面積為，故選:B.2．（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺(tái)的外接球球心為O，且，則.【答案】3【分析】根據(jù)圓臺(tái)與球的特征計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?解之得.故答案為：33．（2023下·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在長方體中，，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)求解.【詳解】在長方體中，，故選：B知識(shí)點(diǎn)四簡單多面體斜二測畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為．2、平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．例4．（1）、（2017上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，是水平放置的的直觀圖，則的面積是（

）A．6 B． C． D．12【答案】D【分析】由直觀圖和原圖的之間的關(guān)系，還原是一個(gè)直角三角形，直接求解其面積即可.【詳解】如圖，由直觀圖畫法規(guī)則，可得是一個(gè)直角三角形，直角邊，，∴.故選：D.（2）、（2023上·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥校┧椒胖玫牡闹庇^圖如圖所示，是中邊的中點(diǎn)，且平行于軸，則，，對應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對于這三條線段，正確的判斷是（

）A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由直觀圖與原圖的關(guān)系，結(jié)合條件，即可判斷.【詳解】因?yàn)槠叫杏谳S，所以在中，，又因?yàn)槭侵羞叺闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以.故選：A（3）、（2023上·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是水平放置的斜二測直觀圖，其中，則原圖形的面積是.【答案】6【分析】畫出原圖形，求出面積即可.【詳解】畫出原圖形如下：其中，故.故答案為：6（4）、（2023上·上海閔行·高二?？计谀┤鐖D是梯形按照斜二測畫出的直觀圖，其中，，，則原梯形的面積為.【答案】6【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，還原幾何圖形，即可求原梯形的面積.【詳解】如圖，還原梯形，，，，梯形為直角梯形，所以原梯形的面積.故答案為：61．（2023上·北京·高二期中）一個(gè)水平放置的平面圖形用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角，其中，則平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得原圖形三角形的底與高的值，進(jìn)而求得原圖形的面積【詳解】因?yàn)樵谥庇^圖中，，所以，所以如下圖，原圖形是一個(gè)底邊長為，高為的直角三角形，故原圖形的面積為.故選：B2．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）圖，某四邊形的直觀圖是正方形，且，則原四邊形的周長等于（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】結(jié)合直觀圖還原出原圖，結(jié)合數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以直觀圖中正方形的邊長為，結(jié)合直觀圖的特征，可得原圖如下，因?yàn)橹庇^圖中，且與軸平行，所以原圖中且與軸平行，因?yàn)?，所以；由直觀圖的性質(zhì)可知，原圖中四邊形為平行四邊形，所以的周長等于.故選：D.3．（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等邊三角形的邊長為，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，用斜二測畫法得到它的直觀圖，則它的直觀圖的面積是．【答案